ออกกำลังกาย.
จงหาค่าของ x ที่

สารละลาย.
การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันซึ่งเท่ากับค่าใดๆ หมายถึงการกำหนดว่าอาร์กิวเมนต์ใดค่าของไซน์จะตรงตามที่ระบุไว้ในเงื่อนไขทุกประการ
ในกรณีนี้เราต้องค้นหาว่าค่าไซน์จะเท่ากับ 1/2 มีค่าเท่าใด ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี
ตัวอย่างเช่น ใช้ โดยที่จะพิจารณาว่าค่าของ x ฟังก์ชันไซน์จะเท่ากับ 1/2
อีกวิธีหนึ่งคือการใช้. ฉันขอเตือนคุณว่าค่าของไซน์อยู่บนแกนออย
วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อต้องจัดการกับค่าที่เป็นมาตรฐานสำหรับฟังก์ชันนี้ เช่น 1/2
ในทุกกรณี เราไม่ควรลืมเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของไซน์นั่นคือคาบของมัน
ลองหาค่า 1/2 ของไซน์ในตารางและดูว่าอาร์กิวเมนต์ใดที่สอดคล้องกับค่านั้น อาร์กิวเมนต์ที่เราสนใจคือ Pi / 6 และ 5Pi / 6
ลองเขียนรากทั้งหมดที่เป็นไปตามสมการที่กำหนดลงไป ในการทำเช่นนี้เราเขียนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่รู้จัก x ที่เราสนใจและหนึ่งในค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ได้รับจากตารางนั่นคือ Pi / 6 เราเขียนลงไปโดยคำนึงถึงระยะเวลาของไซน์ ค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์:

ลองใช้ค่าที่สองแล้วทำตามขั้นตอนเดียวกันกับในกรณีก่อนหน้า:

คำตอบที่สมบูรณ์ของสมการดั้งเดิมคือ:
และ
ถามสามารถรับค่าของจำนวนเต็มใดๆ ได้

ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีให้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมและจำนวนในวิชาตรีโกณมิติ. ที่นี่เราจะพูดถึงสัญลักษณ์ ยกตัวอย่างรายการ และให้ภาพประกอบแบบกราฟิก โดยสรุป ให้เราวาดเส้นขนานระหว่างคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในตรีโกณมิติและเรขาคณิต

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรามาดูกันว่าแนวคิดของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เกิดขึ้นในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอย่างไร ในบทเรียนเรขาคณิต จะให้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และต่อมามีการศึกษาตรีโกณมิติซึ่งพูดถึงไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนและจำนวน ให้เรานำเสนอคำจำกัดความทั้งหมดนี้ ยกตัวอย่าง และแสดงความคิดเห็นที่จำเป็น

มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พวกมันถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เราให้สูตรของพวกเขา

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก– นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก- นี่คืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม

นอกจากนี้ยังมีการแนะนำการกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย - sin, cos, tg และ ctg ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น หาก ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C ดังนั้นไซน์ของมุมแหลม A จะเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้าม BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB นั่นคือ sin∠A=BC/AB

คำจำกัดความเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมจากความยาวที่ทราบของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมถึงจากค่าที่ทราบของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ โคแทนเจนต์และความยาวของด้านใดด้านหนึ่งเพื่อหาความยาวของด้านอื่นๆ ตัวอย่างเช่น หากเรารู้ว่าในสามเหลี่ยมมุมฉาก AC ขาเท่ากับ 3 และด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เท่ากับ 7 เราก็สามารถคำนวณค่าโคไซน์ของมุมแหลม A ตามคำจำกัดความ: cos∠A=AC/ เอบี=3/7.

มุมการหมุน

ในวิชาตรีโกณมิติ พวกเขาเริ่มมองมุมให้กว้างขึ้น - พวกเขาแนะนำแนวคิดเรื่องมุมการหมุน ขนาดของมุมการหมุนซึ่งต่างจากมุมเฉียบพลันนั้นไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศา (และในหน่วยเรเดียน) สามารถแสดงด้วยจำนวนจริงใดๆ ตั้งแต่ −∞ ถึง +∞

ในแง่นี้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ไม่ได้กำหนดเป็นมุมแหลม แต่เป็นมุมที่มีขนาดตามอำเภอใจ - มุมการหมุน พวกมันจะได้รับผ่านพิกัด x และ y ของจุด A 1 ซึ่งจุดเริ่มต้นที่เรียกว่า A(1, 0) ไปตามการหมุนของมันด้วยมุม α รอบจุด O - จุดเริ่มต้นของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม และศูนย์กลางของวงกลมหน่วย

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมการหมุนα คือลำดับของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมการหมุนα เรียกว่า abscissa ของจุด A 1 นั่นคือ cosα=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 ต่อจุดหักล้างของมัน นั่นคือ tanα=y/x

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 ต่อพิกัด ซึ่งก็คือ ctgα=x/y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ใดๆ เนื่องจากเราสามารถหาค่าแอบซิสซาและพิกัดของจุดได้เสมอ ซึ่งได้มาจากการหมุนจุดเริ่มต้นด้วยมุม α แต่แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ แทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) หรือ (0, −1) และสิ่งนี้เกิดขึ้นที่มุม 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k ราด) อันที่จริง ที่มุมการหมุนเช่นนั้น นิพจน์ tgα=y/x ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากนิพจน์มีการหารด้วยศูนย์ สำหรับโคแทนเจนต์นั้น ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีพิกัดเป็นศูนย์ (1, 0) หรือ (−1, 0) และสิ่งนี้เกิดขึ้นสำหรับมุม 180° k, k ∈Z (π·เค ราด).

ดังนั้น ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ แทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 180° ·k , k∈Z (π·k ราด)

คำจำกัดความรวมถึงการกำหนดที่เราทราบอยู่แล้วว่า sin, cos, tg และ ctg และยังใช้เพื่อกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน (บางครั้งคุณสามารถค้นหาการกำหนด tan และ cotที่สอดคล้องกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์) . ดังนั้นไซน์ของมุมการหมุน 30 องศาสามารถเขียนได้เป็น sin30° รายการ tg(−24°17′) และ ctgα สอดคล้องกับแทนเจนต์ของมุมการหมุน −24 องศา 17 นาที และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α . โปรดจำไว้ว่าเมื่อเขียนหน่วยวัดเรเดียนของมุม มักจะละเว้นการกำหนด "rad" ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของมุมการหมุนของสามไพราด มักจะเขียนแทน cos3·π

โดยสรุปประเด็นนี้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน วลี "มุมการหมุน" หรือคำว่า "การหมุน" มักถูกมองข้ามไป นั่นคือแทนที่จะใช้วลี "ไซน์ของมุมอัลฟาการหมุน" มักใช้วลี "ไซน์ของมุมอัลฟา" หรือที่สั้นกว่านั้นคือ "ไซน์อัลฟา" เช่นเดียวกับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

นอกจากนี้เรายังจะกล่าวอีกว่าคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะพิสูจน์เรื่องนี้

ตัวเลข

คำนิยาม.

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน t คือตัวเลขที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในหน่วย t เรเดียน ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของตัวเลข 8·π ตามคำจำกัดความคือตัวเลขที่เท่ากับโคไซน์ของมุม 8·π rad และโคไซน์ของมุม 8·π rad เท่ากับ 1 ดังนั้น โคไซน์ของตัวเลข 8·π เท่ากับ 1

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจริง t แต่ละตัวสัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม และไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้ ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมนี้

ให้เราแสดงวิธีการโต้ตอบระหว่างจำนวนจริงและจุดบนวงกลม:

• หมายเลข 0 ถูกกำหนดให้เป็นจุดเริ่มต้น A(1, 0);
• จำนวนบวก t สัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหน่วยซึ่งเราจะไปถึงถ้าเราเคลื่อนที่ไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาแล้วเดินไปตามเส้นทางที่มีความยาว t
• จำนวนลบ t สัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเราจะไปถึงได้หากเราเคลื่อนที่ไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางตามเข็มนาฬิกาแล้วเดินไปในเส้นทางที่มีความยาว |t| .

ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน t สมมติว่าตัวเลข t ตรงกับจุดบนวงกลม A 1 (x, y) (เช่น ตัวเลข &pi/2; ตรงกับจุด A 1 (0, 1) )

คำนิยาม.

ไซน์ของจำนวน t คือลำดับของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ตรงกับเลข t นั่นคือ sint=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของจำนวน t เรียกว่า abscissa ของจุดในวงกลมหน่วยซึ่งตรงกับเลข t นั่นคือ cost=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของพิกัดต่อจุดหักล้างของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ tgt=y/x ในอีกสูตรหนึ่งที่เทียบเท่ากัน ค่าแทนเจนต์ของตัวเลข t คืออัตราส่วนของไซน์ของจำนวนนี้ต่อโคไซน์ ซึ่งก็คือ tgt=sint/cost

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของ abscissa ต่อพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ ctgt=x/y อีกสูตรหนึ่งคือ ค่าแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของโคไซน์ของจำนวน t ต่อไซน์ของจำนวน t: ctgt=cost/sint

ที่นี่เราทราบว่าคำจำกัดความที่เพิ่งให้นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ อันที่จริงจุดบนวงกลมหน่วยที่ตรงกับตัวเลข t เกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่ได้จากการหมุนจุดเริ่มต้นเป็นมุม t เรเดียน

ยังคงคุ้มค่าที่จะชี้แจงประเด็นนี้ สมมุติว่าเรามีค่า sin3 เราจะเข้าใจได้อย่างไรว่าเรากำลังพูดถึงไซน์ของเลข 3 หรือไซน์ของมุมการหมุนของ 3 เรเดียน? ซึ่งมักจะชัดเจนจากบริบท ไม่เช่นนั้นอาจไม่มีความสำคัญพื้นฐาน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า แต่ละมุมของการหมุน α สอดคล้องกับค่าsinαที่เฉพาะเจาะจงมาก เช่นเดียวกับค่าcosα นอกจากนี้ มุมการหมุนทั้งหมดที่ไม่ใช่ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) จะสอดคล้องกับค่า tgα และค่าอื่นที่ไม่ใช่ 180°k, k∈Z (πk rad ) – ค่า ของctgα ดังนั้น sinα, cosα, tanα และ ctgα จึงเป็นฟังก์ชันของมุม α กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

เราสามารถพูดในทำนองเดียวกันเกี่ยวกับฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข แท้จริงแล้ว จำนวนจริง t แต่ละตัวสอดคล้องกับค่า Sin และราคาต้นทุนที่เฉพาะเจาะจงมาก นอกจากนี้ ตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ π/2+π·k, k∈Z จะสอดคล้องกับค่า tgt และตัวเลข π·k, k∈Z - ค่า ctgt

เรียกว่าฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน.

มักจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข มิฉะนั้น เราสามารถมองตัวแปรอิสระว่าเป็นทั้งการวัดมุม (อาร์กิวเมนต์เชิงมุม) และอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข

อย่างไรก็ตาม ที่โรงเรียนเราศึกษาฟังก์ชันตัวเลขเป็นหลัก นั่นคือ ฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งตลอดจนค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องเป็นตัวเลข ดังนั้นหากเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันโดยเฉพาะ ขอแนะนำให้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข

ความสัมพันธ์ระหว่างคำจำกัดความจากเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

หากเราพิจารณามุมการหมุน α อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา ดังนั้น คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในบริบทของตรีโกณมิติจะสอดคล้องกับคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของ มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งกำหนดไว้ในหลักสูตรเรขาคณิต ลองพิสูจน์เรื่องนี้ดู

ให้เราพรรณนาวงกลมหน่วยในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy ลองทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้น A(1, 0) . ลองหมุนเป็นมุม α ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะได้จุด A 1 (x, y) ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉาก A 1 H จากจุด A 1 ไปยังแกน Ox

เห็นได้ง่ายว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 OH เท่ากับมุมการหมุน α ความยาวของขา OH ที่อยู่ติดกับมุมนี้จะเท่ากับจุดหักมุมของจุด A 1 นั่นคือ |OH |=x ความยาวของขา A 1 H ตรงข้ามกับมุมเท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ |A 1 H|=y และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก OA 1 เท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย จากนั้น ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุมแหลม α ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A 1 OH เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= ปี/1=ปี และตามคำจำกัดความจากตรีโกณมิติ ไซน์ของมุมการหมุน α เท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y นี่แสดงให้เห็นว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α เมื่อ α อยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมเฉียบพลัน α นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α

บรรณานุกรม.

1. เรขาคณิต. เกรด 7-9: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ล. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ฯลฯ] - ฉบับที่ 20 อ.: การศึกษา 2553 - 384 หน้า: ป่วย - ไอ 978-5-09-023915-8.
2. โปโกเรลอฟ เอ.วี.เรขาคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 7-9 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A.V. Pogorelov - ฉบับที่ 2 - อ.: การศึกษา, 2544. - 224 หน้า: ป่วย. - ISBN 5-09-010803-X.
3. พีชคณิตและฟังก์ชันเบื้องต้น: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 9 / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; เรียบเรียงโดย Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin. - 4th ed. อ.: การศึกษา, 2512.
4. พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - M.: การศึกษา, 1990. - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
5. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
6. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ใน 2 ส่วน ส่วนที่ 1: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 4, เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 424 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00792-0.
7. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - I.: การศึกษา, 2010.- 368 หน้า: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

จะหาไซน์ได้อย่างไร?

การเรียนเรขาคณิตช่วยพัฒนาการคิด วิชานี้จำเป็นต้องรวมอยู่ในการฝึกอบรมของโรงเรียน ในชีวิตประจำวันความรู้ในเรื่องนี้อาจมีประโยชน์เช่นเมื่อวางแผนอพาร์ตเมนต์

จากประวัติศาสตร์

หลักสูตรเรขาคณิตยังรวมตรีโกณมิติซึ่งศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย ในวิชาตรีโกณมิติ เราศึกษาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม

แต่สำหรับตอนนี้ มาเริ่มด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุดก่อน - ไซน์ ลองมาดูแนวคิดแรกให้ละเอียดยิ่งขึ้น - ไซน์ของมุมในเรขาคณิต ไซน์คืออะไรและจะหาได้อย่างไร?

แนวคิดเรื่อง "มุมไซน์" และไซนัสอยด์

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของค่าของด้านตรงข้ามและด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คือฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรง ซึ่งเขียนว่า "sin (x)" โดยที่ (x) คือมุมของรูปสามเหลี่ยม

บนกราฟ ไซน์ของมุมจะแสดงด้วยคลื่นไซน์ที่มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง คลื่นไซน์ดูเหมือนเป็นเส้นหยักต่อเนื่องซึ่งอยู่ภายในขอบเขตที่กำหนดบนระนาบพิกัด ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ ดังนั้นจึงมีความสมมาตรประมาณ 0 บนระนาบพิกัด (ซึ่งมาจากจุดกำเนิดของพิกัด)

โดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง +1 ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คาบของฟังก์ชันมุมไซน์คือ 2 Pi ซึ่งหมายความว่าทุกๆ 2 Pi รูปแบบจะเกิดซ้ำและคลื่นไซน์จะผ่านวงจรเต็ม

สมการคลื่นไซน์

• บาป x = เครื่องปรับอากาศ
• โดยที่ a คือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมของรูปสามเหลี่ยม
• c - ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณสมบัติของไซน์ของมุม

1. บาป(x) = - บาป(x) คุณลักษณะนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันมีความสมมาตร และหากค่า x และ (-x) ถูกพล็อตบนระบบพิกัดทั้งสองทิศทาง พิกัดของจุดเหล่านี้จะตรงกันข้าม พวกเขาจะอยู่ห่างจากกันเท่ากัน
2. คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของฟังก์ชันนี้คือกราฟของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในส่วน [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn] โดยที่ n คือจำนวนเต็มใดๆ กราฟของไซน์ของมุมลดลงจะสังเกตได้บนเซ็กเมนต์: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn]
3. sin(x) > 0 เมื่อ x อยู่ในช่วง (2Пn, П + 2Пn)
4. (เอ็กซ์)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

ค่าไซน์ของมุมถูกกำหนดโดยใช้ตารางพิเศษ ตารางดังกล่าวถูกสร้างขึ้นเพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณสูตรและสมการที่ซับซ้อน ใช้งานง่ายและไม่เพียงแต่มีค่าของฟังก์ชัน sin(x) เท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าของฟังก์ชันอื่นๆ ด้วย

นอกจากนี้ ตารางค่ามาตรฐานของฟังก์ชันเหล่านี้ยังรวมอยู่ในการศึกษาหน่วยความจำภาคบังคับ เช่น ตารางสูตรคูณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับชั้นเรียนที่มีอคติทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ ในตารางคุณสามารถดูค่าของมุมหลักที่ใช้ในตรีโกณมิติ: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 และ 360 องศา

นอกจากนี้ยังมีตารางที่กำหนดค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ไม่ได้มาตรฐาน เมื่อใช้ตารางที่แตกต่างกัน คุณสามารถคำนวณไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของบางมุมได้อย่างง่ายดาย

สมการถูกสร้างขึ้นด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการเหล่านี้เป็นเรื่องง่ายถ้าคุณทราบอัตลักษณ์ตรีโกณมิติแบบง่ายและการลดลงของฟังก์ชัน เช่น sin (P/2 + x) = cos (x) และอื่นๆ มีการรวบรวมตารางแยกต่างหากสำหรับการลดลงดังกล่าวด้วย

วิธีหาไซน์ของมุม

เมื่องานคือการหาไซน์ของมุม และตามเงื่อนไขที่เรามีเพียงโคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุม เราสามารถคำนวณสิ่งที่เราต้องการได้อย่างง่ายดายโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

• บาป 2 x + cos 2 x = 1

จากสมการนี้ เราสามารถหาทั้งไซน์และโคไซน์ได้ ขึ้นอยู่กับว่าไม่ทราบค่าใด เราได้สมการตรีโกณมิติโดยไม่ทราบค่าหนึ่ง:

• บาป 2 x = 1 - cos 2 x
• บาป x = ± √ 1 - cos 2 x
• เปล 2 x + 1 = 1 / บาป 2 x

จากสมการนี้ คุณสามารถหาค่าของไซน์ โดยรู้ค่าโคแทนเจนต์ของมุม เพื่อให้ง่ายขึ้น ให้แทนที่ sin 2 x = y แล้วคุณจะได้สมการง่ายๆ ตัวอย่างเช่น ค่าโคแทนเจนต์คือ 1 ดังนั้น:

• 1 + 1 = 1/ปี
• 2 = 1/ปี
• 2у = 1
• ย = 1/2

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนผู้เล่นแบบย้อนกลับ:

• บาป 2 x = ½
• บาป x = 1 / √2

เนื่องจากเราใช้ค่าโคแทนเจนต์สำหรับมุมมาตรฐาน (45 0) จึงสามารถตรวจสอบค่าที่ได้รับในตารางได้

หากคุณมีค่าแทนเจนต์และจำเป็นต้องค้นหาไซน์ ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติอื่นจะช่วยได้:

• tg x * ctg x = 1

เป็นไปตามนั้น:

• เปล x = 1 / ตาล x

หากต้องการค้นหาไซน์ของมุมที่ไม่เป็นมาตรฐาน เช่น 240 0 คุณต้องใช้สูตรการลดมุม เรารู้ว่า π สอดคล้องกับ 180 0 ดังนั้นเราจึงแสดงความเท่าเทียมกันโดยใช้มุมมาตรฐานโดยการขยาย

• 240 0 = 180 0 + 60 0

เราจำเป็นต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้: บาป (180 0 + 60 0) ตรีโกณมิติมีสูตรการหักล้างที่เป็นประโยชน์ในกรณีนี้ นี่คือสูตร:

• บาป (π + x) = - บาป (x)

ดังนั้น ไซน์ของมุม 240 องศา เท่ากับ:

• บาป (180 0 + 60 0) = - บาป (60 0) = - √3/2

ในกรณีของเรา x = 60 และ P ตามลำดับ คือ 180 องศา เราพบค่า (-√3/2) จากตารางค่าฟังก์ชันของมุมมาตรฐาน

ด้วยวิธีนี้ มุมที่ไม่เป็นมาตรฐานจึงสามารถขยายได้ เช่น 210 = 180 + 30

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เป้าหมายการสอนหลัก: พิจารณาวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการแก้สมการนี้

ทางการศึกษา: การเรียนรู้เทคนิคใหม่ในการแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้ตัวอย่างบทเรียนสัมมนาในสถานการณ์ที่สร้างสรรค์

พัฒนาการ: การก่อตัวของเทคนิคทั่วไปสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ ปรับปรุงการปฏิบัติงานทางจิตของนักเรียน การพัฒนาทักษะในการพูดทางคณิตศาสตร์แบบพูดคนเดียวในช่องปากเมื่อนำเสนอคำตอบของสมการตรีโกณมิติ

นักการศึกษา: พัฒนาความเป็นอิสระและความคิดสร้างสรรค์ มีส่วนช่วยในการพัฒนาความปรารถนาของเด็กนักเรียนและจำเป็นต้องสรุปข้อเท็จจริงที่กำลังศึกษาอยู่

คำถามเพื่อการเตรียมการและการอภิปรายเพิ่มเติมในงานสัมมนา

นักเรียนทุกคนจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่ม (2-4 คน) ขึ้นอยู่กับจำนวนนักเรียนทั้งหมด ตลอดจนความสามารถและความปรารถนาของแต่ละคน พวกเขากำหนดหัวข้อการเตรียมและการนำเสนอในการสัมมนาบทเรียนด้วยตนเองอย่างอิสระ คนหนึ่งในกลุ่มพูด และนักเรียนที่เหลือมีส่วนร่วมในการเพิ่มเติมและแก้ไขข้อผิดพลาด หากจำเป็น

เวลาจัดงาน.

นักเรียนจะได้รับแจ้ง:

หัวข้อบทเรียน:

“วิธีต่างๆ ในการแก้สมการตรีโกณมิติ sin x - cos x = 1

รูปร่าง:บทเรียน - สัมมนา

ข้อความสำหรับบทเรียน:

“การค้นพบทางวิทยาศาสตร์ครั้งสำคัญเป็นหนทางแก้ไขปัญหาสำคัญ แต่ในการแก้ปัญหาใดๆ ก็มีการค้นพบเมล็ดพืชอยู่ด้วย ปัญหาที่คุณแก้ไขอาจจะเล็กน้อย แต่หากมันท้าทายความอยากรู้อยากเห็นของคุณและบังคับให้คุณมีความคิดสร้างสรรค์ และถ้าคุณแก้ไขมันด้วยตัวเอง คุณจะพบกับความตึงเครียดทางจิตใจที่นำไปสู่การค้นพบและเพลิดเพลินไปกับความสุขแห่งชัยชนะ”

(ด. โปลยา)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ก) พิจารณาความเป็นไปได้ในการแก้สมการเดียวกันในรูปแบบต่างๆ
b) ทำความคุ้นเคยกับเทคนิคทั่วไปต่างๆ ในการแก้สมการตรีโกณมิติ
c) ศึกษาวัสดุใหม่ (การแนะนำมุมเสริม, การทดแทนสากล)

แผนการสัมมนา

1. การลดสมการให้เป็นสมการเอกพันธ์เทียบกับไซน์และโคไซน์
2. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ
3. การแนะนำมุมเสริม
4. การแปลงผลต่าง (หรือผลรวม) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ
5. การลดลงเป็นสมการกำลังสองสำหรับฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง
6. ยกกำลังสองทั้งสองด้านของสมการ
7. การแสดงออกของฟังก์ชันทั้งหมดผ่าน tg x (การทดแทนสากล)
8. ผลเฉลยกราฟิกของสมการ

1. มอบพื้นให้กับผู้เข้าร่วมคนแรก

การลดสมการ sin x - cos x = 1 ให้เป็นสมการเอกพันธ์เทียบกับไซน์และโคไซน์
ลองขยายด้านซ้ายมือตามสูตรอาร์กิวเมนต์คู่ และแทนที่ด้านขวามือด้วยหน่วยตรีโกณมิติ โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

2 บาป cos - cos + sin = sin + cos;

2 บาป cos - cos =0 ;
เพราะ = 0;
ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์และปัจจัยอื่น ๆ ไม่สูญเสียความหมายดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

คอส =0 ; =

= 0 - สมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos (cos 0 เพราะถ้า cos = 0 ดังนั้น sin - 0 = 0 sin = 0 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ sin + cos = 1)

คำตอบ:
2. มอบพื้นให้กับผู้เข้าร่วมคนที่สอง

แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ sin x - cos x = 1

บาป x – (1+ cos x) = 1; เราใช้สูตร 1+ cos x = 2 เราได้รับ ;
คล้ายกันเพิ่มเติม:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์และปัจจัยอื่น ๆ ก็ไม่สูญเสียความหมายดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

คอส =0 ; =
= 0 - สมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos (cos 0 เนื่องจากถ้า cos = 0 ดังนั้น sin - 0 = 0 sin = 0 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ sin + cos = 1)

เราได้รับ tg -1 = 0 ; ทีจี = 1 ; =
คำตอบ:

3. มอบพื้นให้กับผู้เข้าร่วมคนที่สาม

การแก้สมการ sin x - cos x = 1 โดยการแนะนำมุมเสริม

พิจารณาสมการ sin x - cos x = 1 คูณและหารแต่ละพจน์ทางด้านซ้าย
สมการสำหรับ เราได้รับ และวางไว้นอกวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ เราได้รับ ; ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วยและใช้ค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับ ; ลองใช้สูตรผลต่างไซน์กัน
;

เป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนด (โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ) ว่าคำตอบที่ได้จะแบ่งออกเป็นสองกรณี:

;

คำตอบ:

4. มอบพื้นให้กับผู้เข้าร่วมคนที่สี่

การแก้สมการ sin x - cos x = 1 โดยการแปลงผลต่าง (หรือผลรวม) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ

เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน โดยใช้สูตรลด . เราได้ใช้สูตรสำหรับผลต่างของไซน์สองตัว

;

คำตอบ:

5. มอบพื้นให้กับผู้เข้าร่วมคนที่ห้า

การแก้สมการ sin x - cos x = 1 โดยการลดให้เป็นสมการกำลังสองสำหรับฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง

พิจารณาอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ซึ่งตามมา
ลองแทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการนี้
บาป x - cos x = 1 ,

ลองยกกำลังสองทั้งสองด้านของสมการที่ได้:

ในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา ทั้งสองด้านของสมการจะถูกยกกำลังสอง ซึ่งอาจนำไปสู่การปรากฏของคำตอบที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการตรวจสอบ มาทำกัน.

โซลูชันที่ได้ผลลัพธ์จะเทียบเท่ากับการรวมโซลูชันสามรายการเข้าด้วยกัน:

วิธีแก้ปัญหาที่หนึ่งและสองตรงกับที่ได้รับก่อนหน้านี้ดังนั้นจึงไม่เกี่ยวข้องกัน ยังคงต้องตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาที่สาม มาทดแทนกันเถอะ
ด้านซ้าย:

ด้านขวา: 1.

เราได้รับ: ดังนั้น - การตัดสินใจภายนอก

คำตอบ:

6. มอบพื้นให้กับผู้เข้าร่วมคนที่หก

กำลังสองทั้งสองด้านของสมการ sin x - cos x = 1

พิจารณาสมการ sin x - cos x = 1 ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการนี้กัน

;

เมื่อใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและสูตรไซน์มุมคู่ เราได้ ; บาป 2x = 0 ; . ไม่สมเหตุสมผล เช่น หรือ

มีความจำเป็นต้องตรวจสอบว่าเป็นคำตอบของสมการนี้หรือไม่ ลองแทนคำตอบเหล่านี้ลงในด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ

ด้านซ้าย: .

ด้านขวา: 1.

เราได้ 1=1. นี่หมายความว่านี่คือคำตอบของสมการนี้

คำตอบ:

8. มอบพื้นให้กับผู้เข้าร่วมคนที่แปด

ลองพิจารณาคำตอบแบบกราฟิกของสมการ sin x - cos x = 1

ให้เราเขียนสมการที่กำลังพิจารณาอยู่ในรูปแบบ sin x = 1 + cos x

ขอให้เราสร้างกราฟของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับด้านซ้ายและขวาของสมการในระบบพิกัดออกซี รอยแยกของจุดตัดกันของกราฟคือคำตอบของสมการนี้

y = sin x – กราฟ: ไซนัสอยด์
y = cos x +1 – กราฟ: คลื่นโคไซน์ y = cos x, เลื่อนขึ้น 1 ขึ้นไปตามแกน Oy รอยแยกของจุดตัดกันคือคำตอบของสมการนี้

คำตอบ:

สรุปบทเรียน

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. ทาทาร์เชนโควา เอส.เอส. บทเรียนเป็นปรากฏการณ์การสอน - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: Karo, 2548
2. วีก็อดสกี้ เอ็น.วี. คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา-ม.: Nauka, 1975.
3. วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่นๆ. เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เลขคณิต. พีชคณิต. เรขาคณิต: หนังสือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10-11 - ม.: การศึกษา, 2539.
4. Gnedenko B.V. บทความเกี่ยวกับประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในรัสเซีย - อ.: OGIZ, 2489
5. เดปแมน ไอ.ยา. และอื่น ๆ เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ - อ.: การศึกษา, 2542.
6. Dorofeev G.V. และอื่น ๆ คณิตศาสตร์: สำหรับผู้ที่เข้ามหาวิทยาลัย - ม.: Bustard, 2000.
7. คณิตศาสตร์: พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่ – อ.: TSB, 1998.
8. มอร์ดโควิช เอ.จี. เป็นต้น คู่มือนักเรียนวิชาคณิตศาสตร์ เกรด 10-11 พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ – อ.: พิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ, 2540.
9. 300 ปัญหาการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ – ม.: รอล์ฟ, 2000.
10. ปัญหา 3600 เรื่องพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ – อ.: อีสตาร์ด, 1999.
11. หลักสูตรของโรงเรียนในรูปแบบตารางและสูตร หนังสืออ้างอิงสากลขนาดใหญ่ – อ.: อีสตาร์ด, 1999.
12. โทโรเซียน วี.จี. ประวัติการศึกษาและแนวคิดการสอน: หนังสือเรียน สำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัย - อ.: สำนักพิมพ์ VLADOS-PRESS, 2549.- 351 หน้า
13. ครีโลวา เอ็น.บี. การสนับสนุนด้านการสอนจิตวิทยาและศีลธรรมเพื่อเป็นพื้นที่สำหรับการเปลี่ยนแปลงส่วนบุคคลในเด็กและผู้ใหญ่ // ครูประจำชั้น - 2000. - หมายเลข 3 –ป.92-103.

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้มาจากนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินและการวางแนวที่แม่นยำโดยดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลม ในขณะที่ในหลักสูตรของโรงเรียน การคำนวณเหล่านี้จะศึกษาอัตราส่วนของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมระนาบ

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในคริสต์สหัสวรรษที่ 1 ความรู้แพร่กระจายจากตะวันออกโบราณไปยังกรีซ แต่การค้นพบตรีโกณมิติที่สำคัญคือข้อดีของคนในศาสนาอิสลามแห่งอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถานอัล-มาราซวีได้แนะนำฟังก์ชันต่างๆ เช่น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ และรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แนวคิดเรื่องไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ตรีโกณมิติได้รับความสนใจอย่างมากในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรในการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เด็กนักเรียนเป็นที่รู้จักกันดีในสูตร: "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ให้ไว้โดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหน้าจั่ว

ความสัมพันธ์ไซน์ โคไซน์ และความสัมพันธ์อื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมแหลมและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ให้เรานำเสนอสูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราจินตนาการว่าขา a เป็นผลคูณของบาป A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

วงกลมตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในกรณีนี้ วงกลมแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นจากรูป แต่ละฟังก์ชันจะใช้ค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" หาก α อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 ของวงกลม นั่นคือ มันอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 180° สำหรับ α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α สามารถเป็นค่าลบได้เท่านั้น

เรามาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณกัน

ค่า α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยการสุ่ม คำว่า π ในตารางเป็นชื่อเรเดียน แรดคือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมสอดคล้องกับรัศมี ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างการพึ่งพาสากลเมื่อคำนวณเป็นเรเดียนความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

ดังนั้น จึงไม่ยากที่จะเดาว่า 2π เป็นวงกลมที่สมบูรณ์หรือ 360°

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์:

คลื่นไซน์	โคไซน์
y = บาปx	y = cos x
โอดีแซด [-1; 1]	โอดีแซด [-1; 1]
บาป x = 0 สำหรับ x = πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk โดยที่ k ϵ Z
sin x = 1 สำหรับ x = π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 1 ที่ x = 2πk โดยที่ k ϵ Z
sin x = - 1 ที่ x = 3π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = - 1 สำหรับ x = π + 2πk โดยที่ k ϵ Z
sin (-x) = - sin x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่	cos (-x) = cos x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคู่
	ฟังก์ชันเป็นแบบคาบ คาบที่เล็กที่สุดคือ 2π
sin x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 หรือตั้งแต่ 0° ถึง 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ I และ IV หรือตั้งแต่ 270° ถึง 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่สามและสี่ หรือตั้งแต่ 180° ถึง 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 และ 3 หรือตั้งแต่ 90° ถึง 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [-π + 2πk, 2πk]
ลดลงในช่วงเวลา [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	ลดลงเป็นระยะ
อนุพันธ์ (บาป x)’ = cos x	อนุพันธ์ (cos x)’ = - sin x

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญลักษณ์ของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจที่สัมพันธ์กับแกน OX ถ้าสัญญาณตรงกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ ไม่เช่นนั้นจะเป็นเลขคี่

การแนะนำเรเดียนและการแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำเสนอรูปแบบต่อไปนี้:

มันง่ายมากที่จะตรวจสอบว่าสูตรถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์คือ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยการปรึกษาตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

คุณสมบัติของแทนเจนต์ซอยด์และโคแทนเจนต์ซอยด์

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg เป็นส่วนกลับของกันและกัน

1. Y = สีแทน x
2. แทนเจนต์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
3. คาบบวกที่น้อยที่สุดของแทนเจนตอยด์คือ π
4. Tg (- x) = - tg x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
6. ฟังก์ชั่นกำลังเพิ่มขึ้น
7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x

พิจารณาภาพกราฟิกของโคแทนเจนตอยด์ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของโคแทนเจนตอยด์:

1. Y = เปล x
2. ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถใช้ค่าของเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. โคแทนเจนตอยด์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
4. คาบบวกที่น้อยที่สุดของโคแทนเจนตอยด์คือ π
5. Ctg (- x) = - ctg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. CTG x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
7. ฟังก์ชันกำลังลดลง
8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
9. Ctg x ‹ 0, สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x ถูกต้อง