การลดลอการิทึมให้เป็นสูตรฐานทั่วไป ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์และลอการิทึมของผลหาร กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย. จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

บันทึก ก x+ บันทึก ก ย= บันทึก ก (x · ย);
บันทึก ก x- บันทึก ก ย= บันทึก ก (x : ย).

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ เอกสารทดสอบ. ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่ากฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0. และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:

[คำบรรยายภาพ]

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้บันทึกลอการิทึม ก x. แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม คดังนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
[คำบรรยายภาพ]
โดยเฉพาะถ้าเราใส่ ค = x, เราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ]

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป คุณสามารถประเมินได้ว่าสะดวกเพียงใดโดยการตัดสินใจเท่านั้น สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

[คำบรรยายภาพ]

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

[คำบรรยายภาพ]

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรกคือหมายเลข nกลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข nสามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน

ที่จริงแล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังให้เป็นจำนวนนั้น ขยกกำลังนี้ให้ตัวเลข ก? ถูกต้อง: คุณได้หมายเลขเดียวกันนี้ ก. อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

บันทึก ก ก= 1 คือหน่วยลอการิทึม จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากรากฐานนี้เอง เท่ากับหนึ่ง.
บันทึก ก 1 = 0 คือศูนย์ลอการิทึม ฐาน กสามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและเราจะให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.

พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:

ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.

ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร

ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a ขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1

ตามคำจำกัดความ ให้บันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้น ให้บันทึก a a x = x

ลอการิทึม, ตัวอย่าง:

บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8

บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49

บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5

ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg

บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100

ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมลอการิทึมปกติ แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ). แสดงว่า ln.

ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้ในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและอสมการ เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บันทึก a b = b
8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a c
บันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c
9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของจำนวนลอการิทึม log a b m = mlog a b

เลขชี้กำลังของฐานของลอการิทึม log a n b =1/n*log a b

บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b

ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b

บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c a
ถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1

จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a

บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1

อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" ไม่ควรพลาด!

หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ

หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก

คุณสมบัติหลัก.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

บริเวณที่เหมือนกัน

ล็อก6 4 + ล็อก6 9.

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน. หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและคำนวณค่าของพวกเขา

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)

จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเดือนปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

และลอการิทึมสำคัญอีกตัวหนึ่งของฐานสองเขียนแทนด้วย

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจาก หลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)

เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี

3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5

4. ที่ไหน .

นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎหลายข้อ

การค้นหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x ถ้า

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย

เราบันทึกไว้และไว้อาลัย

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน

ลอการิทึม ระดับแรก.

ให้ค่าลอการิทึมได้รับ

คำนวณบันทึก (x) ถ้า

วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้วเราจะขยายความรู้ของคุณไปอีกไม่น้อย หัวข้อสำคัญ- อสมการลอการิทึม...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y)

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

ในความสัมพันธ์กับ

สามารถกำหนดภารกิจในการค้นหาตัวเลขทั้งสามตัวจากอีกสองตัวที่กำหนดได้ ถ้าให้ a และ N ไว้ จะหาได้โดยการยกกำลัง ถ้า N และ a ถูกกำหนดโดยการหารากของดีกรี x (หรือยกกำลัง) ทีนี้ ลองพิจารณากรณีที่ เมื่อให้ a และ N เราต้องค้นหา x

ให้จำนวน N เป็นบวก: จำนวน a เป็นบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง:

คำนิยาม. ลอการิทึมของเลข N ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้เลข N ลอการิทึมเขียนแทนด้วย

ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน (26.1) เลขชี้กำลังจึงถูกพบเป็นลอการิทึมของ N ถึงฐาน a กระทู้

มีความหมายเหมือนกัน ความเท่าเทียมกัน (26.1) บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์หลักของทฤษฎีลอการิทึม ในความเป็นจริงมันเป็นการแสดงออกถึงคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องลอการิทึม โดย คำจำกัดความนี้ฐานของลอการิทึม a จะเป็นค่าบวกเสมอและแตกต่างจากความสามัคคี เลขลอการิทึม N เป็นบวก จำนวนลบและศูนย์ไม่มีลอการิทึม สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลขใดๆ ที่มีฐานที่กำหนดมีลอการิทึมที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ความเท่าเทียมกันจึงบังเกิด โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่ มิฉะนั้นข้อสรุปจะไม่ได้รับการพิสูจน์เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ x และ y

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา

สารละลาย. การจะได้เลขต้องยกฐาน 2 ยกกำลัง ดังนั้น

คุณสามารถจดบันทึกเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวในรูปแบบต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา

สารละลาย. เรามี

ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราพบลอการิทึมที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยแทนเลขลอการิทึมเป็นกำลังของฐานด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล. ในกรณีทั่วไป เช่น ฯลฯ ไม่สามารถดำเนินการนี้ได้ เนื่องจากลอการิทึมมีค่าไม่ลงตัว ให้เราใส่ใจกับประเด็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับคำชี้แจงนี้ ในย่อหน้าที่ 12 เราได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการกำหนดกำลังจริงใดๆ ของจำนวนบวกที่กำหนด นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแนะนำลอการิทึม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วอาจเป็นจำนวนอตรรกยะได้

ลองดูคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึม

คุณสมบัติ 1 ถ้าตัวเลขและฐานเท่ากัน ลอการิทึมจะเท่ากับ 1 และในทางกลับกัน ถ้าลอการิทึมเท่ากับ 1 ตัวเลขและฐานก็จะเท่ากัน

การพิสูจน์. อนุญาต ตามคำจำกัดความของลอการิทึมที่เรามีและที่ไหน

ในทางกลับกัน ให้ จากนั้น ตามคำนิยาม

คุณสมบัติ 2 ลอการิทึมของหนึ่งถึงฐานใดๆ เท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม (กำลังศูนย์ของฐานบวกใดๆ มีค่าเท่ากับ 1 ดู (10.1)) จากที่นี่

Q.E.D.

ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว N = 1 อันที่จริง เรามี

ก่อนที่จะกำหนดคุณสมบัติถัดไปของลอการิทึม ให้เราตกลงที่จะบอกว่าตัวเลข a และ b สองตัวอยู่บนด้านเดียวกันของเลขตัวที่สาม c ถ้าทั้งสองมีค่ามากกว่า c หรือน้อยกว่า c หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมากกว่า c และอีกจำนวนหนึ่งน้อยกว่า c เราก็จะบอกว่าพวกมันเข้ากันได้ ด้านที่แตกต่างกันจากหมู่บ้าน

คุณสมบัติ 3 ถ้าตัวเลขและฐานอยู่ด้านเดียวกัน ลอการิทึมจะเป็นค่าบวก หากตัวเลขและฐานอยู่ตรงข้ามกัน ลอการิทึมจะเป็นลบ

การพิสูจน์คุณสมบัติ 3 ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังของ a มากกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังจะน้อยกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก

มีสี่กรณีที่ต้องพิจารณา:

เราจะจำกัดตัวเองให้วิเคราะห์สิ่งแรก ผู้อ่านจะพิจารณาส่วนที่เหลือด้วยตัวเอง

ปล่อยให้ในความเท่าเทียมกัน เลขชี้กำลังไม่สามารถเป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นจึงเป็นบวก กล่าวคือ ตามที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาว่าลอการิทึมใดด้านล่างนี้เป็นค่าบวกและค่าใดเป็นค่าลบ:

วิธีแก้ปัญหา ก) เนื่องจากเลข 15 และฐาน 12 อยู่ด้านเดียวกันของเลขหนึ่ง

b) เนื่องจาก 1,000 และ 2 อยู่ที่ด้านหนึ่งของยูนิต ในกรณีนี้ ฐานจะมากกว่าเลขลอการิทึมไม่สำคัญ

c) เนื่องจาก 3.1 และ 0.8 อยู่ฝั่งตรงข้ามของความสามัคคี

ช) ; ทำไม

ง) ; ทำไม

คุณสมบัติ 4-6 ต่อไปนี้มักเรียกว่ากฎของลอการิทึม: คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยให้ทราบลอการิทึมของตัวเลขบางตัวเพื่อค้นหาลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลหาร และดีกรีของแต่ละตัว

คุณสมบัติ 4 (กฎลอการิทึมผลคูณ) ลอการิทึมของผลคูณของจำนวนบวกหลายจำนวนกับฐานที่กำหนดจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้กับฐานเดียวกัน

การพิสูจน์. ให้ตัวเลขที่ให้มาเป็นบวก

สำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เราจะเขียนค่าความเท่าเทียมกัน (26.1) ซึ่งกำหนดลอการิทึม:

จากนี้เราจะพบกับ

เมื่อเปรียบเทียบเลขชี้กำลังของนิพจน์แรกและนิพจน์สุดท้าย เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ต้องการ:

โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็น ลอการิทึมของผลคูณของจำนวนลบสองตัวนั้นสมเหตุสมผล แต่ในกรณีนี้เราเข้าใจแล้ว

โดยทั่วไปหากผลคูณของปัจจัยหลายประการเป็นบวก ลอการิทึมของมันจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยเหล่านี้

คุณสมบัติ 5 (กฎสำหรับการรับลอการิทึมของผลหาร) ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหารที่นำมาจากฐานเดียวกัน การพิสูจน์. เราก็หามาเรื่อยๆ

Q.E.D.

คุณสมบัติ 6 (กฎลอการิทึมกำลัง) ลอการิทึมของกำลังของจำนวนบวกใดๆ จะเท่ากับลอการิทึมของจำนวนนั้นคูณด้วยเลขชี้กำลัง

การพิสูจน์. ให้เราเขียนเอกลักษณ์หลัก (26.1) อีกครั้งสำหรับตัวเลข:

Q.E.D.

ผลที่ตามมา ลอการิทึมของรากของจำนวนบวกเท่ากับลอการิทึมของรากหารด้วยเลขชี้กำลังของราก:

ความถูกต้องของข้อพิสูจน์นี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการจินตนาการถึงวิธีการและการใช้คุณสมบัติ 6

ตัวอย่างที่ 4 นำลอการิทึมมาเป็นฐาน a:

ก) (สันนิษฐานว่าค่าทั้งหมด b, c, d, e เป็นบวก)

b) (สันนิษฐานว่า )

วิธีแก้ไข ก) สะดวกในการยกกำลังเศษส่วนในนิพจน์นี้:

จากความเท่าเทียมกัน (26.5)-(26.7) ตอนนี้เราสามารถเขียนได้:

เราสังเกตเห็นว่าการดำเนินการกับลอการิทึมของตัวเลขง่ายกว่าการดำเนินการกับตัวเลขเอง: เมื่อคูณตัวเลข ลอการิทึมของพวกมันจะถูกบวก เมื่อหาร พวกมันจะถูกลบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่ใช้ลอการิทึมในการฝึกคำนวณ (ดูย่อหน้าที่ 29)

การกระทำผกผันของลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ กล่าวคือ ศักยภาพคือการกระทำที่ใช้ค้นหาตัวเลขจากลอการิทึมที่กำหนดของตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว ศักยภาพไม่ใช่การดำเนินการพิเศษใดๆ แต่ขึ้นอยู่กับการเพิ่มฐานให้เป็นกำลัง (เท่ากับลอการิทึมของตัวเลข) คำว่า "ศักยภาพ" ถือได้ว่ามีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "การยกกำลัง"

เมื่อเพิ่มศักยภาพ เราต้องใช้กฎที่ผกผันกับกฎของลอการิทึม: แทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีปัจจัยอยู่ข้างหน้า ของเครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในระหว่างการโพเทนเชียลจะต้องถ่ายโอนไปยังองศาเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหา N หากทราบสิ่งนั้น

สารละลาย. ในการเชื่อมต่อกับกฎศักยภาพที่ระบุไว้ เราจะถ่ายโอนปัจจัย 2/3 และ 1/3 ที่ยืนอยู่หน้าเครื่องหมายลอการิทึมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ไปเป็นเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเหล่านี้ เราได้รับ

ตอนนี้เราแทนที่ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร:

เพื่อให้ได้เศษส่วนสุดท้ายของห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันนี้ เราได้ปล่อยเศษส่วนก่อนหน้าออกจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน (ข้อ 25)

คุณสมบัติ 7. ถ้าฐานมีมากกว่าหนึ่งแล้ว จำนวนที่มากขึ้นมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า) ถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่ง จำนวนที่มากกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า)

คุณสมบัตินี้ยังถูกกำหนดให้เป็นกฎสำหรับการหาลอการิทึมของอสมการ ซึ่งทั้งสองด้านเป็นบวก:

เมื่อลอการิทึมอสมการเป็นฐานที่มากกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกรักษาไว้ และเมื่อลอการิทึมเป็นฐานที่น้อยกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม (ดูย่อหน้าที่ 80 ด้วย)

การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 5 และ 3 พิจารณากรณีเมื่อ ถ้า แล้ว และ เมื่อรับลอการิทึม เราได้

(a และ N/M อยู่บนด้านเดียวกันของความสามัคคี) จากที่นี่

กรณีต่อไปนี้ผู้อ่านจะคิดออกเอง

นิพจน์ลอการิทึม ตัวอย่างการแก้โจทย์ ในบทความนี้ เราจะดูปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้ลอการิทึม งานถามคำถามในการค้นหาความหมายของสำนวน ควรสังเกตว่าแนวคิดของลอการิทึมถูกใช้ในงานหลายอย่างและการทำความเข้าใจความหมายของมันเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง สำหรับการสอบ Unified State ลอการิทึมจะใช้ในการแก้สมการในปัญหาประยุกต์และในงานที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันด้วย

ให้เรายกตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความหมายของลอการิทึม:

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

คุณสมบัติของลอการิทึมที่ต้องจำไว้เสมอ:

*ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย

* * *

*ลอการิทึมของผลหาร (เศษส่วน) เท่ากับความแตกต่างระหว่างลอการิทึมของปัจจัย

* * *

*ลอการิทึมของเลขชี้กำลังเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของฐาน

* * *

*การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

* * *

คุณสมบัติเพิ่มเติม:

* * *

การคำนวณลอการิทึมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

เรามาแสดงรายการบางส่วนกัน:

สาระสำคัญของคุณสมบัตินี้คือเมื่อตัวเศษถูกโอนไปยังตัวส่วนและในทางกลับกัน เครื่องหมายของเลขชี้กำลังจะเปลี่ยนไปในทิศทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น:

ข้อพิสูจน์จากคุณสมบัตินี้:

* * *

เมื่อยกกำลังเป็นกำลัง ฐานจะยังคงเท่าเดิม แต่เลขยกกำลังจะถูกคูณ

* * *

อย่างที่คุณเห็น แนวคิดของลอการิทึมนั้นเรียบง่าย สิ่งสำคัญคือคุณต้องได้รับการฝึกฝนที่ดีซึ่งจะทำให้คุณมีทักษะบางอย่าง แน่นอนว่าต้องมีความรู้เรื่องสูตรด้วย หากทักษะในการแปลงลอการิทึมเบื้องต้นยังไม่ได้รับการพัฒนาให้ทำการแก้ไข งานง่ายๆมันง่ายที่จะทำผิดพลาด

ฝึกฝน แก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ก่อน จากนั้นจึงไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ในอนาคต ฉันจะแสดงให้เห็นอย่างแน่นอนว่าลอการิทึม "น่าเกลียด" ได้รับการแก้ไขอย่างไร สิ่งเหล่านี้จะไม่ปรากฏในการตรวจสอบ Unified State แต่เป็นที่สนใจ อย่าพลาด!

นั่นคือทั้งหมด! ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

การบวกและการลบลอการิทึม

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ตัวอย่างลอการิทึม

นิพจน์ลอการิทึม

การค้นหาค่าลอการิทึม

ลอการิทึม ระดับแรก.

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบลอการิทึม

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

วิธีแก้ลอการิทึม

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

อ่านด้วย