ทุกอย่าง กรณีที่เป็นไปได้ ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและระนาบในอวกาศ :

เส้นตรงอยู่บนระนาบ if ทุกจุดของเส้นตรงเป็นของระนาบ.

ความคิดเห็น ... สำหรับเส้นตรงที่จะอยู่บนระนาบ จำเป็นและเพียงพอที่จุดสองจุดของเส้นตรงนี้เป็นของระนาบนี้

เส้นตรงตัดกับระนาบถ้าเส้นกับเครื่องบินมี จุดร่วมเท่านั้น

เส้นตรงขนานกับระนาบ ถ้าเป็นเส้นตรงและระนาบ ไม่มีจุดร่วม... (พวกมันไม่ตัดกัน

ใบแจ้งยอด 1 ... สมมุติว่าเส้นตรง NSและระนาบ α ขนานกัน และระนาบ β ผ่านเส้นตรง NS.เป็นไปได้สองกรณี:

แต่แล้วประเด็น NSกลายเป็นจุดตัดของเส้นตรง NSและระนาบ α และเราได้ข้อขัดแย้งกับความจริงที่ว่าเส้น NSและระนาบ α ขนานกัน ความขัดแย้งนี้ทำให้การพิสูจน์คำชี้แจง 1 สมบูรณ์

ข้อความที่ 2 (สัญญาณความขนานของเส้นตรงและระนาบ) ... ถ้าตรง NS,ไม่นอนในระนาบ α ขนานกับเส้นตรงบางเส้น NSนอนอยู่ในระนาบ α แล้วก็เป็นเส้นตรง NSและระนาบ α ขนานกัน

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์เกณฑ์ที่ "ขัดแย้ง" สำหรับการขนานกันของเส้นตรงและระนาบ สมมุติว่าเส้นตรง NSตัดกับระนาบ α ณ จุดหนึ่ง NS.วาดระนาบ β ผ่านเส้นคู่ขนาน NSและ NS.

จุด NSอยู่บนเส้นตรง NSและเป็นของระนาบ β แต่ในสมมติฐานประเด็น NSเป็นของระนาบ α ดังนั้น จุด NSอยู่บนเส้นตรง NS,ซึ่งระนาบ α และ β ตัดกัน อย่างไรก็ตามโดยตรง NSและ NSขนานกันตามเงื่อนไขและไม่สามารถมีจุดร่วมได้

ความขัดแย้งที่เป็นผลทำให้การพิสูจน์เกณฑ์ความขนานสำหรับเส้นตรงและระนาบเสร็จสมบูรณ์

ทฤษฎีบท

• หากเส้นตรงที่ตัดกันระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบนี้และผ่านจุดตัดของเส้นนี้กับระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบ
• หากระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น แสดงว่าระนาบนั้นตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่ง
• ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน แสดงว่าเส้นขนานกัน
• หากเส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบตั้งฉากกับเส้นโครงที่เอียง เส้นนั้นจะตั้งฉากกับเส้นที่เอียงที่สุด
• หากเส้นตรงที่ไม่อยู่ในระนาบที่กำหนดขนานกับเส้นตรงบางเส้นที่อยู่ในระนาบนี้ แสดงว่าเส้นนั้นขนานกับระนาบนี้
• ถ้าเส้นตรงขนานกับระนาบ แสดงว่าเส้นนั้นขนานกับเส้นตรงบางเส้นบนระนาบนี้
• ถ้าเส้นตรงและระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกัน แสดงว่าเส้นขนานกัน
• จุดเส้นตรงทุกจุดขนานกับระนาบอยู่ห่างจากระนาบนี้เท่ากัน

เส้นตรงและระนาบจะเรียกว่าขนานหากไม่มีจุดร่วม ถ้าเส้นตรงที่ไม่อยู่ในระนาบที่กำหนดขนานกับเส้นตรงบางเส้นที่อยู่ในระนาบนี้

1. หากเครื่องบินผ่านเส้นตรงที่กำหนดขนานกับระนาบอื่นแล้วตัดกับระนาบนี้ เส้นตัดของระนาบจะขนานกับเส้นตรงนี้

2. หากเส้นขนานหนึ่งในสองเส้นขนานกับระนาบที่กำหนด และอีกเส้นหนึ่งมีจุดร่วมกับระนาบ เส้นนี้จะอยู่ในระนาบนี้ ระนาบนั้นก็ขนานกับระนาบนั้นเอง

กรณีของตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและระนาบ:ก) เส้นตรงอยู่ในระนาบ

b) เส้นตรงและระนาบมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว c) เส้นตรงและระนาบไม่มีจุดร่วม

2. การหาขนาดธรรมชาติของส่วนของเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไปโดยวิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

ค่าธรรมชาติ (n.v.) ของส่วน AB ของเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไปคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABK ในรูปสามเหลี่ยมนี้ ขา AK ขนานกับระนาบของการฉายภาพ π1 และเท่ากับการฉายภาพแนวนอนของส่วน A "B" ขา BK เท่ากับผลต่างระหว่างระยะทางของจุด A และ B จากระนาบ π1

ในกรณีทั่วไป ในการกำหนดค่าธรรมชาติของส่วนของเส้นตรง จำเป็นต้องสร้างด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาข้างหนึ่งเป็นเส้นโครงแนวนอน (ด้านหน้า) ของส่วน และขาอีกข้างเป็น ส่วนที่มีขนาดเท่ากับความแตกต่างเชิงพีชคณิตของพิกัด Z (Y) ของจุดสุดขั้วของส่วน

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้หามุม α - มุมเอียงของเส้นตรงถึงระนาบแนวนอนของเส้นโครง

ในการกำหนดมุมเอียงของเส้นตรงไปยังระนาบด้านหน้าของการฉายภาพ จำเป็นต้องทำโครงสร้างที่คล้ายกันในการฉายภาพด้านหน้าของส่วน

3. เส้นหลักของเครื่องบิน (แนวนอน, หน้าผาก)

ระนาบแนวนอนของระนาบ P เป็นเส้นตรงที่อยู่ในระนาบนี้และขนานกับระนาบแนวนอน แนวนอนเป็นเส้นตรงขนานกับระนาบแนวนอนมีการฉายภาพด้านหน้า ѓ ขนานกับแกน x

ส่วนหน้าของระนาบ P เป็นเส้นตรงที่อยู่ในระนาบนี้และขนานกับระนาบด้านหน้า

ส่วนหน้าเป็นเส้นตรงขนานกับระนาบด้านหน้า และการฉายภาพแนวนอน φ ขนานกับแกน x

4. ตำแหน่งรวมของเส้นตรงในอวกาศ การกำหนดการมองเห็นโดยคะแนนการแข่งขันเส้นตรงสองเส้นในอวกาศสามารถมีการจัดเรียงที่แตกต่างกัน: A) ตัดกัน (อยู่ในระนาบเดียวกัน) กรณีพิเศษของทางแยก - ที่มุมฉาก B) สามารถขนานกันได้ (อยู่ในระนาบเดียวกัน); C) ตรงกัน - กรณีพิเศษของการขนานกัน D) ตัดกัน (อยู่ในระนาบต่างกันและไม่ตัดกัน)

จุดที่ฉายบน P1 ตรงกันเรียกว่า การแข่งขันเกี่ยวกับระนาบ P1 และจุดที่ฉายบน P2 ตรงกันเรียกว่า การแข่งขันเกี่ยวกับเครื่องบิน P2

คะแนน K และ L กำลังแข่งขันกันเกี่ยวกับเครื่องบิน P1 เนื่องจากบนเครื่องบิน P1 คะแนน K และ L ถูกฉายเป็นจุดเดียว: K1 = L1

จุด K สูงกว่าจุด L เนื่องจาก K2 สูงกว่า L2 ดังนั้น K1 จะปรากฏบน P1

ทฤษฎีบท

หากเส้นตรงที่ไม่ได้เป็นของระนาบขนานกับเส้นตรงบางเส้นในระนาบนี้ แสดงว่าเส้นนั้นขนานกับระนาบนั้นเอง

การพิสูจน์

ให้ α เป็นระนาบ ซึ่งเป็นเส้นตรงที่ไม่อยู่ในนั้น และ a1 เป็นเส้นตรงในระนาบ α ขนานกับ a ให้เราวาดระนาบ α1 ผ่านเส้น a และ a1 ระนาบ α และ α1 ตัดกันตามเส้นตรง a1 ถ้าเส้นตรง a ตัดกับระนาบ α จุดตัดก็จะเป็นของเส้นตรง a1 แต่มันเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเส้น a และ a1 ขนานกัน ดังนั้น เส้นตรง a ไม่ตัดกับระนาบ α และดังนั้นจึงขนานกับระนาบ α ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

18. เครื่องบิน

ถ้าระนาบขนานกันสองระนาบตัดกับหนึ่งในสาม เส้นตรงจะขนานกัน(รูปที่ 333)

แท้จริงแล้วตามคำจำกัดความ เส้นตรงคู่ขนานคือเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันเส้นตรงของเราอยู่ในระนาบเดียวกัน - ระนาบซีแคนต์ พวกมันไม่ตัดกันเนื่องจากระนาบคู่ขนานที่บรรจุพวกมันไม่ตัดกัน

ดังนั้นเส้นจะขนานกันตามต้องการ

คุณสมบัติ

§ ถ้าระนาบ α ขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบอื่น β ระนาบเหล่านี้ขนานกัน

§ ถ้าระนาบคู่ขนานกันสองระนาบด้วยหนึ่งในสาม เส้นตัดของพวกมันจะขนานกัน

§ ผ่านจุดนอกระนาบที่กำหนด คุณสามารถวาดระนาบขนานกับระนาบที่กำหนด และยิ่งกว่านั้น เพียงหนึ่งระนาบ

§ ส่วนของเส้นตรงขนานที่ล้อมรอบด้วยสอง ระนาบคู่ขนานเท่าเทียมกัน

§ มุมสองมุมที่มีด้านขนานกันและด้านตรงเท่ากันจะเท่ากันและอยู่ในระนาบขนาน

19.

หากเส้นตรงสองเส้นอยู่ในระนาบเดียวกัน จะวัดมุมระหว่างเส้นได้ง่าย เช่น การใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ วิธีการวัด มุมระหว่างเส้นกับระนาบ?

ให้เส้นตรงตัดระนาบไม่ใช่เป็นมุมฉาก แต่ทำที่มุมอื่น เส้นตรงดังกล่าวเรียกว่า เฉียง.

ลองวางเส้นตั้งฉากจากจุดใดก็ตามที่เอียงมายังระนาบของเรา เชื่อมต่อฐานของฉากตั้งฉากกับจุดตัดของระนาบเอียงและระนาบ เราได้ การฉายภาพเอียง.

มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นตรงกับการฉายภาพบนระนาบที่กำหนด.

ให้ความสนใจ - เราเลือกมุมแหลมเป็นมุมระหว่างเส้นกับระนาบ

หากเส้นตรงขนานกับระนาบ มุมระหว่างเส้นกับระนาบจะเป็นศูนย์

หากเส้นตั้งฉากกับระนาบ การฉายภาพบนระนาบจะเป็นจุด แน่นอน ในกรณีนี้ มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบคือ 90 °

เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบ ถ้าตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้.

นี่คือคำจำกัดความ แต่คุณทำงานกับเขาอย่างไร? จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าเส้นที่กำหนดนั้นตั้งฉากกับทุกเส้นที่อยู่ในระนาบ? ท้ายที่สุดแล้วมีมากมายนับไม่ถ้วน

ในทางปฏิบัติ มันถูกนำไปใช้ เครื่องหมายของการตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ:

เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบ หากตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่วางอยู่ในระนาบนี้

21 ไดเฮดรัล- รูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่เกิดจากระนาบครึ่งสองระนาบที่เปล่งออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว และส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยระนาบครึ่งเหล่านี้

ระนาบสองระนาบเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันคือ 90 องศา

§ หากเครื่องบินผ่านเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก

§ ถ้าจากจุดที่เป็นของระนาบตั้งฉากหนึ่งในสองระนาบ ให้ลากเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น จากนั้นฉากตั้งฉากนี้จะอยู่ในระนาบแรกโดยสมบูรณ์

§ ถ้าในระนาบแนวตั้งฉากหนึ่งในสองระนาบ ให้ลากเส้นตั้งฉากกับเส้นตัดของพวกมัน แล้วฉากตั้งฉากนี้จะตั้งฉากกับระนาบที่สอง

ระนาบตัดกันสองระนาบสร้างมุมไดฮีดรัลสี่มุมที่มีขอบร่วม: มุมแนวตั้งคู่เท่ากัน และผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันสองมุมคือ 180 ° หากมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมตรง อีกสามมุมก็จะเท่ากันและตรงด้วย ระนาบสองระนาบเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมระหว่างระนาบทั้งสองเป็นเส้นตรง.

ทฤษฎีบท. หากระนาบบินผ่านเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก

อนุญาต และเป็นระนาบสองระนาบที่ผ่านเส้น AB ตั้งฉากและตัดกับมันที่จุด A (รูปที่ 49) ให้เราพิสูจน์ว่า _ | _. เครื่องบินและตัดกันตามเส้นตรงบางเส้น AC และ AB _ | _ AC ตั้งแต่ AB _ | _. ให้เราวาดเส้น AD ในระนาบ ตั้งฉากกับเส้น AC

จากนั้นมุม BAD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากและ แต่< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนจำนวนจำกัด

1.รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถเข้าถึงได้ถึงรูปหลายเหลี่ยมใดๆ โดยไปที่ด้านที่อยู่ติดกัน และจากนี้ไป ก็จะถึงด้านที่อยู่ติดกัน เป็นต้น

รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่า แง่มุม, ด้านข้างของพวกเขาคือ ซี่โครงและยอดของพวกเขาคือ ยอดรูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน นั่นคือขอบเขตของเซตย่อยที่มีขอบเขตของสเปซแบบยุคลิดซึ่งเป็นจุดตัดของช่องว่างจำนวนจำกัด

คำจำกัดความข้างต้นของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้รับความหมายที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นไปได้สองตัวเลือกต่อไปนี้:

§ ระนาบเส้นรูปหลายเหลี่ยมปิด (แม้ว่าจะตัดกันเอง)

§ ส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นหลายเหลี่ยม

ในกรณีแรก เราได้แนวคิดเรื่องรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีดาวฤกษ์ ในส่วนที่สอง รูปทรงหลายเหลี่ยมคือพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นหลายเหลี่ยม หากพื้นผิวนี้ไม่ตัดกัน แสดงว่าเป็นพื้นผิวเต็มของตัวเรขาคณิต ซึ่งเรียกอีกอย่างว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม สิ่งนี้ทำให้เกิดคำจำกัดความที่สามของรูปทรงหลายเหลี่ยมในฐานะตัวเรขาคณิตเอง

ปริซึมตรง

ปริซึมเรียกว่า ตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
ปริซึมเรียกว่า เฉียงถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน
ปริซึมตรงมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ปริซึมเรียกว่า ถูกต้องถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ใบหน้าด้านข้าง
พื้นผิวปริซึมเต็มเท่ากับผลรวมของพื้นผิวด้านข้างและพื้นที่ฐาน

องค์ประกอบปริซึม:
จุด - เรียกว่า จุดยอด
ส่วนที่เรียกว่าซี่โครงด้านข้าง
รูปหลายเหลี่ยมและ - เรียกว่าฐาน นอกจากนี้เครื่องบินยังถูกเรียกว่าฐานและ

24. ขนานกัน(จากภาษากรีก παράλλος - ขนานและกรีก επιπεδον - ระนาบ) - ปริซึมซึ่งฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือ (เทียบเท่า) รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหกหน้าและแต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

§ เส้นขนานมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม

§ ส่วนใด ๆ ที่มีปลายที่เป็นของพื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานและผ่านตรงกลางของเส้นทแยงมุมจะลดลงครึ่งหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทแยงมุมทั้งหมดของเส้นทแยงมุมทั้งหมดมาบรรจบกัน ณ จุดหนึ่งและถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน

§ ฝ่ายตรงข้ามของกล่องขนานและเท่ากัน

§ กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลรวมของกำลังสองของสามมิติของมัน

พื้นที่ผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสองเท่าของผลบวกของพื้นที่ของใบหน้าทั้งสามของด้านขนานนี้:

1.	NS= 2(ส อา+เอส บี+S c)= 2(อะบี+bc+ac)

25 . ปิรามิดและองค์ประกอบของมัน

พิจารณาระนาบ รูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ในนั้นและจุด S ที่ไม่อยู่ในนั้น เชื่อมต่อ S กับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด ส่วนเส้นเรียกว่าซี่โครงด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐานและจุด S เรียกว่ายอดปิรามิด ขึ้นอยู่กับจำนวน n ปิรามิดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยม (n = 3) สี่เหลี่ยม (n = 4) ปิรามิด (n = 5) เป็นต้น ชื่ออื่นสำหรับพีระมิดสามเหลี่ยมคือ จัตุรมุข... ความสูงของปิรามิดเรียกว่าแนวตั้งฉากโดยลดระดับจากบนลงล่างถึงระนาบของฐาน

พีระมิดเรียกว่าปกติถ้ารูปหลายเหลี่ยมปกติและฐานของความสูงของปิรามิด (ฐานตั้งฉาก) เป็นจุดศูนย์กลาง

โปรแกรมถูกออกแบบมาเพื่อคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติ
พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และส่วนที่เหลือของใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม

สูตรคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ:

โดยที่ p คือปริมณฑลของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม ABCDE)
a - apothem (OS);

Apothem คือความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติซึ่งดึงมาจากด้านบน

การหาพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติ ให้ป้อนค่าปริมณฑลของพีระมิดและเส้นตั้งฉาก จากนั้นคลิกปุ่ม CALCULATE โปรแกรมจะกำหนดพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติ ค่า ซึ่งสามารถวางบนคลิปบอร์ดได้

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนหนึ่งของปิรามิดเต็มซึ่งอยู่ระหว่างฐานและส่วนที่ขนานกับปิรามิด
ส่วนที่เรียกว่า ฐานบนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนและฐานของปิรามิดเต็มคือ ฐานล่างปิรามิดที่ถูกตัดทอน (ฐานคล้ายคลึงกัน) ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ในปิรามิดที่ถูกตัดทอน3 NSซี่โครง2 NSยอดเขา NS+ 2 ใบหน้า NS(NS- 3) เส้นทแยงมุม ระยะห่างระหว่างฐานบนและฐานล่างคือความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน (ส่วนที่ถูกตัดออกจากความสูงของปิรามิดเต็ม)
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของใบหน้า
ปริมาตรปิรามิดที่ถูกตัดทอน ( NSและ NS- พื้นที่ฐาน NS- ความสูง)

ร่างกายของการหมุนเรียกว่า วัตถุที่เกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นรอบเส้นตรง

ทรงกระบอกกลมตรงจะถูกจารึกไว้ในลูกบอลถ้าวงกลมของฐานอยู่บนทรงกลม ฐานของทรงกระบอกเป็นวงกลมเล็ก ๆ ของลูกบอล ศูนย์กลางของลูกบอลตรงกับตรงกลางของแกนทรงกระบอก [ 2 ]

ทรงกระบอกกลมตรงจะถูกจารึกไว้ในลูกบอลถ้าวงกลมของฐานอยู่บนทรงกลม เห็นได้ชัดว่าศูนย์กลางของลูกบอลไม่ได้อยู่ตรงกลางของแกนกระบอกสูบ [ 3 ]

ปริมาตรของกระบอกสูบใดๆเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานโดยความสูง:

1.	วี=π NS 2 ชม

พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเท่ากับผลรวมของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกและพื้นที่ฐานของทรงกระบอกสองเท่า

สูตรคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก:

27. ได้รูปกรวยกลมโดยการหมุนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาข้างหนึ่งของมัน ดังนั้น กรวยกลมจึงเรียกอีกอย่างว่ากรวยแห่งการปฏิวัติ ดูเพิ่มเติมที่ ปริมาตรกรวยกลม

พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยและฐาน ฐานของกรวยเป็นวงกลม และพื้นที่คำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม:

2.	NS=π r l+π NS 2 = พาย NS(NS+l)

28. Frustumปรากฎว่าส่วนนั้นถูกวาดในกรวยขนานกับฐาน ร่างกายที่ล้อมรอบด้วยส่วนนี้ ฐานและพื้นผิวด้านข้างของกรวยเรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน ดูเพิ่มเติมที่ ปริมาณกรวยที่ถูกตัดทอน

พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยที่ถูกตัดทอนเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนและฐาน ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนเป็นวงกลมและคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม: NS= π (NS 1 2 + (NS 1 + NS 2)l+ NS 2 2)

29. ลูกบอลคือวัตถุทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว ซึ่งทุกจุดอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน ระยะนี้เรียกว่ารัศมีของลูกบอล

ทรงกลม(กรีก σφαῖρα - บอล) - พื้นผิวปิด, ตำแหน่งของจุดในอวกาศ, เท่ากันจากจุดที่กำหนด, เรียกว่าจุดศูนย์กลางของทรงกลม ทรงกลมเป็นกรณีพิเศษของทรงรีซึ่งทั้งสามแกน (semiaxes, radii) เท่ากัน ทรงกลมคือพื้นผิวของลูกบอล

พื้นที่ของพื้นผิวทรงกลมของส่วนทรงกลม (ภาคทรงกลม) และชั้นทรงกลมขึ้นอยู่กับความสูงและรัศมีของลูกบอลเท่านั้นและเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลมใหญ่ของลูกบอลคูณด้วยความสูง

ปริมาณบอลเท่ากับปริมาตรของพีระมิด ฐานซึ่งมีพื้นที่เท่ากับผิวของลูก และความสูงคือรัศมีของลูก

ปริมาตรของทรงกลมน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกที่อธิบายไว้รอบ ๆ หนึ่งเท่าครึ่ง

องค์ประกอบลูก

Ball Segment เครื่องบินตัดแบ่งลูกบอลออกเป็นสองส่วน NS- ความสูงของส่วน 0< NS < 2 NS, NS- รัศมีของฐานเซกเมนต์ ปริมาณส่วนบอล พื้นที่ผิวทรงกลมของส่วนทรงกลม
ชั้นทรงกลม ชั้นทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของลูกบอลที่ล้อมรอบระหว่างสองส่วนขนานกัน ระยะทาง ( NS) ระหว่างส่วนเรียกว่า ความสูงของชั้นและส่วนเอง - ฐานของชั้น... พื้นที่ผิวทรงกลม ( ปริมาณ) ของชั้นทรงกลมสามารถพบได้เป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของพื้นผิวทรงกลม (ปริมาตร) ของส่วนทรงกลม

 1. การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข(รูปที่ 56).

ผลิตภัณฑ์ของ vector NSตามหมายเลข λ เรียกว่าเวกเตอร์ วี, โมดูลัสซึ่งเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ NSต่อโมดูลหมายเลข λ :

ทิศทางไม่เปลี่ยนถ้า λ > 0 ; ย้อนกลับ if λ < 0 ... ถ้า λ = -1แล้วเวกเตอร์

เรียกว่าเวกเตอร์ตรงข้ามกับเวกเตอร์ NSและแสดงว่า

 2. การบวกเวกเตอร์... การหาผลรวมของเวกเตอร์สองตัว NSและ วีเวกเตอร์

จากนั้นผลรวมจะเป็นเวกเตอร์ซึ่งจุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของอันแรกและจุดสิ้นสุด - กับจุดสิ้นสุดของวินาที กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์นี้เรียกว่า "กฎสามเหลี่ยม" (รูปที่ 57) จำเป็นต้องพรรณนาถึงเงื่อนไขเวกเตอร์เพื่อให้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอันแรก

มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสำหรับเวกเตอร์ "ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของเงื่อนไข"
ให้เราระบุกฎอีกข้อหนึ่งสำหรับการบวกเวกเตอร์ - "กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน" หากเรารวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่เพิ่มและสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานจากนั้นผลรวมจะเป็นเวกเตอร์ที่ตรงกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ (รูปที่ 58)

เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มตาม "กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน" นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันกับตามกฎ "สามเหลี่ยม"
"กฎสามเหลี่ยม" นั้นง่ายต่อการทำให้ทั่วไป (สำหรับกรณีที่มีหลายพจน์) การหาผลรวมของเวกเตอร์

จำเป็นต้องรวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองกับจุดสิ้นสุดของครั้งแรก จุดเริ่มต้นของสาม - กับจุดสิ้นสุดของวินาที ฯลฯ จากนั้นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กับตรงกับจุดเริ่มต้นครั้งแรกและจุดสิ้นสุด กับ- กับส่วนท้ายของหลัง (รูปที่ 59)

 3. การลบเวกเตอร์... การลบจะลดลงเหลือสองการดำเนินการก่อนหน้า: ผลต่างของเวกเตอร์สองตัวคือผลรวมของอันแรกกับเวกเตอร์ตรงข้ามกับอันที่สอง:

คุณยังสามารถกำหนด "กฎสามเหลี่ยม" สำหรับการลบเวกเตอร์: จำเป็นต้องรวมจุดกำเนิดของเวกเตอร์เข้าด้วยกัน NSและ วีแล้วผลต่างจะเป็นเวกเตอร์

วาดจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ วีต่อท้ายเวกเตอร์ NS(รูปที่ 60)

ในอนาคต เราจะพูดถึงเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ นั่นคือ เวกเตอร์ที่เชื่อมต่อตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของจุด ยอมรับว่ากฎการกระทำที่นำมาใช้กับเวกเตอร์นั้นค่อนข้างชัดเจนสำหรับเวกเตอร์การกระจัด

 4. ดอทผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์... ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว NSและ วีคือจำนวน c เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุม α ระหว่าง

การทำงานของดอทผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์นั้นใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์ ในอนาคตเรามักจะต้องรับมือกับการดำเนินการดังกล่าว

1.กำหนดนิยามของเส้นตัดกัน กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทแสดงเกณฑ์ของเส้นตัดกัน 2 / พิสูจน์ว่าถ้าสอง

เส้นตรงขนานกับเส้นที่สามแล้วขนานกัน 3. วาดส่วนของ ABCDA1B1C1D1 แบบขนานที่มีระนาบผ่านจุด A, C และ M โดยที่ M เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ AlDl

ตัวเลขใดไม่ใช่ตัวเลขหลักในอวกาศ 1) จุด; 2) ส่วน; 3) ตรง; 4) เครื่องบิน

2. ตรงและข. การผสมข้ามพันธุ์ เส้นตรงเป็นอย่างไรb สัมพันธ์กับระนาบ α ถ้าเส้น ϵ α?

1) ไม้กางเขน; 2) ขนานกัน; 3) อยู่ในเครื่องบิน; 4) ไม้กางเขน

3. พิจารณาว่าข้อความใดเป็นความจริง:

1) ฉากตั้งฉากยาวกว่าแนวเฉียง

2) หากความชันสองเส้นไม่เท่ากัน ความชันที่มากกว่าจะมีเส้นโครงที่เล็กกว่า

3) เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบ ถ้าตั้งฉากกับด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมที่อยู่ในระนาบนี้

4) มุมระหว่างเส้นตรงขนานกับระนาบเท่ากับ 90º

4. ระยะห่างระหว่างระนาบขนานสองระนาบคือ 8 ซม. ส่วนของเส้นตรงซึ่งมีความยาว 17 ซม. ตั้งอยู่ระหว่างระนาบทั้งสองเพื่อให้ปลายของมันเป็นระนาบ หาโครงของส่วนของเส้นตรงนี้บนระนาบแต่ละระนาบ

1) 15 ซม. 2) 9 ซม. 3) 25 ซม.) 4) 12 ซม.

5. TE ตั้งฉากเท่ากับ 6 dm ถูกดึงไปที่ระนาบของ MCRT คำนวณระยะทางจากจุด E ถึงด้านบนของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน K ถ้า MK = 8 dm มุม M ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับ60º

1) 10 นาที; 2) 14 นาที; 3) 8 นาที; 4) 12 ชม.

6. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 12 ซม. นอกระนาบของรูปสามเหลี่ยม ให้จุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุดของสามเหลี่ยม 10 ซม. หาระยะทางจากจุดถึงระนาบของสามเหลี่ยม .

1) 4 ซม. 2) 16 ซม. 3) 8 ซม. 4) 10 ซม.

7. จากจุดหนึ่ง เส้นตั้งฉากและเส้นเอียงจะถูกลากไปที่ระนาบนี้ โดยมีมุมระหว่าง 60º หาการฉายภาพเอียงบนระนาบที่กำหนดหากเส้นตั้งฉากคือ 5 ซม.

1) 5√3 ซม. 2) 10 ซม. 3) 5 ซม. 4) 10√3 ซม.

8. ค้นหา พื้นผิวด้านข้างพีระมิดสามเหลี่ยมปกติ ถ้าด้านข้างของฐานยาว 2 ซม. และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดที่ฐานมีค่าเท่ากับ30º

1) 2 cm2; 2) 2√3 cm2; 3) √3 cm2; 4) 3√2 cm2.

9. หาพื้นที่ผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีสามมิติเท่ากับ 3 ซม. 4 ซม. 5 ซม.

1) 94 cm2; 2) 47 cm2; 3) 20 cm2; 4) 54 ซม2.

เครื่องบิน.

b) ถ้าเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับระนาบนี้ แล้วอีกเส้นหนึ่งตัดกับระนาบนี้ด้วย

ค) ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม จะตัดกัน

ง) ถ้าเส้นตรงและระนาบไม่มีจุดร่วม แสดงว่าเส้นนั้นอยู่ในระนาบ

จ) เส้นตรงและระนาบเรียกว่า ทางข้าม ถ้าไม่มีจุดร่วม

ระนาบ b) ถ้าเส้นตรงขนานสองเส้นตัดกับระนาบนี้ เส้นตรงอีกเส้นตัดกับระนาบนี้ด้วย c) ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกับเส้นตรงที่สาม จะตัดกัน d) ถ้าเส้นตรงและ เครื่องบินไม่มีจุดร่วม แล้วเส้นตรงอยู่ในระนาบ) เส้นตรงและระนาบจะเรียกว่าการข้ามหากไม่มีจุดร่วม
2. เส้นตรง c ขนานกับเส้นตรง a ตัดระนาบ β เส้น b ขนานกับเส้น a แล้ว:

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นเพื่อให้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ได้สำเร็จด้วยคะแนน 60-65 งานทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เสร็จสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ อยากสอบผ่านให้ได้ 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือคะแนนสอบมากกว่า 70 คะแนน และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักเรียนด้านมนุษยศาสตร์ไม่สามารถทำได้โดยปราศจากพวกเขา

ทฤษฎีทั้งหมดที่คุณต้องการ วิธีที่รวดเร็ววิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบ ถอดประกอบงานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากธนาคารงานของ FIPI หลักสูตรตรงตามข้อกำหนดของการสอบปี 2018 อย่างครบถ้วน

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและตรงไปตรงมา

ข้อสอบนับร้อย ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและจำง่ายสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์การมอบหมาย USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี ทริคเด็ดๆวิธีแก้ปัญหา, แผ่นโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติจากศูนย์สู่ปัญหาที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ดีกรี และลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในส่วนที่ 2 ของการสอบ