ตลอดบทนี้จะถือว่ามีการเลือกมาตราส่วนที่แน่นอนในระนาบ (ซึ่งตัวเลขทั้งหมดที่พิจารณาด้านล่างโกหก) พิจารณาเฉพาะระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่มีมาตราส่วนนี้เท่านั้น

§ 1. พาราโบลา

ผู้อ่านจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนรู้จักพาราโบลาว่าเป็นเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน

(รูปที่ 76) (1)

กราฟของตรีโกณมิติกำลังสองใดๆ

ก็เป็นพาราโบลาเช่นกัน เป็นไปได้โดยเพียงแค่เปลี่ยนระบบพิกัด (โดยเวกเตอร์ OO บางตัว) เช่น การแปลง

ตรวจสอบให้แน่ใจว่ากราฟของฟังก์ชัน (ในระบบพิกัดที่สอง) เกิดขึ้นพร้อมกับกราฟ (2) (ในระบบพิกัดแรก)

ที่จริง ให้เราแทน (3) ลงในความเท่าเทียมกัน (2) เราได้รับ

เราต้องการเลือกเพื่อให้สัมประสิทธิ์ที่และเทอมอิสระของพหุนาม (เทียบกับ ) ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับศูนย์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราพิจารณาจากสมการ

ซึ่งจะช่วยให้

ตอนนี้เราพิจารณาจากเงื่อนไข

โดยเราจะแทนค่าที่พบแล้ว เราได้รับ

ดังนั้นโดยการใช้กะ (3) ซึ่งในนั้น

เราย้ายไปยังระบบพิกัดใหม่ ซึ่งสมการของพาราโบลา (2) อยู่ในรูปแบบ

(รูปที่ 77)

ลองกลับไปที่สมการ (1) กัน สามารถใช้เป็นคำจำกัดความของพาราโบลาได้ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของมัน เส้นโค้งมีแกนสมมาตร: หากจุดหนึ่งเป็นไปตามสมการ (1) ก็จะเป็นจุดนั้น จุดสมมาตร M สัมพันธ์กับแกนกำหนดยังเป็นไปตามสมการ (1) - เส้นโค้งมีความสมมาตรสัมพันธ์กับแกนกำหนด (รูปที่ 76)

ถ้า แล้วพาราโบลา (1) อยู่ในระนาบครึ่งบน โดยมีจุดร่วมจุดเดียว O กับแกนแอบซิสซา

ด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดในมูลค่าสัมบูรณ์ของ Abscissa ลำดับยังเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดอีกด้วย มุมมองทั่วไปของเส้นโค้งแสดงไว้ในรูปที่ 1 76 ก.

ถ้า (รูปที่ 76, b) เส้นโค้งจะอยู่ในระนาบครึ่งล่างแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกนแอบซิสซากับเส้นโค้ง

หากเราย้ายไปยังระบบพิกัดใหม่ที่ได้รับจาก ทดแทนเก่าทิศทางบวกของแกนพิกัดไปทางตรงข้าม จากนั้นพาราโบลาซึ่งมีสมการ y ในระบบเก่าจะได้รับสมการ y ในระบบพิกัดใหม่ ดังนั้น เมื่อศึกษาพาราโบลา เราสามารถจำกัดตัวเองอยู่แค่สมการ (1) ซึ่ง .

สุดท้ายนี้ให้เราเปลี่ยนชื่อแกน กล่าวคือ เราจะย้ายไปยังระบบพิกัดใหม่ โดยที่แกนพิกัดจะเป็นแกนแอบซิสซาแบบเก่า และแกนอับซิสซาจะเป็นแกนพิกัดเก่า ในระบบใหม่นี้ สมการ (1) จะถูกเขียนในรูปแบบ

หรือหากตัวเลขแสดงด้วย ในรูปแบบ

สมการ (4) ในเรขาคณิตวิเคราะห์เรียกว่าสมการมาตรฐานของพาราโบลา ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมซึ่งพาราโบลาที่กำหนดมีสมการ (4) เรียกว่าระบบพิกัดมาตรฐาน (สำหรับพาราโบลานี้)

ตอนนี้เราจะสร้างความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ การทำเช่นนี้เรายึดประเด็น

เรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา (4) และเส้นตรง d ซึ่งกำหนดโดยสมการ

เส้นนี้เรียกว่าไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา (4) (ดูรูปที่ 78)

อนุญาต เป็นจุดใดก็ได้ของพาราโบลา (4) จากสมการ (4) จะได้ว่า ดังนั้น ระยะห่างของจุด M จากไดเรกตริกซ์ d คือตัวเลข

ระยะห่างของจุด M จากโฟกัส F คือ

แต่เพราะฉะนั้น

ดังนั้น จุด M ทุกจุดของพาราโบลามีระยะห่างเท่ากันจากโฟกัสและไดเรกตริกซ์:

ในทางกลับกัน ทุกจุด M เป็นไปตามเงื่อนไข (8) จะอยู่บนพาราโบลา (4)

อย่างแท้จริง,

เพราะฉะนั้น,

และหลังจากเปิดวงเล็บแล้วนำคำที่คล้ายกันมา

เราได้พิสูจน์แล้วว่าแต่ละพาราโบลา (4) คือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากโฟกัส F และจากไดเรกตริกซ์ d ของพาราโบลานี้เท่ากัน

ในเวลาเดียวกัน เราได้กำหนดความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ในสมการ (4) โดยตัวเลขจะเท่ากับระยะห่างระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา

ตอนนี้ให้เราสมมติว่าจุด F และเส้น d ที่ไม่ผ่านจุดนี้ถูกกำหนดไว้ตามอำเภอใจบนระนาบ ขอให้เราพิสูจน์ว่ามีพาราโบลาที่มีโฟกัส F และไดเรกตริกซ์ d อยู่

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ลากเส้น g ผ่านจุด F (รูปที่ 79) ซึ่งตั้งฉากกับเส้น d ให้เราแสดงจุดตัดของทั้งสองเส้นด้วย D; ระยะทาง (เช่น ระยะห่างระหว่างจุด F และเส้นตรง d) จะแสดงด้วย

ให้เราเปลี่ยนเส้นตรง g เป็นแกน โดยให้ทิศทาง DF เป็นบวก ขอให้เราสร้างแกนนี้เป็นแกนแอบซิสซาของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม โดยมีจุดกำเนิดคือ O ตรงกลางของเซ็กเมนต์

จากนั้นเส้นตรง d ก็จะได้รับสมการด้วย

ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการบัญญัติของพาราโบลาในระบบพิกัดที่เลือกได้:

โดยที่จุด F จะเป็นโฟกัส และเส้นตรง d จะเป็นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา (4)

เรากำหนดไว้ข้างต้นแล้วว่าพาราโบลาคือตำแหน่งของจุด M ซึ่งอยู่ห่างจากจุด F และเส้น d เท่ากัน ดังนั้น เราสามารถให้คำจำกัดความของพาราโบลาทางเรขาคณิต (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดใดๆ) ได้

คำนิยาม. พาราโบลาคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่ง ("โฟกัส" ของพาราโบลา) และเส้นคงที่บางจุดเท่ากัน ("ไดเร็กทริกซ์" ของพาราโบลา)

การระบุระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสและไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาด้วย เราสามารถค้นหาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่เป็นที่ยอมรับสำหรับพาราโบลาที่กำหนดได้เสมอ นั่นคือระบบที่สมการของพาราโบลามีรูปแบบมาตรฐาน:

ในทางกลับกัน เส้นโค้งใดๆ ที่มีสมการดังกล่าวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบางระบบจะเป็นพาราโบลา (ในความหมายทางเรขาคณิตที่เพิ่งสร้างขึ้น)

ระยะห่างระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาเรียกว่าพารามิเตอร์โฟกัส หรือเรียกง่ายๆ ว่าพารามิเตอร์ของพาราโบลา

เส้นที่ลากผ่านโฟกัสที่ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาเรียกว่าแกนโฟกัส (หรือเรียกง่ายๆ ว่าแกน) มันคือแกนสมมาตรของพาราโบลา - ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าแกนของพาราโบลาคือแกนแอบซิสซาในระบบพิกัดซึ่งสัมพันธ์กับสมการของพาราโบลาที่มีรูปแบบ (4)

หากจุดหนึ่งเป็นไปตามสมการ (4) จุดที่สมมาตรกับจุด M สัมพันธ์กับแกนแอบซิสซาก็จะเป็นไปตามสมการนี้เช่นกัน

จุดตัดของพาราโบลากับแกนเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา มันเป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัดตามบัญญัติของพาราโบลาที่กำหนด

เรามาตีความทางเรขาคณิตของพารามิเตอร์พาราโบลากันอีกครั้ง

ให้เราวาดเส้นตรงผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา ซึ่งตั้งฉากกับแกนของพาราโบลา มันจะตัดพาราโบลาที่จุดสองจุด (ดูรูปที่ 79) และกำหนดสิ่งที่เรียกว่าคอร์ดโฟกัสของพาราโบลา (นั่นคือ คอร์ดที่ผ่านโฟกัสขนานกับไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา) ครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นโฟกัสคือค่าพารามิเตอร์ของพาราโบลา

ในความเป็นจริง ครึ่งหนึ่งของความยาวของคอร์ดโฟกัสคือค่าสัมบูรณ์ของการเรียงลำดับของจุดใด ๆ ซึ่ง abscissa ของแต่ละจุดจะเท่ากับ abscissa ของโฟกัสนั่นคือ ดังนั้นสำหรับการเรียงลำดับของแต่ละจุดที่เรามี

Q.E.D.

พิจารณาเส้นบนเครื่องบินและจุดที่ไม่อยู่บนเส้นนี้ และ วงรี, และ ไฮเปอร์โบลาสามารถกำหนดในลักษณะรวมเป็นตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุด โดยอัตราส่วนของระยะทางต่อจุดที่กำหนดต่อระยะทางต่อเส้นตรงที่กำหนดเป็นค่าคงที่

อันดับ ε ที่ 0 1 - ไฮเปอร์โบลา พารามิเตอร์ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลางของทั้งวงรีและไฮเปอร์โบลา. ของที่เป็นไปได้ ค่าบวกพารามิเตอร์หนึ่งตัว ε คือ ε = 1 กลายเป็นว่าไม่ได้ใช้ ค่านี้สอดคล้องกับตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดและจากเส้นที่กำหนดเท่ากัน

คำนิยาม 8.1ตำแหน่งของจุดในระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่และจากเส้นคงที่เรียกว่า พาราโบลา

จุดคงที่เรียกว่า จุดโฟกัสของพาราโบลาและเส้นตรง - ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา. ขณะเดียวกันก็มีความเชื่อกันว่า ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลา เท่ากับหนึ่ง.

จากการพิจารณาทางเรขาคณิต พาราโบลามีความสมมาตรโดยเทียบกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา เส้นตรงนี้เรียกว่าแกนสมมาตรของพาราโบลาหรือเรียกง่ายๆ ว่า แกนของพาราโบลา. พาราโบลาตัดแกนสมมาตรที่จุดเดียว จุดนี้เรียกว่า จุดยอดของพาราโบลา. ตั้งอยู่ตรงกลางของส่วนที่เชื่อมต่อโฟกัสของพาราโบลากับจุดตัดของแกนกับไดเรกตริกซ์ (รูปที่ 8.3)

สมการพาราโบลาเพื่อให้ได้สมการของพาราโบลา เราเลือกบนระนาบ ต้นทางที่จุดยอดของพาราโบลา เช่น แกน x- แกนของพาราโบลา ซึ่งเป็นทิศทางบวกที่ระบุโดยตำแหน่งของโฟกัส (ดูรูปที่ 8.3) ระบบพิกัดนี้เรียกว่า ตามบัญญัติสำหรับพาราโบลาที่เป็นปัญหา และตัวแปรที่เกี่ยวข้องคือ ตามบัญญัติ.

ให้เราแสดงระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกตริกซ์ด้วย p เขาถูกเรียก พารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา.

จากนั้นโฟกัสจะมีพิกัด F(p/2; 0) และไดเรกตริกซ์ d อธิบายได้ด้วยสมการ x = - p/2 ตำแหน่งของจุด M(x; y) ซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุด F และจากเส้น d ได้จากสมการ

ให้เรายกสมการกำลังสอง (8.2) แล้วนำเสนอสมการที่คล้ายกัน เราได้สมการ

ซึ่งถูกเรียกว่า สมการพาราโบลามาตรฐาน.

โปรดทราบว่าการยกกำลังสองในกรณีนี้คือการแปลงสมการ (8.2) ที่เท่ากัน เนื่องจากสมการทั้งสองข้างไม่เป็นลบ เช่นเดียวกับนิพจน์ใต้ราก

ประเภทของพาราโบลาหากพาราโบลา y 2 = x ซึ่งเป็นรูปแบบที่เราพิจารณาว่าทราบ ถูกบีบอัดด้วยสัมประสิทธิ์ 1/(2р) ตามแนวแกนแอบซิสซา เราจะได้พาราโบลา ปริทัศน์ซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการ (8.3)

ตัวอย่างที่ 8.2ขอให้เราค้นหาพิกัดของโฟกัสและสมการของไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา ถ้ามันผ่านจุดที่มีพิกัดมาตรฐานเป็น (25; 10)

ในพิกัดมาตรฐาน สมการของพาราโบลามีรูปแบบ y 2 = 2px เนื่องจากจุด (25; 10) อยู่บนพาราโบลา ดังนั้น 100 = 50p ดังนั้น p = 2 ดังนั้น y 2 = 4x จึงเป็นสมการมาตรฐานของพาราโบลา x = - 1 คือสมการของไดเรกตริกซ์ของมัน และ โฟกัสอยู่ที่จุด (1; 0 )

สมบัติเชิงแสงของพาราโบลาพาราโบลามีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติทางแสง. หากวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่จุดโฟกัสของพาราโบลา รังสีแสงทั้งหมดหลังจากการสะท้อนจากพาราโบลาจะขนานกับแกนของพาราโบลา (รูปที่ 8.4) สมบัติทางแสงหมายความว่าที่จุด M ใดๆ ของพาราโบลา เวกเตอร์ปกติแทนเจนต์ทำมุมเท่ากันกับรัศมีโฟกัส MF และแกนแอบซิสซา

ฟังก์ชันของแบบฟอร์มที่เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสอง.

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง – พาราโบลา.

ลองพิจารณากรณีต่างๆ:

ฉันกรณีพาราโบลาคลาสสิก

นั่นคือ , ,

หากต้องการสร้าง ให้กรอกตารางโดยแทนที่ค่า x ลงในสูตร:

ทำเครื่องหมายจุด (0;0); (1;1); (-1;1) เป็นต้น บนระนาบพิกัด (ยิ่งขั้นตอนที่เราใช้ค่า x น้อย (ในกรณีนี้คือขั้นตอนที่ 1) และยิ่งเราใช้ค่า x มากเท่าใด เส้นโค้งก็จะยิ่งนุ่มนวลขึ้นเท่านั้น) เราจะได้พาราโบลา:

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเราใช้กรณี , , นั่นคือ เราจะได้พาราโบลาที่สมมาตรรอบแกน (oh) ง่ายต่อการตรวจสอบโดยกรอกตารางที่คล้ายกัน:

กรณีที่สอง “a” แตกต่างจากหน่วย

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเอา , , ? พฤติกรรมของพาราโบลาจะเปลี่ยนไปอย่างไร? ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

ในภาพแรก (ดูด้านบน) จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าจุดจากตารางสำหรับพาราโบลา (1;1), (-1;1) ถูกแปลงเป็นจุด (1;4), (1;-4) นั่นคือ ที่มีค่าเท่ากัน ลำดับของแต่ละจุดจะคูณด้วย 4 ซึ่งจะเกิดขึ้นกับจุดสำคัญทั้งหมดของตารางต้นฉบับ เราให้เหตุผลคล้ายกันในกรณีของภาพที่ 2 และ 3

และเมื่อพาราโบลา “กว้างขึ้น” มากกว่าพาราโบลา:

สรุป:

1)เครื่องหมายสัมประสิทธิ์กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) มูลค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์ (โมดูลัส) มีหน้าที่รับผิดชอบในการ "ขยายตัว" และ "การบีบอัด" ของพาราโบลา ยิ่งพาราโบลามีขนาดใหญ่เท่าใด พาราโบลาก็จะแคบลง |a| ยิ่งเล็ก พาราโบลาก็จะยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น

กรณีที่สาม “C” ปรากฏขึ้น

ตอนนี้เรามาแนะนำเกม (นั่นคือ พิจารณากรณีที่) เราจะพิจารณาพาราโบลาของแบบฟอร์ม . เดาได้ไม่ยาก (คุณสามารถดูตารางได้ตลอดเวลา) ว่าพาราโบลาจะเลื่อนขึ้นหรือลงตามแนวแกนขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย:

IV กรณี “b” ปรากฏขึ้น

พาราโบลาจะ “แยกตัว” ออกจากแกนและ “เดิน” ไปตามระนาบพิกัดทั้งหมดเมื่อใด เมื่อไหร่จะเลิกเท่ากัน?

ตรงนี้เพื่อสร้างพาราโบลาที่เราต้องการ สูตรคำนวณจุดยอด: , .

ดังนั้น ณ จุดนี้ ( ณ จุด (0;0) ระบบใหม่พิกัด) เราจะสร้างพาราโบลาซึ่งเราทำได้แล้ว หากเรากำลังจัดการกับกรณีนี้จากจุดยอดเราวางส่วนของหน่วยหนึ่งส่วนไปทางขวาหนึ่งส่วนขึ้น - จุดผลลัพธ์คือของเรา (ในทำนองเดียวกันก้าวไปทางซ้ายหนึ่งก้าวขึ้นไปคือจุดของเรา) หากเรากำลังเผชิญอยู่ตัวอย่างเช่นจากจุดสุดยอดเราวางส่วนของหน่วยไปทางขวาสอง - ขึ้นไปเป็นต้น

ตัวอย่างเช่น จุดยอดของพาราโบลา:

สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจคือที่จุดยอดนี้ เราจะสร้างพาราโบลาตามรูปแบบพาราโบลา เพราะในกรณีของเรา

เมื่อสร้างพาราโบลา หลังจากหาพิกัดของจุดยอดได้มากแล้วสะดวกในการพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

1) พาราโบลา จะผ่านจุดนั้นไปอย่างแน่นอน . อันที่จริง เมื่อแทน x=0 ลงในสูตร เราก็จะได้ว่า นั่นคือ พิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) คือ ในตัวอย่างของเรา (ด้านบน) พาราโบลาตัดกันพิกัดที่จุด เนื่องจาก

2) แกนสมมาตร พาราโบลา เป็นเส้นตรง ดังนั้นทุกจุดของพาราโบลาจะสมมาตรกัน ในตัวอย่างของเรา เราจะหาจุด (0; -2) ทันทีและสร้างมันขึ้นมาแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตรของพาราโบลา เราจะได้จุด (4; -2) ที่พาราโบลาจะผ่านไป

3) เมื่อเท่ากับ เราจะหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oh) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ เราจะได้หนึ่ง (, ), สอง ( title="Rendered โดย QuickLaTeX.com ขึ้นอยู่กับการเลือกปฏิบัติ)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ รากของการแบ่งแยกของเราไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อสร้าง มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่เราจะค้นหาราก แต่เราเห็นชัดเจนว่าเราจะมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน (oh) (ตั้งแต่ title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

เรามาลองดูกันดีกว่า

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างพาราโบลาหากกำหนดไว้ในรูปแบบ

1) กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน (a>0 – up, a<0 – вниз)

2) เราค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร , .

3) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) โดยใช้เทอมอิสระสร้างจุดที่สมมาตรถึงจุดนี้ด้วยความเคารพต่อแกนสมมาตรของพาราโบลา (ควรสังเกตว่ามันเกิดขึ้นว่าการทำเครื่องหมายนั้นไม่ได้ประโยชน์ เช่นจุดนี้เพราะค่ามันมาก...เราข้ามจุดนี้ไป...)

4) ที่จุดที่พบ - จุดยอดของพาราโบลา (ณ จุด (0;0) ของระบบพิกัดใหม่) เราสร้างพาราโบลา ถ้า title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) (หากยังไม่ "โผล่ขึ้นมา") โดยการแก้สมการ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

หมายเหตุ 1.หากในตอนแรกเราให้พาราโบลาในรูปแบบ ซึ่งมีตัวเลขอยู่บ้าง (เช่น ) การสร้างพาราโบลาจะง่ายกว่านี้อีก เนื่องจากเราได้รับพิกัดของจุดยอดแล้ว ทำไม

ลองใช้ตรีโกณมิติกำลังสองแล้วแยกกำลังสองทั้งหมดออกจากกัน ดูสิ เราเข้าใจแล้ว , . คุณและฉันก่อนหน้านี้เรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือตอนนี้

ตัวอย่างเช่น, . เราทำเครื่องหมายจุดยอดของพาราโบลาบนระนาบ เราเข้าใจว่ากิ่งก้านชี้ลง พาราโบลาถูกขยาย (สัมพันธ์กับ ) นั่นคือเราดำเนินการตามข้อ 1; 3; 4; 5 จากอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา (ดูด้านบน)

โน้ต 2.หากพาราโบลาถูกกำหนดไว้ในรูปแบบที่คล้ายกับสิ่งนี้ (นั่นคือ นำเสนอเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว) เราจะเห็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน (วัว) ทันที ในกรณีนี้ – (0;0) และ (4;0) ส่วนที่เหลือเราดำเนินการตามอัลกอริธึมโดยเปิดวงเล็บ

ระดับ 3

3.1. อติพจน์สัมผัสบรรทัดที่ 5 x – 6ย – 16 = 0, 13x – 10ย– – 48 = 0 เขียนสมการของไฮเปอร์โบลาโดยมีเงื่อนไขว่าแกนของมันตรงกับแกนพิกัด

3.2. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับไฮเปอร์โบลา

1) ผ่านจุดหนึ่ง ก(4, 1), บี(5, 2) และ ค(5, 6);

2) ขนานกับเส้นตรง 10 x – 3ย + 9 = 0;

3) ตั้งฉากกับเส้นตรง 10 x – 3ย + 9 = 0.

พาราโบลาคือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในระนาบซึ่งมีพิกัดเป็นไปตามสมการ

พารามิเตอร์พาราโบลา:

จุด เอฟ(พี/2, 0) ถูกเรียก จุดสนใจ พาราโบลา, ขนาด พี – พารามิเตอร์ , จุด เกี่ยวกับ(0, 0) – สูงสุด . ในกรณีนี้คือเส้นตรง ของซึ่งพาราโบลามีความสมมาตร จะกำหนดแกนของเส้นโค้งนี้

ขนาด ที่ไหน ม(x, ย) – จุดใดๆ ของพาราโบลาที่เรียกว่า รัศมีโฟกัส , ตรง ดี: x = –พี/2 – ครูใหญ่ (ไม่ได้ตัดกับบริเวณภายในของพาราโบลา) ขนาด เรียกว่าความเยื้องศูนย์ของพาราโบลา

คุณสมบัติลักษณะสำคัญของพาราโบลา: จุดทุกจุดของพาราโบลามีระยะห่างจากไดเรกตริกซ์และโฟกัสเท่ากัน (รูปที่ 24)

มีสมการพาราโบลารูปแบบอื่นที่กำหนดทิศทางอื่นของกิ่งก้านในระบบพิกัด (รูปที่ 25):

สำหรับ คำนิยามพาราโบลาของพาราโบลา เป็นพารามิเตอร์ ทีค่าพิกัดของจุดพาราโบลาสามารถหาได้:

ที่ไหน ที– โดยพลการ เบอร์จริง.

ตัวอย่างที่ 1กำหนดพารามิเตอร์และรูปร่างของพาราโบลาโดยใช้สมการมาตรฐาน:

สารละลาย. 1. สมการ ย 2 = –8xกำหนดพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด เกี่ยวกับ โอ้. กิ่งก้านของมันหันไปทางซ้าย เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ ย 2 = –2พิกเซลเราพบ: 2 พี = 8, พี = 4, พี/2 = 2 ดังนั้นโฟกัสจึงอยู่ที่จุดนั้น เอฟ(–2; 0) สมการไดเรกตริกซ์ ดี: x= 2 (รูปที่ 26)

2. สมการ x 2 = –4ยกำหนดพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด โอ(0; 0) สมมาตรรอบแกน เฮ้ย. กิ่งก้านของมันชี้ลง เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ x 2 = –2พายเราพบ: 2 พี = 4, พี = 2, พี/2 = 1 ดังนั้นโฟกัสจึงอยู่ที่จุดนั้น เอฟ(0; –1) สมการไดเรกทริกซ์ ดี: ย= 1 (รูปที่ 27)

ตัวอย่างที่ 2กำหนดพารามิเตอร์และประเภทของเส้นโค้ง x 2 + 8x – 16ย– 32 = 0 วาดรูป

สารละลาย.ลองแปลงด้านซ้ายของสมการโดยใช้วิธีการแยกกำลังสองแบบสมบูรณ์:

x 2 + 8x– 16ย – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16ย – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16ย – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(ย + 3).

เป็นผลให้เราได้รับ

(x + 4) 2 = 16(ย + 3).

นี่คือสมการมาตรฐานของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (–4, –3) ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ พี= 8 กิ่งก้านชี้ขึ้น () แกน x= –4. โฟกัสอยู่ที่จุด เอฟ(–4; –3 + พี/2) กล่าวคือ เอฟ(–4; 1) อาจารย์ใหญ่ ดีกำหนดโดยสมการ ย = –3 – พี/2 หรือ ย= –7 (รูปที่ 28)

ตัวอย่างที่ 4เขียนสมการของพาราโบลาโดยให้จุดยอดอยู่ที่จุดนั้น วี(3; –2) และมุ่งความสนใจไปที่จุดนั้น เอฟ(1; –2).

สารละลาย.จุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลาที่กำหนดจะอยู่บนเส้นตรงขนานกับแกน วัว(ลำดับเดียวกัน) กิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางซ้าย (แอบซิสซาของโฟกัสน้อยกว่าแอบซิสซาของจุดยอด) ระยะห่างจากโฟกัสถึงจุดยอดคือ พี/2 = 3 – 1 = 2, พี= 4 ดังนั้นสมการที่ต้องการ

(ย+ 2) 2 = –2 4( x– 3) หรือ ( ย + 2) 2 = = –8(x – 3).

งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ

ฉันระดับ

1.1. กำหนดพารามิเตอร์ของพาราโบลาและสร้างมันขึ้นมา:

1) ย 2 = 2x; 2) ย 2 = –3x;

3) x 2 = 6ย; 4) x 2 = –ย.

1.2. เขียนสมการของพาราโบลาโดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดเริ่มต้นหากคุณรู้ว่า:

1) พาราโบลาอยู่ในระนาบครึ่งซ้ายอย่างสมมาตรสัมพันธ์กับแกน วัวและ พี = 4;

2) พาราโบลานั้นอยู่ในตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนอย่างสมมาตร เฮ้ยและผ่านจุดนั้นไป ม(4; –2).

3) ไดเรกทริกซ์ได้รับจากสมการที่ 3 ย + 4 = 0.

1.3. เขียนสมการของเส้นโค้งทุกจุดซึ่งมีระยะห่างจากจุด (2; 0) และเส้นตรงเท่ากัน x = –2.

ระดับที่สอง

2.1. กำหนดประเภทและพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง

ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านคนอื่นๆ เพิ่มพูนความรู้ในโรงเรียนเกี่ยวกับพาราโบลาและไฮเปอร์โบลาอย่างมีนัยสำคัญ ไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา - มันง่ายไหม? ...รอไม่ไหวแล้ว =)

ไฮเปอร์โบลาและสมการบัญญัติของมัน

โครงสร้างทั่วไปการนำเสนอเนื้อหาจะคล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า เริ่มต้นด้วย แนวคิดทั่วไปไฮเปอร์โบลาและปัญหาในการก่อสร้าง

สมการมาตรฐานของไฮเปอร์โบลามีรูปแบบ โดยที่จำนวนจริงบวก โปรดทราบว่าไม่เหมือน วงรีในที่นี้ไม่ได้กำหนดเงื่อนไข นั่นคือ ค่าของ "a" อาจน้อยกว่าค่าของ "be"

ต้องบอกว่าค่อนข้างไม่คาดคิดเลย... สมการของไฮเปอร์โบลา "โรงเรียน" ไม่ได้คล้ายกับสัญกรณ์ตามรูปแบบบัญญัติมากนักด้วยซ้ำ แต่ความลึกลับนี้ยังคงต้องรอเราอยู่ แต่ตอนนี้เรามาเกาหัวแล้วจำอะไรไว้ คุณสมบัติลักษณะเส้นโค้งดังกล่าวมีหรือไม่? มาเผยแพร่บนจอแห่งจินตนาการของเรากันเถอะ กราฟของฟังก์ชัน ….

ไฮเปอร์โบลามีกิ่งก้านสมมาตรสองกิ่ง

ก้าวหน้าไม่เลว! อติพจน์ใด ๆ มีคุณสมบัติเหล่านี้ และตอนนี้เราจะดูด้วยความชื่นชมอย่างแท้จริงที่คอเสื้อของบรรทัดนี้:

ตัวอย่างที่ 4

สร้างไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ

สารละลาย: ในขั้นตอนแรก เรานำสมการนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐาน โปรดจำไว้ว่าขั้นตอนมาตรฐาน ทางด้านขวาคุณจะต้องได้ "หนึ่ง" ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองข้างของสมการดั้งเดิมด้วย 20:

ที่นี่คุณสามารถลดเศษส่วนทั้งสองได้ แต่จะเหมาะสมกว่าถ้าทำแต่ละเศษส่วน สามชั้น:

และหลังจากนั้นก็ดำเนินการลด:

เลือกกำลังสองในตัวส่วน:

เหตุใดจึงดีกว่าที่จะดำเนินการเปลี่ยนแปลงด้วยวิธีนี้ ท้ายที่สุดแล้ว เศษส่วนทางด้านซ้ายสามารถลดและรับได้ทันที ความจริงก็คือในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เราโชคดีนิดหน่อย: ตัวเลข 20 หารด้วย 4 และ 5 ลงตัว ในกรณีทั่วไป ตัวเลขดังกล่าวใช้ไม่ได้ผล พิจารณาตัวอย่างสมการ ที่นี่ด้วยความแบ่งแยกทุกสิ่งจะเศร้ากว่าและไม่มีเลย เศษส่วนสามชั้นเป็นไปไม่ได้อีกต่อไป:

ลองใช้ผลงานของเรา - สมการทางบัญญัติ:

จะสร้างไฮเปอร์โบลาได้อย่างไร?

มีสองวิธีในการสร้างไฮเปอร์โบลา - เรขาคณิตและพีชคณิต
จากมุมมองเชิงปฏิบัติ การวาดภาพด้วยเข็มทิศ... ฉันจะบอกว่ายูโทเปียด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากกว่ามากหากใช้การคำนวณง่ายๆ อีกครั้งเพื่อช่วย

ขอแนะนำให้ปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้ก่อน วาดเสร็จแล้วแล้วแสดงความคิดเห็น:

ในทางปฏิบัติ มักพบการรวมกันของการหมุนโดยมุมใดก็ได้และการแปลแบบขนานของไฮเปอร์โบลา สถานการณ์นี้พูดคุยกันในชั้นเรียน การลดสมการบรรทัดลำดับที่ 2 ให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน.

พาราโบลาและสมการบัญญัติของมัน

จบแล้ว! เธอคือคนนั้น. พร้อมเผยความลับมากมาย สมการบัญญัติของพาราโบลามีรูปแบบ โดยที่ คือจำนวนจริง สังเกตได้ง่ายว่าในตำแหน่งมาตรฐาน พาราโบลาจะ "นอนตะแคง" และจุดยอดอยู่ที่จุดเริ่มต้น ในกรณีนี้ ฟังก์ชันระบุสาขาบนของบรรทัดนี้ และฟังก์ชัน - สาขาล่าง เห็นได้ชัดว่าพาราโบลามีความสมมาตรรอบแกน ที่จริงแล้วทำไมต้องกังวล:

ตัวอย่างที่ 6

สร้างพาราโบลา

สารละลาย: ตัวท็อปก็รู้แล้วมาหาเลย คะแนนเพิ่มเติม. สมการ กำหนดส่วนโค้งด้านบนของพาราโบลา สมการกำหนดส่วนโค้งล่าง

เพื่อให้การบันทึกการคำนวณสั้นลง เราจะดำเนินการคำนวณ "ด้วยแปรงเดียว":

สำหรับการบันทึกแบบกะทัดรัด สามารถสรุปผลลัพธ์เป็นตารางได้

ก่อนที่จะทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุดเบื้องต้น เรามากำหนดกฎเกณฑ์ที่เข้มงวดก่อน

คำจำกัดความของพาราโบลา:

พาราโบลาคือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนดและเส้นที่กำหนดซึ่งไม่ผ่านจุดนั้น

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดสนใจพาราโบลา เส้นตรง - ครูใหญ่ (สะกดด้วยตัว "es")พาราโบลา ค่าคงที่ "pe" ของสมการบัญญัติเรียกว่า พารามิเตอร์โฟกัสซึ่งเท่ากับระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกตริกซ์ ในกรณีนี้ . ในกรณีนี้โฟกัสมีพิกัด และไดเร็กตริกซ์ถูกกำหนดโดยสมการ
ในตัวอย่างของเรา:

คำจำกัดความของพาราโบลานั้นง่ายต่อการเข้าใจมากกว่าคำจำกัดความของวงรีและไฮเปอร์โบลา สำหรับจุดใดๆ บนพาราโบลา ความยาวของเซ็กเมนต์ (ระยะห่างจากจุดโฟกัสถึงจุด) จะเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉาก (ระยะห่างจากจุดถึงไดเรกตริกซ์):

ยินดีด้วย! วันนี้หลายท่านได้ค้นพบความจริงแล้ว ปรากฎว่าไฮเปอร์โบลาและพาราโบลาไม่ใช่กราฟของฟังก์ชัน "ธรรมดา" เลย แต่มีต้นกำเนิดทางเรขาคณิตที่เด่นชัด

แน่นอนว่าเมื่อพารามิเตอร์โฟกัสเพิ่มขึ้น กิ่งก้านของกราฟจะ "ยก" ขึ้นและลง และเข้าใกล้แกนอย่างไม่สิ้นสุด เมื่อค่า "pe" ลดลง พวกมันจะเริ่มบีบอัดและยืดไปตามแกน

ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลามีค่าเท่ากับความสามัคคี:

การหมุนและการแปลขนานของพาราโบลา

พาราโบลาเป็นหนึ่งในเส้นที่พบบ่อยที่สุดในคณิตศาสตร์ และคุณจะต้องสร้างมันบ่อยๆ ดังนั้น โปรดให้ความสนใจเป็นพิเศษกับย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน ซึ่งฉันจะพูดถึงตัวเลือกทั่วไปสำหรับตำแหน่งของเส้นโค้งนี้

! บันทึก : เช่นเดียวกับในกรณีของเส้นโค้งก่อนหน้า การพูดถึงการหมุนและการแปลแบบขนานจะถูกต้องมากกว่า แกนประสานงานแต่ผู้เขียนจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงการนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่าย เพื่อให้ผู้อ่านมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้