พิจารณาเส้นบนเครื่องบินและจุดที่ไม่อยู่บนเส้นนี้ และ วงรี, และ ไฮเปอร์โบลาสามารถกำหนดได้ในลักษณะรวมเป็นตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุด โดยอัตราส่วนของระยะทางต่อจุดที่กำหนดต่อระยะทางต่อเส้นตรงที่กำหนดเป็นค่าคงที่

อันดับ ε ที่ 0 1 - ไฮเปอร์โบลา พารามิเตอร์ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลางของทั้งวงรีและไฮเปอร์โบลา. ของที่เป็นไปได้ ค่าบวกพารามิเตอร์หนึ่งตัว ε คือ ε = 1 กลายเป็นว่าไม่ได้ใช้ ค่านี้สอดคล้องกับตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดและจากเส้นที่กำหนดเท่ากัน

คำนิยาม 8.1ตำแหน่งของจุดในระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่และจากเส้นคงที่เรียกว่า พาราโบลา

จุดคงที่เรียกว่า จุดโฟกัสของพาราโบลาและเส้นตรง - ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา. ขณะเดียวกันก็มีความเชื่อกันว่า ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลา เท่ากับหนึ่ง.

จากการพิจารณาทางเรขาคณิต พาราโบลามีความสมมาตรโดยเทียบกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา เส้นตรงนี้เรียกว่าแกนสมมาตรของพาราโบลาหรือเรียกง่ายๆ ว่า แกนของพาราโบลา. พาราโบลาตัดแกนสมมาตรที่จุดเดียว จุดนี้เรียกว่า จุดยอดของพาราโบลา. ตั้งอยู่ตรงกลางของส่วนที่เชื่อมต่อโฟกัสของพาราโบลากับจุดตัดของแกนกับไดเรกตริกซ์ (รูปที่ 8.3)

สมการพาราโบลาเพื่อให้ได้สมการของพาราโบลา เราเลือกบนระนาบ ต้นทางที่จุดยอดของพาราโบลา เช่น แกน x- แกนของพาราโบลา ซึ่งเป็นทิศทางบวกที่ระบุโดยตำแหน่งของโฟกัส (ดูรูปที่ 8.3) ระบบพิกัดนี้เรียกว่า ตามบัญญัติสำหรับพาราโบลาที่เป็นปัญหา และตัวแปรที่เกี่ยวข้องคือ ตามบัญญัติ.

ให้เราแสดงระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกตริกซ์ด้วย p เขาถูกเรียก พารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา.

จากนั้นโฟกัสจะมีพิกัด F(p/2; 0) และไดเรกตริกซ์ d อธิบายได้ด้วยสมการ x = - p/2 ตำแหน่งของจุด M(x; y) ซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุด F และจากเส้น d ได้จากสมการ

ให้เรายกสมการกำลังสอง (8.2) แล้วนำเสนอสมการที่คล้ายกัน เราได้สมการ

ซึ่งถูกเรียกว่า สมการพาราโบลามาตรฐาน.

โปรดทราบว่าการยกกำลังสองในกรณีนี้คือการแปลงสมการ (8.2) ที่เท่ากัน เนื่องจากสมการทั้งสองข้างไม่เป็นลบ เช่นเดียวกับนิพจน์ใต้ราก

ประเภทของพาราโบลาหากพาราโบลา y 2 = x ซึ่งเป็นรูปแบบที่เราพิจารณาว่าทราบ ถูกบีบอัดด้วยสัมประสิทธิ์ 1/(2р) ตามแนวแกนแอบซิสซา เราจะได้พาราโบลา ปริทัศน์ซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการ (8.3)

ตัวอย่างที่ 8.2ขอให้เราค้นหาพิกัดของโฟกัสและสมการของไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา ถ้ามันผ่านจุดที่มีพิกัดมาตรฐานเป็น (25; 10)

ในพิกัดมาตรฐาน สมการของพาราโบลามีรูปแบบ y 2 = 2px เนื่องจากจุด (25; 10) อยู่บนพาราโบลา ดังนั้น 100 = 50p ดังนั้น p = 2 ดังนั้น y 2 = 4x จึงเป็นสมการมาตรฐานของพาราโบลา x = - 1 คือสมการของไดเรกตริกซ์ของมัน และ โฟกัสอยู่ที่จุด (1; 0 )

สมบัติเชิงแสงของพาราโบลาพาราโบลามีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติทางแสง. หากวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่จุดโฟกัสของพาราโบลา รังสีแสงทั้งหมดหลังจากการสะท้อนจากพาราโบลาจะขนานกับแกนของพาราโบลา (รูปที่ 8.4) สมบัติทางแสงหมายความว่าที่จุด M ใดๆ ของพาราโบลา เวกเตอร์ปกติแทนเจนต์ทำมุมเท่ากันกับรัศมีโฟกัส MF และแกนแอบซิสซา

บรรยายเรื่องพีชคณิตและเรขาคณิต ภาคเรียนที่ 1

การบรรยายครั้งที่ 17 พาราโบลา

บทที่ 17 พาราโบลา

ข้อ 1. คำจำกัดความพื้นฐาน

คำนิยาม. พาราโบลาคือ GMT ของระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่จุดหนึ่งของระนาบที่เรียกว่าโฟกัส และเส้นคงที่อีกเส้นหนึ่งเรียกว่าไดเรกตริกซ์

คำนิยาม. ระยะห่างจากจุด M ใดๆ ของระนาบถึงจุดโฟกัสของพาราโบลาเรียกว่ารัศมีโฟกัสของจุด M

การกำหนด: F – โฟกัสของพาราโบลา, r – รัศมีโฟกัส คะแนน M,d– ระยะห่างจากจุด M ถึงไดเรกทริกซ์ D

ตามนิยามของพาราโบลา จุด M คือจุดของพาราโบลาก็ต่อเมื่อเท่านั้น
.

ตามคำจำกัดความของพาราโบลา โฟกัสและไดเรกตริกซ์ของมันคือวัตถุคงที่ ดังนั้นระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกตริกซ์จึงเป็นค่าคงที่สำหรับพาราโบลาที่กำหนด

คำนิยาม. ระยะห่างจากจุดโฟกัสของพาราโบลาถึงไดเรกตริกซ์เรียกว่าพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา

การกำหนด:
.

ให้เราแนะนำระบบพิกัดบนระนาบนี้ ซึ่งเราจะเรียกว่ามาตรฐานสำหรับพาราโบลา

คำนิยาม. แกนที่ลากผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลาที่ตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์เรียกว่าแกนโฟกัสของพาราโบลา

เรามาสร้าง Canonical PDSC สำหรับพาราโบลากัน ดูรูปที่ 2

เนื่องจากแกนแอบซิสซา เราเลือกแกนโฟกัส ซึ่งเป็นทิศทางที่เราเลือกจากไดเรกตริกซ์ไปยังโฟกัส

แกนกำหนดจะถูกลากผ่านตรงกลางของส่วน FN ซึ่งตั้งฉากกับแกนโฟกัส จากนั้นโฟกัสจะมีพิกัด
.

ข้อ 2. สมการ Canonical ของพาราโบลา

ทฤษฎีบท. ในระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับพาราโบลา สมการของพาราโบลามีรูปแบบดังนี้

. (1)

การพิสูจน์. เราดำเนินการพิสูจน์ในสองขั้นตอน ในขั้นแรก เราจะพิสูจน์ว่าพิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนพาราโบลาเป็นไปตามสมการ (1) ในขั้นที่สอง เราจะพิสูจน์ว่าการแก้สมการใดๆ (1) ให้พิกัดของจุดบนพาราโบลา จากนี้ไปสมการ (1) จะเป็นไปตามพิกัดของจุดเหล่านั้นและเฉพาะจุดเหล่านั้นของระนาบพิกัดที่อยู่บนพาราโบลา

จากนี้และจากคำจำกัดความของสมการของเส้นโค้ง มันจะเป็นไปตามสมการที่ (1) คือสมการของพาราโบลา

1) ให้จุด M(x, y) เป็นจุดของพาราโบลา เช่น

.

ลองใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัดและใช้สูตรนี้เพื่อค้นหารัศมีโฟกัสของจุดที่กำหนด M:

.

จากรูปที่ 2 เราจะเห็นว่าจุดพาราโบลาไม่สามารถมีจุดหักมุมเป็นลบได้ เนื่องจาก ในกรณีนี้
. นั่นเป็นเหตุผล
และ
. จากตรงนี้เราจะได้ความเท่าเทียมกัน

.

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ:

และหลังจากการลดลง เราจะได้รับ:

.

2) ให้คู่ของตัวเลข (x, y) เป็นไปตามสมการ (1) และให้ M(x, y) เป็นจุดที่สอดคล้องกันบนระนาบพิกัด Oxy

จากนั้นเราแทนที่ความเท่าเทียมกัน (1) ลงในนิพจน์สำหรับรัศมีโฟกัสของจุด M:

ซึ่งตามนิยามของพาราโบลา จะเป็นไปตามที่จุด M(x, y) อยู่บนพาราโบลา

ที่นี่เราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าจากความเท่าเทียมกัน (1) เป็นไปตามนั้น
และดังนั้นจึง
.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม. สมการ (1) เรียกว่าสมการพาราโบลามาตรฐาน

คำนิยาม. ต้นกำเนิดของระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับพาราโบลาเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา

ข้อ 3 คุณสมบัติของพาราโบลา

ทฤษฎีบท. (คุณสมบัติของพาราโบลา)

1. ในระบบพิกัดตามบัญญัติของพาราโบลาในแถบ

ไม่มีจุดพาราโบลา

2. ในระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับพาราโบลา จุดยอดของพาราโบลา O(0; 0) อยู่บนพาราโบลา

3. พาราโบลาคือเส้นโค้งที่มีความสมมาตรรอบแกนโฟกัส

การพิสูจน์. 1, 2) ตามมาจากสมการพาราโบลามาตรฐานทันที

3) ให้ M(x, y) เป็นจุดใดก็ได้ของพาราโบลา จากนั้นพิกัดของมันก็เป็นไปตามสมการ (1) แต่แล้วพิกัดของจุดนั้น
เป็นไปตามสมการ (1) ด้วย ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นจุดของพาราโบลาด้วย ซึ่งเป็นที่มาของประโยคของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อ 4 การสร้างพาราโบลา

เนื่องจากความสมมาตร จึงเพียงพอที่จะสร้างพาราโบลาในไตรมาสแรก ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน

,

แล้วแสดงกราฟผลลัพธ์แบบสมมาตรเกี่ยวกับแกน x

เราสร้างกราฟของฟังก์ชันนี้โดยคำนึงถึงว่าฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา
.

ข้อ 5. พารามิเตอร์โฟกัสของไฮเปอร์โบลา

ทฤษฎีบท. พารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลาเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากกับแกนสมมาตร โดยคืนค่าที่จุดโฟกัสของพาราโบลาก่อนจะตัดกับพาราโบลา

การพิสูจน์. ตั้งแต่จุด
คือจุดตัดของพาราโบลา
ด้วยความตั้งฉาก
(ดูรูปที่ 3) จากนั้นพิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการพาราโบลา:

.

จากที่นี่เราพบว่า
ซึ่งคำกล่าวของทฤษฎีบทจะตามมา

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อ 6 คำจำกัดความรวมของวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

การใช้คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วของวงรีและไฮเปอร์โบลา และคำจำกัดความของพาราโบลา ทำให้เราสามารถให้คำจำกัดความเดียวสำหรับเส้นโค้งทั้งสามเส้นได้

คำนิยาม. ระนาบ HMT ซึ่งอัตราส่วนของระยะทางต่อจุดคงที่จุดหนึ่งของระนาบเรียกว่าโฟกัสต่อระยะห่างต่อเส้นตรงคงที่หนึ่งเส้นเรียกว่าไดเรกตริกซ์เป็นค่าคงที่เรียกว่า:

ก) วงรีถ้าค่าคงที่นี้น้อยกว่า 1;

b) ไฮเปอร์โบลาถ้าค่าคงที่นี้มากกว่า 1;

c) พาราโบลาถ้าค่าคงที่นี้เท่ากับ 1

ค่าคงที่ที่อ้างถึงในคำจำกัดความนี้เรียกว่าความเยื้องศูนย์กลางและแสดงแทน ระยะห่างจากจุดที่กำหนดถึงโฟกัสคือรัศมีโฟกัส r ระยะห่างจากจุดที่กำหนดถึงไดเรกตริกซ์จะแสดงด้วย d

จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามนั้นว่าจุดเหล่านั้นของระนาบซึ่งมีความสัมพันธ์กัน มีปริมาณคงที่ที่ก่อตัวเป็นรูปวงรี ไฮเปอร์โบลา หรือพาราโบลา ขึ้นอยู่กับขนาดของอัตราส่วนนี้

ถ้า
แล้วเราจะได้วงรีถ้า
แล้วเราจะได้ไฮเปอร์โบลาถ้า
แล้วเราจะได้พาราโบลา

ข้อ 7 แทนเจนต์กับพาราโบลา

ทฤษฎีบท. อนุญาต
– จุดใดก็ได้ของพาราโบลา

.

แล้วสมการแทนเจนต์ของพาราโบลานี้คือ

ตรงจุด
มีรูปแบบ:

. (2)

การพิสูจน์. ก็เพียงพอที่จะพิจารณากรณีที่จุดติดต่ออยู่ในไตรมาสแรก จากนั้นสมการของพาราโบลาจะเป็นดังนี้:

และถือได้ว่าเป็นกราฟของฟังก์ชัน
.

ลองใช้สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันกัน
ตรงจุด
:

ที่ไหน
– ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดหนึ่ง
.

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน
และมูลค่า ณ จุดสัมผัส:

,
.

ตรงนี้เราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าจุดสัมผัส
เป็นจุดของพาราโบลา ดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นไปตามสมการของพาราโบลา กล่าวคือ

.

เราแทนที่ค่าอนุพันธ์ที่พบเป็นสมการแทนเจนต์:

,

เราได้รับ:

.

ตั้งแต่จุด
เป็นของพาราโบลา จากนั้นพิกัดของมันก็เป็นไปตามสมการของมัน นั่นคือ
เราได้รับที่ไหน

หรือ
.

นี่หมายถึง

.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อ 8 คุณสมบัติสะท้อนของพาราโบลา

ทฤษฎีบท. เส้นสัมผัสของพาราโบลาจะมีมุมเท่ากันกับแกนสมมาตรและมีรัศมีโฟกัสของจุดสัมผัสกัน

การพิสูจน์. อนุญาต
- จุดติดต่อ, – รัศมีโฟกัส ให้เราแสดงด้วย N จุดตัดของเส้นสัมผัสกันกับแกนแอบซิสซา พิกัดของจุด N เท่ากับศูนย์ และจุด N อยู่บนแทนเจนต์ ดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นไปตามสมการแทนเจนต์ เมื่อแทนพิกัดของจุด N ลงในสมการแทนเจนต์ เราจะได้:

,

โดยที่ abscissa ของจุด N เท่ากับ
.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม
. ลองพิสูจน์ว่ามันเป็นหน้าจั่ว.

จริงหรือ,
. ที่นี่เราใช้ความเท่าเทียมกันที่ได้รับเมื่อได้รับสมการพาราโบลามาตรฐาน:

.

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน จากที่นี่

ฯลฯ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็น ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดได้ในรูปของคุณสมบัติการสะท้อนของพาราโบลา

รังสีที่ปล่อยออกมาจากจุดโฟกัสของพาราโบลาหลังจากการสะท้อนจากกระจกของพาราโบลา จะขนานกับแกนสมมาตรของพาราโบลา

อันที่จริง เนื่องจากมุมตกกระทบของรังสีบนแทนเจนต์เท่ากับมุมสะท้อนจากมัน มุมระหว่างแทนเจนต์กับรังสีสะท้อนจึงเท่ากับมุมระหว่างแทนเจนต์กับแกนแอบซิสซา ซึ่งหมายความว่าการสะท้อนกลับ รังสีขนานกับแกนแอบซิสซา

ความคิดเห็น คุณสมบัติของพาราโบลานี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในเทคโนโลยี หากพาราโบลาหมุนรอบแกนสมมาตร เราจะได้พื้นผิวที่เรียกว่าพาราโบลาแห่งการปฏิวัติ หากคุณสร้างพื้นผิวสะท้อนแสงเป็นรูปพาราโบลาแห่งการปฏิวัติและวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่โฟกัส รังสีที่สะท้อนจะขนานกับแกนสมมาตรของพาราโบลาลอยด์ นี่คือวิธีการออกแบบสปอตไลท์และ ไฟรถยนต์. หากวางอุปกรณ์ที่รับการสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้า (คลื่น) ไว้ที่โฟกัส อุปกรณ์เหล่านั้นจะสะท้อนจากพื้นผิวของพาราโบลาลอยด์และเข้าสู่อุปกรณ์รับนี้ จานดาวเทียมทำงานบนหลักการนี้

มีตำนานเล่าว่าในสมัยโบราณผู้บังคับบัญชาคนหนึ่งได้เรียงรายนักรบของเขาตามแนวชายฝั่ง ทำให้ขบวนของพวกเขาเป็นรูปโค้งพาราโบลา แสงแดดที่สะท้อนจากโล่ของนักรบที่ขัดเงาจนแวววาวถูกรวบรวมเป็นลำแสง (ที่จุดโฟกัสของพาราโบลาที่สร้างขึ้น) ด้วยวิธีนี้เรือศัตรูจึงถูกเผา แหล่งข้อมูลบางแห่งเชื่อว่าสิ่งนี้มาจากอาร์คิมีดีส ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งชาวอาหรับเรียกพาราโบลอยด์แห่งการหมุนว่าเป็น "กระจกที่ก่อความไม่สงบ"

อย่างไรก็ตามคำว่า "โฟกัส" เป็นภาษาละตินและหมายถึงไฟเตาไฟ การใช้ "กระจกเงา" คุณสามารถจุดไฟและต้มน้ำในวันที่มีแดดได้ ที่มาของคำนี้จึงชัดเจน

คำว่า "เคล็ดลับ" ยังหมายถึงเคล็ดลับหรือกลอุบายบางอย่าง ก่อนหน้านี้คณะละครสัตว์ถูกเรียกว่าบูธ ดังนั้น ศิลปินที่ตลกขบขันยังใช้คุณสมบัติกระจกของวงรี และด้วยการส่องไฟไปที่จุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรี พวกเขาจุดชนวนบางสิ่งที่ติดไฟได้ซึ่งอยู่ในจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่ง ปรากฏการณ์นี้ถูกเรียกว่าเป็นกลอุบาย (อ่านหนังสือที่ยอดเยี่ยมของ N.Ya. Vilenkin“ เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์”)

ข้อ 9 สมการเชิงขั้วของวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

ให้จุด F ถูกกำหนดไว้บนระนาบ ซึ่งเราจะเรียกว่าโฟกัส และให้เส้น D ซึ่งเราจะเรียกว่าไดเรกตริกซ์ ให้เราวาดเส้นตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ (แกนโฟกัส) ผ่านโฟกัส และแนะนำระบบพิกัดเชิงขั้ว ให้เราวางขั้วไว้ที่จุดโฟกัส และในฐานะที่เป็นรังสีขั้วโลก เราจะหาส่วนของเส้นตรงที่ไม่ตัดกับไดเรกตริกซ์ (ดูรูปที่ 5)

ให้จุด M อยู่บนวงรี ไฮเปอร์โบลา หรือพาราโบลา ต่อไปนี้เราจะเรียกไฮเปอร์โบลาหรือพาราโบลาว่าเส้นโค้ง

ทฤษฎีบท. อนุญาต
– พิกัดเชิงขั้วของจุดบนเส้นโค้ง (วงรี ไฮเปอร์โบลา หรือพาราโบลา) แล้ว

, (3)

โดยที่ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของเส้นโค้ง – ความเยื้องศูนย์กลางของเส้นโค้ง (สำหรับพาราโบลาที่เราถือว่า
).

การพิสูจน์. ให้ Q เป็นเส้นโครงของจุด M บนแกนโฟกัสของเส้นโค้ง B – บนไดเรกตริกซ์ของเส้นโค้ง ปล่อยให้มุมเชิงขั้ว จุด M เป็นจุดป้าน ดังรูปที่ 5 จากนั้น

,

โดยการก่อสร้าง
– ระยะห่างจากจุด M ถึงไดเรกตริกซ์ และ

. (4)

ในทางกลับกัน ตามคำจำกัดความทั่วไปของวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา อัตราส่วนดังกล่าว

(5)

เท่ากับความเยื้องศูนย์กลางของเส้นโค้งที่สอดคล้องกันสำหรับจุด M ใดๆ บนเส้นโค้งที่กำหนด ปล่อยให้ประเด็น
– จุดตัดกันของเส้นโค้งโดยตั้งฉากกับแกนโฟกัส ซึ่งกลับคืนสู่โฟกัส F และ A – การฉายภาพไปยังไดเรกตริกซ์ แล้ว

, ที่ไหน
. แต่
, ที่ไหน

และเมื่อแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกัน (4) เราจะได้

หรือคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (5)

ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (3) จึงถูกพิสูจน์ดังนี้

โปรดทราบว่าความเท่าเทียมกัน (4) ยังคงเป็นจริงในกรณีที่มุมเชิงขั้ว จุด M คมเพราะว่า ในกรณีนี้ จุด Q อยู่ทางด้านขวาของโฟกัส F และ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม. สมการ (3) เรียกว่าสมการเชิงขั้วของวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

ฟังก์ชันของแบบฟอร์มที่เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสอง.

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง – พาราโบลา.

ลองพิจารณากรณีต่างๆ:

ฉันกรณีพาราโบลาคลาสสิก

นั่นคือ , ,

หากต้องการสร้าง ให้กรอกตารางโดยแทนที่ค่า x ลงในสูตร:

ทำเครื่องหมายจุด (0;0); (1;1); (-1;1) เป็นต้น บนระนาบพิกัด (ยิ่งขั้นตอนที่เราใช้ค่า x น้อย (ในกรณีนี้คือขั้นตอนที่ 1) และยิ่งเราใช้ค่า x มากเท่าใด เส้นโค้งก็จะยิ่งนุ่มนวลขึ้นเท่านั้น) เราจะได้พาราโบลา:

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเราใช้กรณี , , นั่นคือ เราจะได้พาราโบลาที่สมมาตรรอบแกน (oh) ง่ายต่อการตรวจสอบโดยกรอกตารางที่คล้ายกัน:

กรณีที่สอง “a” แตกต่างจากหน่วย

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเอา , , ? พฤติกรรมของพาราโบลาจะเปลี่ยนไปอย่างไร? ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

ในภาพแรก (ดูด้านบน) จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าจุดจากตารางสำหรับพาราโบลา (1;1), (-1;1) ถูกแปลงเป็นจุด (1;4), (1;-4) นั่นคือ ที่มีค่าเท่ากัน ลำดับของแต่ละจุดจะคูณด้วย 4 ซึ่งจะเกิดขึ้นกับจุดสำคัญทั้งหมดของตารางต้นฉบับ เราให้เหตุผลคล้ายกันในกรณีของภาพที่ 2 และ 3

และเมื่อพาราโบลา “กว้างขึ้น” มากกว่าพาราโบลา:

สรุป:

1)เครื่องหมายสัมประสิทธิ์กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) มูลค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์ (โมดูลัส) มีหน้าที่รับผิดชอบในการ "ขยายตัว" และ "การบีบอัด" ของพาราโบลา ยิ่งพาราโบลามีขนาดใหญ่เท่าใด พาราโบลาก็จะแคบลง |a| ยิ่งเล็ก พาราโบลาก็จะยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น

กรณีที่สาม “C” ปรากฏขึ้น

ตอนนี้เรามาแนะนำเกม (นั่นคือ พิจารณากรณีที่) เราจะพิจารณาพาราโบลาของแบบฟอร์ม . เดาได้ไม่ยาก (คุณสามารถดูตารางได้ตลอดเวลา) ว่าพาราโบลาจะเลื่อนขึ้นหรือลงตามแนวแกนขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย:

IV กรณี “b” ปรากฏขึ้น

พาราโบลาจะ “แยกตัว” ออกจากแกนและ “เดิน” ไปตามระนาบพิกัดทั้งหมดเมื่อใด เมื่อไหร่จะเลิกเท่ากัน?

ตรงนี้เพื่อสร้างพาราโบลาที่เราต้องการ สูตรคำนวณจุดยอด: , .

ดังนั้น ณ จุดนี้ ( ณ จุด (0;0) ระบบใหม่พิกัด) เราจะสร้างพาราโบลาซึ่งเราทำได้แล้ว หากเรากำลังจัดการกับกรณีนี้จากจุดยอดเราวางส่วนของหน่วยหนึ่งส่วนไปทางขวาหนึ่งส่วนขึ้น - จุดผลลัพธ์คือของเรา (ในทำนองเดียวกันก้าวไปทางซ้ายหนึ่งก้าวขึ้นไปคือจุดของเรา) หากเรากำลังเผชิญอยู่ตัวอย่างเช่นจากจุดสุดยอดเราวางส่วนของหน่วยไปทางขวาสอง - ขึ้นไปเป็นต้น

ตัวอย่างเช่น จุดยอดของพาราโบลา:

สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจคือที่จุดยอดนี้ เราจะสร้างพาราโบลาตามรูปแบบพาราโบลา เพราะในกรณีของเรา

เมื่อสร้างพาราโบลา หลังจากหาพิกัดของจุดยอดได้มากแล้วสะดวกในการพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

1) พาราโบลา จะผ่านจุดนั้นไปอย่างแน่นอน . อันที่จริง เมื่อแทน x=0 ลงในสูตร เราก็จะได้ว่า นั่นคือ พิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) คือ ในตัวอย่างของเรา (ด้านบน) พาราโบลาตัดกันพิกัดที่จุด เนื่องจาก

2) แกนสมมาตร พาราโบลา เป็นเส้นตรง ดังนั้นทุกจุดของพาราโบลาจะสมมาตรกัน ในตัวอย่างของเรา เราจะหาจุด (0; -2) ทันทีและสร้างมันขึ้นมาแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตรของพาราโบลา เราจะได้จุด (4; -2) ที่พาราโบลาจะผ่านไป

3) เมื่อเท่ากับ เราจะหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oh) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ เราจะได้หนึ่ง (, ), สอง ( title="Rendered โดย QuickLaTeX.com ขึ้นอยู่กับการเลือกปฏิบัติ)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ รากของการแบ่งแยกของเราไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อสร้าง มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่เราจะค้นหาราก แต่เราเห็นชัดเจนว่าเราจะมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน (oh) (ตั้งแต่ title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

เรามาลองดูกันดีกว่า

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างพาราโบลาหากกำหนดไว้ในรูปแบบ

1) กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน (a>0 – up, a<0 – вниз)

2) เราค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร , .

3) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) โดยใช้เทอมอิสระสร้างจุดที่สมมาตรถึงจุดนี้ด้วยความเคารพต่อแกนสมมาตรของพาราโบลา (ควรสังเกตว่ามันเกิดขึ้นว่าการทำเครื่องหมายนั้นไม่ได้ประโยชน์ เช่นจุดนี้เพราะค่ามันมาก...เราข้ามจุดนี้ไป...)

4) ที่จุดที่พบ - จุดยอดของพาราโบลา (ณ จุด (0;0) ของระบบพิกัดใหม่) เราสร้างพาราโบลา ถ้า title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) (หากยังไม่ "โผล่ขึ้นมา") โดยการแก้สมการ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

หมายเหตุ 1.หากในตอนแรกเราให้พาราโบลาในรูปแบบ ซึ่งมีตัวเลขอยู่บ้าง (เช่น ) การสร้างพาราโบลาจะง่ายกว่านี้อีก เนื่องจากเราได้รับพิกัดของจุดยอดแล้ว ทำไม

ลองใช้ตรีโกณมิติกำลังสองแล้วแยกกำลังสองทั้งหมดออกจากกัน ดูสิ เราเข้าใจแล้ว , . คุณและฉันก่อนหน้านี้เรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือตอนนี้

ตัวอย่างเช่น, . เราทำเครื่องหมายจุดยอดของพาราโบลาบนระนาบ เราเข้าใจว่ากิ่งก้านชี้ลง พาราโบลาถูกขยาย (สัมพันธ์กับ ) นั่นคือเราดำเนินการตามข้อ 1; 3; 4; 5 จากอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา (ดูด้านบน)

โน้ต 2.หากพาราโบลาถูกกำหนดไว้ในรูปแบบที่คล้ายกับสิ่งนี้ (นั่นคือ นำเสนอเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว) เราจะเห็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน (วัว) ทันที ในกรณีนี้ – (0;0) และ (4;0) ส่วนที่เหลือเราดำเนินการตามอัลกอริธึมโดยเปิดวงเล็บ

ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านคนอื่นๆ เพิ่มพูนความรู้ในโรงเรียนเกี่ยวกับพาราโบลาและไฮเปอร์โบลาอย่างมีนัยสำคัญ ไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา - มันง่ายไหม? ...รอไม่ไหวแล้ว =)

ไฮเปอร์โบลาและสมการบัญญัติของมัน

โครงสร้างทั่วไปการนำเสนอเนื้อหาจะคล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า เริ่มต้นด้วย แนวคิดทั่วไปไฮเปอร์โบลาและปัญหาในการก่อสร้าง

สมการมาตรฐานของไฮเปอร์โบลามีรูปแบบ โดยที่จำนวนจริงบวก โปรดทราบว่าไม่เหมือน วงรีในที่นี้ไม่ได้กำหนดเงื่อนไข นั่นคือ ค่าของ "a" อาจน้อยกว่าค่าของ "be"

ต้องบอกว่าค่อนข้างไม่คาดคิดเลย... สมการของไฮเปอร์โบลา "โรงเรียน" ไม่ได้คล้ายกับสัญกรณ์ตามรูปแบบบัญญัติมากนักด้วยซ้ำ แต่ความลึกลับนี้ยังคงต้องรอเราอยู่ แต่ตอนนี้เรามาเกาหัวแล้วจำอะไรไว้ คุณสมบัติลักษณะเส้นโค้งดังกล่าวมีหรือไม่? มาเผยแพร่บนจอแห่งจินตนาการของเรากันเถอะ กราฟของฟังก์ชัน ….

ไฮเปอร์โบลามีกิ่งก้านสมมาตรสองกิ่ง

ก้าวหน้าไม่เลว! อติพจน์ใด ๆ มีคุณสมบัติเหล่านี้ และตอนนี้เราจะดูด้วยความชื่นชมอย่างแท้จริงที่คอเสื้อของบรรทัดนี้:

ตัวอย่างที่ 4

สร้างไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ

สารละลาย: ในขั้นตอนแรก เรานำสมการนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐาน โปรดจำไว้ว่าขั้นตอนมาตรฐาน ทางด้านขวาคุณจะต้องได้ "หนึ่ง" ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองข้างของสมการดั้งเดิมด้วย 20:

ที่นี่คุณสามารถลดเศษส่วนทั้งสองได้ แต่จะเหมาะสมกว่าถ้าทำแต่ละเศษส่วน สามชั้น:

และหลังจากนั้นก็ดำเนินการลด:

เลือกกำลังสองในตัวส่วน:

เหตุใดจึงดีกว่าที่จะดำเนินการเปลี่ยนแปลงด้วยวิธีนี้ ท้ายที่สุดแล้ว เศษส่วนทางด้านซ้ายสามารถลดและรับได้ทันที ความจริงก็คือในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เราโชคดีนิดหน่อย: ตัวเลข 20 หารด้วย 4 และ 5 ลงตัว ในกรณีทั่วไป ตัวเลขดังกล่าวใช้ไม่ได้ผล พิจารณาตัวอย่างสมการ ที่นี่ด้วยความแบ่งแยกทุกสิ่งจะเศร้ากว่าและไม่มีเลย เศษส่วนสามชั้นเป็นไปไม่ได้อีกต่อไป:

ลองใช้ผลงานของเรา - สมการทางบัญญัติ:

จะสร้างไฮเปอร์โบลาได้อย่างไร?

มีสองวิธีในการสร้างไฮเปอร์โบลา - เรขาคณิตและพีชคณิต
จากมุมมองเชิงปฏิบัติ การวาดภาพด้วยเข็มทิศ... ฉันจะบอกว่ายูโทเปียด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากกว่ามากหากใช้การคำนวณง่ายๆ อีกครั้งเพื่อช่วย

ขอแนะนำให้ปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้ก่อน วาดเสร็จแล้วแล้วแสดงความคิดเห็น:

ในทางปฏิบัติ มักพบการรวมกันของการหมุนโดยมุมใดก็ได้และการแปลแบบขนานของไฮเปอร์โบลา สถานการณ์นี้พูดคุยกันในชั้นเรียน การลดสมการบรรทัดลำดับที่ 2 ให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน.

พาราโบลาและสมการบัญญัติของมัน

จบแล้ว! เธอคือคนนั้น. พร้อมเผยความลับมากมาย สมการบัญญัติของพาราโบลามีรูปแบบ โดยที่ – เบอร์จริง. สังเกตได้ง่ายว่าในตำแหน่งมาตรฐาน พาราโบลาจะ "นอนตะแคง" และจุดยอดอยู่ที่จุดเริ่มต้น ในกรณีนี้ ฟังก์ชันระบุสาขาบนของบรรทัดนี้ และฟังก์ชัน - สาขาล่าง เห็นได้ชัดว่าพาราโบลามีความสมมาตรรอบแกน ที่จริงแล้วทำไมต้องกังวล:

ตัวอย่างที่ 6

สร้างพาราโบลา

สารละลาย: ตัวท็อปก็รู้แล้วมาหาเลย คะแนนเพิ่มเติม. สมการ กำหนดส่วนโค้งด้านบนของพาราโบลา สมการกำหนดส่วนโค้งล่าง

เพื่อให้การบันทึกการคำนวณสั้นลง เราจะดำเนินการคำนวณ "ด้วยแปรงเดียว":

สำหรับการบันทึกแบบกะทัดรัด สามารถสรุปผลลัพธ์เป็นตารางได้

ก่อนที่จะทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุดเบื้องต้น เรามากำหนดกฎเกณฑ์ที่เข้มงวดก่อน

คำจำกัดความของพาราโบลา:

พาราโบลาคือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนดและเส้นที่กำหนดซึ่งไม่ผ่านจุดนั้น

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดสนใจพาราโบลา เส้นตรง - ครูใหญ่ (สะกดด้วยตัว "es")พาราโบลา ค่าคงที่ "pe" ของสมการบัญญัติเรียกว่า พารามิเตอร์โฟกัสซึ่งเท่ากับระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกตริกซ์ ในกรณีนี้ . ในกรณีนี้โฟกัสมีพิกัด และไดเร็กตริกซ์ถูกกำหนดโดยสมการ
ในตัวอย่างของเรา:

คำจำกัดความของพาราโบลานั้นง่ายต่อการเข้าใจมากกว่าคำจำกัดความของวงรีและไฮเปอร์โบลา สำหรับจุดใดๆ บนพาราโบลา ความยาวของเซ็กเมนต์ (ระยะห่างจากจุดโฟกัสถึงจุด) จะเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉาก (ระยะห่างจากจุดถึงไดเรกตริกซ์):

ยินดีด้วย! วันนี้หลายท่านได้ค้นพบความจริงแล้ว ปรากฎว่าไฮเปอร์โบลาและพาราโบลาไม่ใช่กราฟของฟังก์ชัน "ธรรมดา" เลย แต่มีต้นกำเนิดทางเรขาคณิตที่เด่นชัด

แน่นอนว่าเมื่อพารามิเตอร์โฟกัสเพิ่มขึ้น กิ่งก้านของกราฟจะ "ยก" ขึ้นและลง และเข้าใกล้แกนอย่างไม่สิ้นสุด เมื่อค่า "pe" ลดลง พวกมันจะเริ่มบีบอัดและยืดไปตามแกน

ความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลามีค่าเท่ากับความสามัคคี:

การหมุนและการแปลขนานของพาราโบลา

พาราโบลาเป็นหนึ่งในเส้นที่พบบ่อยที่สุดในคณิตศาสตร์ และคุณจะต้องสร้างมันบ่อยๆ ดังนั้น โปรดให้ความสนใจเป็นพิเศษกับย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน ซึ่งฉันจะพูดถึงตัวเลือกทั่วไปสำหรับตำแหน่งของเส้นโค้งนี้

! บันทึก : เช่นเดียวกับในกรณีของเส้นโค้งก่อนหน้า การพูดถึงการหมุนและการแปลแบบขนานจะถูกต้องมากกว่า แกนประสานงานแต่ผู้เขียนจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงการนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่าย เพื่อให้ผู้อ่านมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้

ระดับ 3

3.1. อติพจน์สัมผัสบรรทัดที่ 5 x – 6ย – 16 = 0, 13x – 10ย– – 48 = 0 เขียนสมการของไฮเปอร์โบลาโดยมีเงื่อนไขว่าแกนของมันตรงกับแกนพิกัด

3.2. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับไฮเปอร์โบลา

1) ผ่านจุดหนึ่ง ก(4, 1), บี(5, 2) และ ค(5, 6);

2) ขนานกับเส้นตรง 10 x – 3ย + 9 = 0;

3) ตั้งฉากกับเส้นตรง 10 x – 3ย + 9 = 0.

พาราโบลาคือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในระนาบซึ่งมีพิกัดเป็นไปตามสมการ

พารามิเตอร์พาราโบลา:

จุด เอฟ(พี/2, 0) ถูกเรียก จุดสนใจ พาราโบลา, ขนาด พี – พารามิเตอร์ , จุด เกี่ยวกับ(0, 0) – สูงสุด . ในกรณีนี้คือเส้นตรง ของซึ่งพาราโบลามีความสมมาตร จะกำหนดแกนของเส้นโค้งนี้

ขนาด ที่ไหน ม(x, ย) – จุดใดๆ ของพาราโบลาที่เรียกว่า รัศมีโฟกัส , ตรง ดี: x = –พี/2 – ครูใหญ่ (ไม่ได้ตัดกับบริเวณภายในของพาราโบลา) ขนาด เรียกว่าความเยื้องศูนย์กลางของพาราโบลา

คุณสมบัติลักษณะสำคัญของพาราโบลา: จุดทุกจุดของพาราโบลามีระยะห่างจากไดเรกตริกซ์และโฟกัสเท่ากัน (รูปที่ 24)

มีสมการพาราโบลารูปแบบอื่นที่กำหนดทิศทางอื่นของกิ่งก้านในระบบพิกัด (รูปที่ 25):

สำหรับ คำนิยามพาราโบลาของพาราโบลา เป็นพารามิเตอร์ ทีค่าพิกัดของจุดพาราโบลาสามารถหาได้:

ที่ไหน ทีเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม

ตัวอย่างที่ 1กำหนดพารามิเตอร์และรูปร่างของพาราโบลาโดยใช้สมการมาตรฐาน:

สารละลาย. 1. สมการ ย 2 = –8xกำหนดพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด เกี่ยวกับ โอ้. กิ่งก้านของมันหันไปทางซ้าย เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ ย 2 = –2พิกเซลเราพบ: 2 พี = 8, พี = 4, พี/2 = 2 ดังนั้นโฟกัสจึงอยู่ที่จุดนั้น เอฟ(–2; 0) สมการไดเรกตริกซ์ ดี: x= 2 (รูปที่ 26)

2. สมการ x 2 = –4ยกำหนดพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด โอ(0; 0) สมมาตรรอบแกน เฮ้ย. กิ่งก้านของมันชี้ลง เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ x 2 = –2พายเราพบ: 2 พี = 4, พี = 2, พี/2 = 1 ดังนั้นโฟกัสจึงอยู่ที่จุดนั้น เอฟ(0; –1) สมการไดเรกทริกซ์ ดี: ย= 1 (รูปที่ 27)

ตัวอย่างที่ 2กำหนดพารามิเตอร์และประเภทของเส้นโค้ง x 2 + 8x – 16ย– 32 = 0 วาดรูป

สารละลาย.ลองแปลงด้านซ้ายของสมการโดยใช้วิธีการแยกกำลังสองแบบสมบูรณ์:

x 2 + 8x– 16ย – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16ย – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16ย – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(ย + 3).

เป็นผลให้เราได้รับ

(x + 4) 2 = 16(ย + 3).

นี่คือสมการมาตรฐานของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (–4, –3) ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ พี= 8 กิ่งก้านชี้ขึ้น () แกน x= –4. โฟกัสอยู่ที่จุด เอฟ(–4; –3 + พี/2) กล่าวคือ เอฟ(–4; 1) อาจารย์ใหญ่ ดีกำหนดโดยสมการ ย = –3 – พี/2 หรือ ย= –7 (รูปที่ 28)

ตัวอย่างที่ 4เขียนสมการของพาราโบลาโดยให้จุดยอดอยู่ที่จุดนั้น วี(3; –2) และมุ่งความสนใจไปที่จุดนั้น เอฟ(1; –2).

สารละลาย.จุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลาที่กำหนดจะอยู่บนเส้นตรงขนานกับแกน วัว(ลำดับเดียวกัน) กิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางซ้าย (แอบซิสซาของโฟกัสน้อยกว่าแอบซิสซาของจุดยอด) ระยะห่างจากโฟกัสถึงจุดยอดคือ พี/2 = 3 – 1 = 2, พี= 4 ดังนั้นสมการที่ต้องการ

(ย+ 2) 2 = –2 4( x– 3) หรือ ( ย + 2) 2 = = –8(x – 3).

งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ

ฉันระดับ

1.1. กำหนดพารามิเตอร์ของพาราโบลาและสร้างมันขึ้นมา:

1) ย 2 = 2x; 2) ย 2 = –3x;

3) x 2 = 6ย; 4) x 2 = –ย.

1.2. เขียนสมการของพาราโบลาโดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดเริ่มต้นหากคุณรู้ว่า:

1) พาราโบลาอยู่ในระนาบครึ่งซ้ายอย่างสมมาตรสัมพันธ์กับแกน วัวและ พี = 4;

2) พาราโบลานั้นอยู่ในตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนอย่างสมมาตร เฮ้ยและผ่านจุดนั้นไป ม(4; –2).

3) ไดเรกทริกซ์ได้รับจากสมการที่ 3 ย + 4 = 0.

1.3. เขียนสมการของเส้นโค้งทุกจุดซึ่งมีระยะห่างจากจุด (2; 0) และเส้นตรงเท่ากัน x = –2.

ระดับที่สอง

2.1. กำหนดประเภทและพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง