ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ในระหว่างบทเรียนเรขาคณิตที่โรงเรียน นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดเรื่องรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นครั้งแรก ในไม่ช้าพวกเขาจะได้เรียนรู้ว่าตัวเลขนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก ไม่ว่ามันจะซับซ้อนแค่ไหนผลรวมของภายในและทั้งหมด มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะใช้ค่าที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด ในบทความนี้ ครูสอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์พูดถึงผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับเท่าใด

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูน

จะพิสูจน์สูตรนี้ได้อย่างไร?

ก่อนที่จะไปยังข้อพิสูจน์ของข้อความนี้ ให้เราจำไว้ว่ารูปหลายเหลี่ยมใดที่เรียกว่านูน รูปหลายเหลี่ยมนูนคือรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นโดยมีด้านใดด้านหนึ่งอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่นที่แสดงในรูปนี้:

หากรูปหลายเหลี่ยมไม่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมไม่นูน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ผลรวม มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเท่ากับ โดยที่ คือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม

การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในหมู่เด็กนักเรียนทุกคน ฉันแน่ใจว่าทฤษฎีบทนี้ก็คุ้นเคยกับคุณเช่นกัน ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมคือ

แนวคิดก็คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูป ซึ่งสามารถทำได้ วิธีทางที่แตกต่าง. หลักฐานจะแตกต่างกันเล็กน้อยขึ้นอยู่กับวิธีการที่เราเลือก

1. แบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นสามเหลี่ยมโดยใช้เส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ดึงมาจากจุดยอดบางจุด มันง่ายที่จะเข้าใจว่า n-gon ของเราจะถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม:

ยิ่งกว่านั้น ผลรวมของมุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่ได้ทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของมุมของ n-gon ของเรา ท้ายที่สุด แต่ละมุมในรูปสามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นมุมบางส่วนในรูปหลายเหลี่ยมนูนของเรา นั่นคือจำนวนเงินที่ต้องการจะเท่ากับ

2. คุณยังสามารถเลือกจุดภายในรูปหลายเหลี่ยมนูนและเชื่อมต่อกับจุดยอดทั้งหมดได้ จากนั้น n-gon ของเราจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม:

ยิ่งกว่านั้น ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมของเราในกรณีนี้จะเท่ากับผลรวมของมุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมด ลบด้วยมุมที่ศูนย์กลาง ซึ่งเท่ากับ นั่นคือจำนวนเงินที่ต้องการจะเท่ากับอีกครั้ง

ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ให้เราถามคำถาม: “ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นเท่าใด” คำถามนี้สามารถตอบได้ดังนี้ มุมภายนอกแต่ละมุมอยู่ติดกับมุมภายในที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงเท่ากับ:

แล้วผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดเท่ากับ นั่นคือมันเท่ากัน

นั่นคือได้ผลลัพธ์ที่ตลกมาก หากเราพลอตมุมภายนอกของเอ็นกอนนูนใดๆ ตามลำดับทีละมุม ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็นทั้งระนาบพอดี

นี้ ความจริงที่น่าสนใจสามารถอธิบายได้ดังนี้ ลองลดทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมนูนตามสัดส่วนจนกว่าจะรวมเป็นจุด หลังจากสิ่งนี้เกิดขึ้น มุมภายนอกทั้งหมดจะถูกวางแยกจากกันและเต็มระนาบทั้งหมด

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจใช่ไหม? และมีข้อเท็จจริงดังกล่าวมากมายในเรขาคณิต ดังนั้นเรียนรู้เรขาคณิตเด็กนักเรียนที่รัก!

วัสดุเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จัดทำโดย Sergey Valerievich

สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม - ตัวเลขเหล่านี้เกือบทุกคนรู้จัก แต่ไม่ใช่ทุกคนที่รู้ว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร แต่สิ่งเหล่านี้ล้วนเหมือนกัน รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมและด้านเท่ากัน มีตัวเลขดังกล่าวอยู่มากมาย แต่ทั้งหมดก็มีคุณสมบัติเหมือนกัน และใช้สูตรเดียวกันกับตัวเลขเหล่านี้

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือแปดเหลี่ยม สามารถเขียนลงในวงกลมได้ คุณสมบัติพื้นฐานนี้มักใช้เมื่อสร้างรูป นอกจากนี้ ยังสามารถเขียนวงกลมเป็นรูปหลายเหลี่ยมได้ ในกรณีนี้จำนวนจุดสัมผัสจะเท่ากับจำนวนด้านข้าง สิ่งสำคัญคือวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกติจะต้องมีจุดศูนย์กลางร่วมด้วย เหล่านี้ รูปทรงเรขาคณิตอยู่ภายใต้ทฤษฎีบทเดียวกัน ด้านใดๆ ของ n-gon ปกติสัมพันธ์กับรัศมี R ของวงกลมที่ล้อมรอบ ดังนั้น จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้ สูตรต่อไปนี้: a = 2R ∙ sin180° คุณจะพบไม่เพียงแต่ด้านข้างเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมด้วย

วิธีค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

อันใดอันหนึ่งประกอบด้วยเซ็กเมนต์จำนวนหนึ่งซึ่งเท่ากันซึ่งเมื่อเชื่อมต่อกันจะก่อให้เกิดเส้นปิด ในกรณีนี้ ทุกมุมของผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมแบ่งออกเป็นแบบง่ายและซับซ้อน กลุ่มแรกประกอบด้วยสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนมี จำนวนที่มากขึ้นด้านข้าง รวมถึงรูปดาวด้วย สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ซับซ้อน ด้านข้างจะพบได้โดยการจารึกไว้ในวงกลม เรามาพิสูจน์กัน วาดรูปหลายเหลี่ยมปกติโดยมีจำนวนด้าน n เท่าใดก็ได้ วาดวงกลมรอบๆมัน กำหนดรัศมี R ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณได้ค่า n-gon มาบ้าง หากจุดของมุมของมันอยู่บนวงกลมและเท่ากัน ก็สามารถหาด้านต่างๆ ได้โดยใช้สูตร: a = 2R ∙ sinα: 2

การหาจำนวนด้านของสามเหลี่ยมปกติที่เขียนไว้

สามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูป n-gon สามเหลี่ยมจะถือว่าสม่ำเสมอถ้าด้านยาวเท่ากัน ในกรณีนี้มุมคือ60⁰ ลองสร้างสามเหลี่ยมโดยให้ความยาวด้าน a กำหนดไว้ เมื่อทราบค่ามัธยฐานและส่วนสูงแล้ว คุณสามารถหาค่าของด้านต่างๆ ได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้วิธีการค้นหาผ่านสูตร a = x: cosα โดยที่ x คือค่ามัธยฐานหรือความสูง เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน เราจึงได้ a = b = c จากนั้นข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: a = b = c = x: cosα ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหาค่าของด้านต่างๆ ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ แต่ x จะเป็นความสูงที่กำหนด ในกรณีนี้ควรฉายลงบนฐานของภาพอย่างเคร่งครัด เมื่อทราบความสูง x เราจะพบด้าน a ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยใช้สูตร a = b = x: cosα หลังจากหาค่า a แล้ว คุณสามารถคำนวณความยาวของฐาน c ได้ ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เราจะหาค่าของครึ่งหนึ่งของฐาน c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα จากนั้น c = 2xtanα แบบนี้ ด้วยวิธีง่ายๆคุณสามารถค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ได้

การคำนวณด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในวงกลม

เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ที่จารึกไว้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็มี ด้านที่เท่ากันและมุม ใช้สูตรเดียวกันกับรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถคำนวณด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้ค่าแนวทแยง พิจารณาวิธีนี้โดยละเอียด เป็นที่รู้กันว่าเส้นทแยงมุมแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน ตอนแรกมีค่าอยู่ที่ 90 องศา ดังนั้น หลังจากการหาร จะเกิด 2 อัน มุมที่ฐานจะเท่ากับ 45 องศา ดังนั้น แต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากัน นั่นคือ: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2 โดยที่ e คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นภายหลัง แผนก. นี่ไม่ใช่วิธีเดียวที่จะหาด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ ลองเขียนรูปนี้ลงในวงกลม เมื่อทราบรัศมีของวงกลม R เราจะพบด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะคำนวณดังนี้: a4 = R√2 รัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติคำนวณโดยใช้สูตร R = a: 2tg (360 o: 2n) โดยที่ a คือความยาวของด้าน

วิธีการคำนวณเส้นรอบวงของ n-gon

เส้นรอบรูปของ n-gon คือผลรวมของด้านทั้งหมด มันง่ายที่จะคำนวณ การทำเช่นนี้คุณต้องรู้ความหมายของทุกด้าน สำหรับรูปหลายเหลี่ยมบางประเภทจะมีสูตรพิเศษ ช่วยให้คุณค้นหาเส้นรอบวงได้เร็วยิ่งขึ้น เป็นที่ทราบกันว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ มีด้านเท่ากัน ดังนั้นเพื่อที่จะคำนวณปริมณฑลก็เพียงพอที่จะรู้อย่างน้อยหนึ่งอัน สูตรจะขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของรูป โดยทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้: P = an โดยที่ a คือค่าด้าน และ n คือจำนวนมุม ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาเส้นรอบวงของแปดเหลี่ยมปกติที่มีด้าน 3 ซม. คุณต้องคูณด้วย 8 นั่นคือ P = 3 ∙ 8 = 24 ซม. สำหรับรูปหกเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ซม. เราจะคำนวณ ดังนี้: P = 5 ∙ 6 = 30 ซม. และสำหรับแต่ละรูปหลายเหลี่ยม

การหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมปกติมีกี่ด้าน ขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติมีกี่ด้าน ทำให้งานง่ายขึ้นมาก แน่นอนว่าไม่เหมือนกับตัวเลขอื่น ๆ ในกรณีนี้คุณไม่จำเป็นต้องมองหาทุกด้าน แค่อันเดียวก็เพียงพอแล้ว โดยใช้หลักการเดียวกัน เราจะหาเส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งก็คือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แม้ว่าตัวเลขเหล่านี้จะต่างกัน แต่สูตรสำหรับพวกมันก็เหมือนกัน: P = 4a โดยที่ a คือด้าน ลองยกตัวอย่าง ถ้าด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว 6 ซม. เราจะหาเส้นรอบรูปได้ดังนี้: P = 4 ∙ 6 = 24 ซม. สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีเพียงด้านตรงข้ามเท่านั้นที่เท่ากัน ดังนั้นจึงพบเส้นรอบวงโดยใช้วิธีอื่น ดังนั้น เราต้องรู้ความยาว a และความกว้าง b ของรูปนี้ จากนั้นเราใช้สูตร P = (a + b) ∙ 2 สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านและมุมทั้งหมดเท่ากันเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

การหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมมุมฉาก

เส้นรอบวงของเส้นรอบวงที่ถูกต้องสามารถพบได้โดยใช้สูตร P = 3a โดยที่ a คือความยาวของด้าน หากไม่ทราบก็หาได้จากค่ามัธยฐาน ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มีเพียงสองด้านเท่านั้นที่มีค่าเท่ากัน สามารถหาพื้นฐานได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เมื่อทราบค่าของทั้งสามด้านแล้ว เราจะคำนวณเส้นรอบวง หาได้จากสูตร P = a + b + c โดยที่ a และ b เป็นด้านเท่ากัน และ c เป็นฐาน จำได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว a = b = a ซึ่งหมายถึง a + b = 2a จากนั้น P = 2a + c ตัวอย่างเช่น ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 4 ซม. ลองหาฐานและเส้นรอบรูปของมัน เราคำนวณค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดย = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 ซม. ตอนนี้ให้คำนวณเส้นรอบวง P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 ซม.

วิธีค้นหามุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นในชีวิตของเราทุกวัน เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม หรือแปดเหลี่ยม ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรง่ายไปกว่าการสร้างร่างนี้ด้วยตัวเอง แต่นี่เป็นเรื่องง่ายเพียงแวบแรกเท่านั้น ในการสร้าง n-gon ใดๆ คุณจำเป็นต้องรู้ค่าของมุมของมัน แต่จะหาพวกเขาได้อย่างไร? แม้แต่นักวิทยาศาสตร์โบราณก็ยังพยายามสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ พวกเขาคิดหาวิธีที่จะจัดพวกมันให้เป็นวงกลม จากนั้นจึงทำเครื่องหมายจุดที่จำเป็นและเชื่อมต่อกับเส้นตรง สำหรับ ตัวเลขง่ายๆปัญหาการก่อสร้างได้รับการแก้ไขแล้ว ได้สูตรและทฤษฎีบทมา ตัวอย่างเช่น Euclid ในงานชื่อดังของเขา "Inception" จัดการกับการแก้ปัญหาสำหรับ 3-, 4-, 5-, 6- และ 15-gons เขาพบวิธีที่จะสร้างมันขึ้นมาและหามุมต่างๆ มาดูวิธีทำ 15 เหลี่ยมกัน ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณผลรวมของมุมภายใน จำเป็นต้องใช้สูตร S = 180⁰(n-2) ดังนั้น เราจะได้ 15 เหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าตัวเลข n คือ 15 เราแทนที่ข้อมูลที่เรารู้ลงในสูตรแล้วได้ S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ เราพบผลรวมของมุมภายในทั้งหมดของ 15 เหลี่ยม ตอนนี้คุณต้องได้รับคุณค่าของแต่ละรายการ มีทั้งหมด 15 มุม เราทำการคำนวณ2340⁰: 15 = 156⁰ ซึ่งหมายความว่ามุมภายในแต่ละมุมเท่ากับ 156⁰ ตอนนี้คุณสามารถสร้าง 15 เหลี่ยมปกติโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศได้ แต่แล้ว n-gons ที่ซับซ้อนกว่านี้ล่ะ? เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่นักวิทยาศาสตร์พยายามดิ้นรนเพื่อแก้ไขปัญหานี้ มันถูกค้นพบในศตวรรษที่ 18 โดย Carl Friedrich Gauss เท่านั้น เขาสามารถสร้าง 65537-gon ได้ ตั้งแต่นั้นมาปัญหาก็ได้รับการพิจารณาแก้ไขอย่างเป็นทางการอย่างสมบูรณ์

การคำนวณมุมของ n-gons เป็นเรเดียน

แน่นอนว่ามีหลายวิธีในการค้นหามุมของรูปหลายเหลี่ยม ส่วนใหญ่มักคำนวณเป็นองศา แต่สามารถแสดงเป็นเรเดียนได้เช่นกัน ทำอย่างไร? คุณต้องดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก เราค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ จากนั้นลบ 2 จากรูปนั้น ซึ่งหมายความว่าเราได้รับค่า: n - 2 คูณผลต่างที่พบด้วยตัวเลข n (“pi” = 3.14) ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือหารผลคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนมุมใน n-gon ลองพิจารณาการคำนวณเหล่านี้โดยใช้รูปสิบเหลี่ยมเดียวกันเป็นตัวอย่าง ดังนั้น จำนวน n คือ 15 เราใช้สูตร S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 แน่นอนว่านี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการคำนวณมุมเป็นเรเดียน คุณสามารถหารมุมเป็นองศาด้วย 57.3 ท้ายที่สุด นี่คือกี่องศาที่เทียบเท่ากับหนึ่งเรเดียน

การคำนวณมุมเป็นองศา

นอกจากองศาและเรเดียนแล้ว คุณยังสามารถลองหามุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติในหน่วยองศาได้ ทำได้ดังนี้ จาก จำนวนทั้งหมดมุม ลบ 2 หารผลต่างผลลัพธ์ด้วยจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ เราคูณผลลัพธ์ที่พบด้วย 200 อย่างไรก็ตามหน่วยวัดมุมเช่นองศานั้นไม่ได้ใช้จริง

การคำนวณมุมภายนอกของ n-gons

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ นอกเหนือจากรูปหลายเหลี่ยมภายในแล้ว คุณยังสามารถคำนวณมุมภายนอกได้ด้วย มูลค่าของมันก็พบในลักษณะเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ดังนั้น หากต้องการหามุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมปกติ คุณจำเป็นต้องทราบค่าของมุมภายใน นอกจากนี้ เรารู้ว่าผลรวมของมุมทั้งสองนี้จะเท่ากับ 180 องศาเสมอ ดังนั้นเราจึงคำนวณดังนี้: 180⁰ ลบด้วยค่าของมุมภายใน เราพบความแตกต่าง มันจะเท่ากับค่าของมุมที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น มุมภายในของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมภายนอกจะเป็น 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ อย่างที่เราเห็นมันหาได้ไม่ยาก มุมภายนอกสามารถรับค่าได้ตั้งแต่ +180⁰ ถึง -180⁰ ตามลำดับ

ของคุณ รูปหลายเหลี่ยม. เช่นถ้าจำเป็นต้องค้นหา มุมถูกต้อง รูปหลายเหลี่ยมมี 15 ด้าน ให้แทน n=15 ลงในสมการ คุณจะได้ S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰

ต่อไป ให้หารผลรวมของมุมภายในด้วยจำนวน ตัวอย่างเช่น ในรูปหลายเหลี่ยม จำนวนมุมคือจำนวนด้าน ซึ่งก็คือ 15 ดังนั้น คุณจะได้ว่ามุมนั้นคือ 2340⁰/15=156⁰ ทุกมุมภายใน รูปหลายเหลี่ยมเท่ากับ 156⁰

หากสะดวกกว่าในการคำนวณ มุม รูปหลายเหลี่ยมเป็นเรเดียน ให้ดำเนินการดังนี้ ลบเลข 2 ออกจากจำนวนด้านแล้วคูณผลต่างผลลัพธ์ด้วยตัวเลข P (Pi) จากนั้นหารผลคูณด้วยจำนวนมุมในรูปหลายเหลี่ยม เช่น หากคุณต้องการคำนวณ มุม 15 เหลี่ยมปกติ ดำเนินการดังนี้: P*(15-2)/15=13/15P หรือ 0.87P หรือ 2.72 (แต่ เช่น ตัวเลข P ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง) หรือเพียงหารขนาดของมุมเป็นองศาด้วย 57.3 ซึ่งเป็นค่าที่มีอยู่ในหนึ่งเรเดียน

คุณสามารถลองคำนวณได้เช่นกัน มุมถูกต้อง รูปหลายเหลี่ยมในระดับบัณฑิตศึกษา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบเลข 2 ออกจากจำนวนด้าน หารจำนวนผลลัพธ์ด้วยจำนวนด้านแล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 200 มุมนี้แทบไม่เคยใช้เลย แต่ถ้าคุณตัดสินใจ มุมในลูกเห็บอย่าลืมว่าลูกเห็บแบ่งออกเป็นหน่วยเมตริกวินาทีและนาที (ครั้งละ 100 วินาที)

คุณอาจต้องคำนวณมุมภายนอกให้ถูกต้อง รูปหลายเหลี่ยมในกรณีนี้ ให้ทำเช่นนี้ ลบมุมภายในออกจาก180⁰ - ดังนั้นคุณจะได้ค่าของมุมที่อยู่ติดกันนั่นคือมุมภายนอก มีตั้งแต่ -180⁰ ถึง +180⁰

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากคุณสามารถหามุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติได้ คุณสามารถสร้างมันขึ้นมาได้อย่างง่ายดาย วาดด้านหนึ่งตามความยาวที่กำหนดแล้วพักไว้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ มุมที่ต้องการ. วัดระยะห่างเท่ากันทุกประการ (ทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน) และพักมุมที่ต้องการไว้อีกครั้ง ทำต่อไปจนกว่าทั้งสองฝ่ายจะพบกัน

แหล่งที่มา:

• มุมในรูปหลายเหลี่ยมปกติ

รูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยหลายส่วนที่เชื่อมต่อถึงกันและก่อตัวเป็นเส้นปิด ตัวเลขทั้งหมดในชั้นเรียนนี้แบ่งออกเป็นแบบง่ายและซับซ้อน แบบธรรมดาได้แก่รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม ส่วนแบบซับซ้อนได้แก่รูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนมาก ฝ่ายเช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมดาว

คำแนะนำ

บ่อยครั้งในปัญหาที่เราพบสามเหลี่ยมปกติด้วย ฝ่ายโอ้ เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติแล้วทั้งสามนั้น ฝ่าย s เท่ากัน ดังนั้นเมื่อทราบค่ามัธยฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยม คุณจะสามารถหาค่ามัธยฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้ทั้งหมด ฝ่ายส. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้วิธีการค้นหา ฝ่าย s :a=x/cosα เนื่องจาก ฝ่ายเช่น a=b=c=a, a=b=c=x/cosα โดยที่ x คือความสูง ค่ามัธยฐานหรือเส้นแบ่งครึ่ง ค้นหาค่าที่ไม่ทราบทั้งสามค่าด้วยวิธีเดียวกัน ฝ่าย s อยู่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แต่อยู่ภายใต้เงื่อนไขเดียว - ความสูงที่กำหนด ควรฉายลงบนฐานของสามเหลี่ยม รู้ความสูงของฐาน x แล้วหา ฝ่าย y a:a=x/cosα เนื่องจาก a=b เนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว ให้ค้นหามัน ฝ่าย s ดังนี้:a=b=x/cosα.หลังจากที่คุณพบด้านแล้ว ฝ่าย s ของสามเหลี่ยม คำนวณความยาวของฐานของสามเหลี่ยมโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาครึ่งหนึ่งของฐาน: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1 -cos^2α)/ cos^2α =xtgα จากตรงนี้ ให้หาฐาน:c=2xtgα

สี่เหลี่ยมจัตุรัสแสดงถึง ฝ่ายซึ่งคำนวณได้หลายวิธี ด้านล่างนี้จะกล่าวถึงแต่ละวิธี วิธีแรก เสนอแนะการค้นหา ฝ่ายสี่เหลี่ยมจตุรัส เนื่องจากมุมทั้งหมดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นมุมฉาก เราจึงตัดมันออกครึ่งหนึ่งเพื่อให้สามเหลี่ยมมุมฉากสองอันประกอบกันเป็นมุม 45 องศาที่ ตามลำดับ ฝ่ายและกำลังสองเท่ากับ:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2 โดยที่ d คือกำลังสอง ถ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกเขียนไว้ในวงกลมเมื่อรู้รัศมีของวงกลมนี้แล้ว ให้หามัน ฝ่าย y:a4=R√2 โดยที่ R คือรัศมีของวงกลม

ประเภทบทเรียน: บทเรียนภาคปฏิบัติ, บทเรียนรวม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. หาสูตรที่แสดงผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

2. การพัฒนา การคิดอย่างมีตรรกะและความสนใจ

3. ส่งเสริมวัฒนธรรมการทำงานทางจิต

อุปกรณ์: ตาราง “ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน” หนังสือเรียนเกี่ยวกับเรขาคณิต ชุดแบบจำลองของรูปหลายเหลี่ยมนูน

เทคโนโลยีที่ใช้: องค์ประกอบของเทคโนโลยี การคิดอย่างมีวิจารณญาณ,เทคโนโลยีรักษ์สุขภาพ,เทคโนโลยีการเรียนรู้จากปัญหา

ระหว่างเรียน:

ฉัน . จุดเริ่มต้นของบทเรียนทางอารมณ์:

สวัสดีทุกคน. สวัสดีแขก. พวกคุณมองมาที่ฉัน ฉันเป็นห่วง แล้วคุณล่ะ? อารมณ์ของคุณคืออะไร? ให้กำลังใจกัน ยิ้มให้กัน และมั่นใจว่าเราจะผ่านพ้นความยากลำบากไปด้วยกัน เราทำได้

คุณคิดว่าบทเรียนวันนี้จะเกี่ยวกับอะไร? คุณขาดทุนหรือเปล่า? เราจะไม่กำหนดหัวข้อของบทเรียนของเราในตอนนี้ เราจะกลับมาพูดถึงในภายหลังในระหว่างการทำงาน

ครั้งที่สอง . อัพเดตความรู้:

การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์ (หน้าผาก) ตามด้วยการทดสอบที่ด้านหลังของกระดาน นักเรียนทำงานอยู่ด้านหลังกระดาน

วัตถุประสงค์ของงานนี้: ทำซ้ำข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อการทำงานต่อไป

ประเภทของการทดสอบ: การทดสอบร่วมกันหรือการทดสอบตัวเอง นักเรียนเลือก

ครูตรวจสอบผลงานที่นักเรียนเลือก 2-3 ชิ้น คะแนนจะขึ้นอยู่กับจำนวนคำตอบที่ถูกต้อง

การเขียนตามคำบอก:

1 รูปหลายเหลี่ยมด้วยnจุดยอดเรียกว่า... (n-สี่เหลี่ยม).

2.ส่วนที่เชื่อมต่อสองอันใดอันหนึ่งไม่ได้ ยอดเขาใกล้เคียง, เรียกว่า... (เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยม)

3. ถ้ารูปหลายเหลี่ยมวางอยู่บนด้านหนึ่งของเส้นตรงแต่ละเส้นที่ลากผ่านจุดยอดที่อยู่ติดกันทั้งสองจุด จะเรียกว่า... (นูน)

4. จุดยอดสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่ได้อยู่ติดกันเรียกว่า... (ตรงกันข้าม)

5. ผลรวมของการวัดระดับของมุมทุกมุมของรูปสามเหลี่ยมเป็นเท่าใด.. (180°)

ผลลัพธ์: แนวคิดn-gon, เส้นทแยงมุม, รูปหลายเหลี่ยมนูน, จุดยอดตรงข้าม, ผลรวมของการวัดระดับของทุกมุมของรูปสามเหลี่ยมที่เราใช้กับ ขั้นตอนต่อไปบทเรียนของเราขณะทำงานในห้องทดลอง

สาม . การเรียนรู้เนื้อหาใหม่:

งานห้องปฏิบัติการ (เป็นคู่)

เป้าหมายของงาน: ทดลองหาสูตรที่แสดงผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน:

1. สร้างรูปหลายเหลี่ยมนูนสามรูป

2. วาดเส้นทแยงมุมจากจุดยอดหนึ่ง

3. เปรียบเทียบจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมกับจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่ได้

4. จงแสดงผลรวมของมุมของแต่ละรูปหลายเหลี่ยมในรูปของผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม

เขียนผลลัพธ์ลงในตาราง (นักเรียนหลายคนเขียนผลลัพธ์ไว้บนกระดาน)

เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดหัวข้อของบทเรียนตอนนี้?

- หัวข้อ: “ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน”

5. กำหนดสมมติฐาน: “ผลรวมของมุมนูนn-gon เท่ากับ (n-2) ٠ 180°"

มายืนยันสมมติฐานนี้ด้วยการอ่านที่มาของสูตรในหน้า 99 ของตำราเรียน มาเขียนสูตรลงในสมุดบันทึกกันเถอะ นักเรียนประเมินผลลัพธ์ของตนเอง งานห้องปฏิบัติการตามระบบห้าจุด

IV . การพักผ่อนเพื่อสุขภาพ

เป้า: ป้องกันความเหนื่อยล้า รักษาสุขภาพของนักเรียนโดยเชื่อมโยงแบบฝึกหัดกับองค์ประกอบที่รวมอยู่ในหัวข้อบทเรียน (พร้อมมุมประเภทต่างๆ)

เด็กๆ กำลังนั่งอยู่ที่โต๊ะ เชิญพวกเขาให้นั่งทำมุม 90°

พวกคุณลุกขึ้นยืน ใช้มือของคุณเพื่อวาดมุมกว้าง การยก มือขวา, แสดงมุมฉาก ทำเช่นเดียวกันโดยการยก มือซ้าย. จากนั้นสลับกันวาดมุมป้านและมุมแหลม นั่งลง.

วี . การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

เป้า: สอนให้นักเรียนแก้ปัญหาตรงและผกผันโดยใช้สูตรหาผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

การแก้ปัญหา

1. ทำงานในสมุดงาน (นักเรียนคนหนึ่งอ่านออกเสียงปัญหาและวิธีแก้ไขโดยเติมคำลงในช่องว่าง ส่วนที่เหลือจะติดตามงานของเขาอย่างระมัดระวัง หากนักเรียนทำผิด นักเรียนในชั้นเรียนจะแก้ไขให้ถูกต้อง)

ภารกิจที่ 4 โดยใช้สูตร (n-2) 180° หาผลรวมของมุมนูน:

ก) สิบเหลี่ยม

b) สามเหลี่ยมยี่สิบสองด้าน

คำตอบ: ก) 1620°, b) 3600°

2. ตัดสินใจเป็นลายลักษณ์อักษรหมายเลข 365 (ค) รูปหลายเหลี่ยมนูนมีกี่ด้าน แต่ละมุมมีขนาด 120°

นักเรียนคนหนึ่งถูกเรียกไปที่คณะกรรมการเพื่อแก้ไขปัญหา ส่วนที่เหลือทำงานในสมุดบันทึก

วิธีแก้: ผลรวมของมุมนูนn-gon คือ 180°٠ ( n-2) ดังนั้น 180°٠ ( n-2)=120°٠ n

จากตรงนี้: 180°٠ n-360°=120°٠ n, 60°٠ n=360°,n=6.

คำตอบ: 6 ด้าน

คำถามเชิงชี้นำ:

ผลรวมของมุมนูนเป็นเท่าใดn-สี่เหลี่ยม?

อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณผลรวมของมุมนูนn-gon ถ้าแต่ละของมันnมุมเท่ากับ 120°?

จะค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร?

วี . ทำงานอิสระ

เป้า: ตรวจสอบระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อ

แบบฝึกหัดที่ 1

ใช้สูตรหาผลรวมของมุมนูนnสี่เหลี่ยม

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2

n=12. คำตอบ: 1800°n=32. คำตอบ: 5400°

ภารกิจที่ 2

รูปหลายเหลี่ยมนูนมีด้านกี่ด้าน แต่ละมุมมีค่าเท่ากับ:

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2

90° คำตอบ: สี่ 60° คำตอบ: สาม

นักเรียนหลายคนจากแต่ละตัวเลือกเขียนคำตอบไว้ด้านหลังกระดาน ครูตรวจสอบ นักเรียนที่เหลือทำการทดสอบด้วยตนเองหรือร่วมกันตามที่พวกเขาเลือก

การบ้าน:

เป้า: เสริมสร้างทักษะของนักเรียนในการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรหาผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

1. จุดที่ 40 หน้า 99 คำถาม 3 หน้า 114

2. แก้ไขปัญหาหมายเลข 364 (c), 365 (d)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว . สรุปบทเรียน:

1. รวบรวม syncwine

2. การให้คะแนน (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต: การเขียนตามคำบอก, l/r, s/r)

3. แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการบ้าน

4. มอบสมุดบันทึกของนักเรียน

ซิงก์ไวน์

รูปหลายเหลี่ยม

นูน,n-ถ่านหิน

เราสร้าง เราพัง เราคำนวณ

ผลรวมของมุมนูนn-gon เท่ากับ (n-2) 180°

สูตร

ผลรวมของมุมของทฤษฎีบทเอ็นกอน ผลรวมของมุมของ n-gon ที่นูนออกมาคือ 180 o (n-2) การพิสูจน์. จากจุดยอดของ n-gon ที่นูนออกมา เราจะวาดเส้นทแยงมุมของมันทั้งหมด จากนั้น n-gon จะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม n-2 รูป ในแต่ละสามเหลี่ยม ผลรวมของมุมคือ 180° และมุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมของ n-gon ดังนั้น ผลรวมของมุมของ n-gon คือ 180 o (n-2)

วิธีที่สองในการพิสูจน์ทฤษฎีบท ผลรวมของมุมของ n-gon ที่นูนออกมาคือ 180 o (n-2) หลักฐานที่ 2 ให้ O เป็นจุดภายในของ n-gon ที่นูน A 1 ...A n มาเชื่อมต่อกับจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมนี้กัน จากนั้น n-gon จะแบ่งออกเป็น n รูปสามเหลี่ยม ในแต่ละสามเหลี่ยม ผลรวมของมุมคือ 180 องศา มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมของ n-gon และอีก 360 องศา ดังนั้น ผลรวมของมุมของ n-gon คือ 180 o (n-2)

แบบฝึกหัดที่ 3 พิสูจน์ว่าผลรวมของมุมภายนอกของ n-gon ที่นูนเท่ากับ 360 องศา การพิสูจน์. มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากับ 180° ลบด้วยมุมภายในที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ผลรวมของมุมภายนอกของ n-gon ที่นูนจะเท่ากับ 180 o n ลบด้วยผลรวมของมุมภายใน เนื่องจากผลรวมของมุมภายในของ n-gon ที่นูนเท่ากับ 180 o (n-2) ดังนั้นผลรวมของมุมภายนอกจะเท่ากับ 180 o n o (n-2) = 360 o

แบบฝึกหัดที่ 4 มุมของมุมปกติคืออะไร: ก) สามเหลี่ยม; b) สี่เหลี่ยม; c) รูปห้าเหลี่ยม; ง) หกเหลี่ยม; จ) แปดเหลี่ยม; ฉ) สิบเหลี่ยม; ก) สิบสองเหลี่ยม? คำตอบ: ก) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; จ) 135 o; f) 144 o; g) 150 o

แบบฝึกหัดที่ 12* มุมแหลมจำนวนมากที่สุดที่ n-gon ที่นูนจะมีได้คือเท่าใด สารละลาย. เนื่องจากผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับ 360 องศา ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมนูนจึงไม่สามารถมีมุมป้านเกินสามมุมได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถมีมุมแหลมภายในเกินสามมุมได้ คำตอบ. 3.