นอกจากการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนของวัตถุในกลศาสตร์แล้ว การเคลื่อนที่แบบแกว่งยังเป็นที่สนใจอย่างมากอีกด้วย การสั่นสะเทือนทางกล คือการเคลื่อนไหวของวัตถุที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน (หรือโดยประมาณ) ในช่วงเวลาเท่ากัน กฎการเคลื่อนที่ของการสั่นของร่างกายถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันช่วงเวลาที่แน่นอน x = ฉ (ที). ภาพกราฟิกฟังก์ชันนี้จะแสดงภาพเส้นทางของกระบวนการออสซิลเลชันเมื่อเวลาผ่านไป

ตัวอย่างของระบบออสซิลเลเตอร์อย่างง่ายคือโหลดบนสปริงหรือลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (รูปที่ 2.1.1)

การสั่นสะเทือนทางกล เช่น กระบวนการสั่นที่มีลักษณะทางกายภาพอื่นๆ อาจเป็นได้ ฟรีและ ถูกบังคับ. การสั่นสะเทือนฟรี มีความมุ่งมั่นภายใต้อิทธิพล กองกำลังภายใน ระบบหลังจากที่ระบบหลุดออกจากสมดุลแล้ว การแกว่งของตุ้มน้ำหนักบนสปริงหรือการแกว่งของลูกตุ้มเป็นการแกว่งแบบอิสระ การสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพล ภายนอกจะมีการเรียกพลังที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ถูกบังคับ .

กระบวนการออสซิลลาทอรีประเภทที่ง่ายที่สุดนั้นเรียบง่าย การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการ

x = xเอ็มคอส(ω ที + φ 0).

ที่นี่ x- การเคลื่อนตัวของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล xม. - ความกว้างของการแกว่งเช่น การกระจัดสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล ω - ความถี่แบบวงกลมหรือแบบวงกลม ลังเล, ที- เวลา. ปริมาณใต้เครื่องหมายโคไซน์ φ = ω ที+ φ 0 เรียกว่า เฟสกระบวนการฮาร์มอนิก ที่ ที= 0 φ = φ 0 ดังนั้นจึงเรียกว่า φ 0 ระยะเริ่มแรก. ช่วงเวลาขั้นต่ำที่เรียกว่าการเคลื่อนไหวของร่างกายซ้ำ ระยะเวลาของการสั่น ต. เรียกว่าปริมาณทางกายภาพที่ผกผันกับคาบการสั่น ความถี่การสั่นสะเทือน:

ความถี่การสั่น ฉแสดงจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นใน 1 วินาที หน่วยความถี่ - เฮิรตซ์(เฮิร์ตซ์) ความถี่การสั่น ฉเกี่ยวข้องกับความถี่ไซคลิก ω และคาบการสั่น ตอัตราส่วน:

ในรูป 2.1.2 แสดงตำแหน่งของร่างกายในช่วงเวลาที่เท่ากันระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ภาพดังกล่าวสามารถรับได้จากการทดลองโดยการให้แสงสว่างแก่วัตถุที่สั่นด้วยแสงวาบเป็นระยะสั้น ๆ ( แสงแฟลช). ลูกศรแสดงถึงเวกเตอร์ความเร็วของร่างกายในเวลาที่ต่างกัน

ข้าว. 2.1.3 แสดงการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นบนกราฟของกระบวนการฮาร์มอนิก หากแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันเปลี่ยนแปลงไป xม. หรือคาบ ต(หรือความถี่ ฉ) หรือเฟสเริ่มต้น φ 0

เมื่อวัตถุแกว่งไปตามแนวเส้นตรง (แกน วัว) เวกเตอร์ความเร็วจะพุ่งไปตามเส้นตรงนี้เสมอ ความเร็ว υ = υ xการเคลื่อนไหวของร่างกายถูกกำหนดโดยการแสดงออก

ในทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนการหาขีดจำกัดของอัตราส่วนที่ Δ ที→ 0 เรียกว่าการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน x (ที) ตามเวลา ทีและแสดงเป็นหรือเป็น เอ็กซ์"(ที) หรือสุดท้าย เช่น . สำหรับกฎการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิก การคำนวณอนุพันธ์จะนำไปสู่ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

การปรากฏตัวของคำ + π / 2 ในอาร์กิวเมนต์โคไซน์หมายถึงการเปลี่ยนแปลงในระยะเริ่มต้น ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของความเร็ว υ = ω x m เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ร่างกายผ่านตำแหน่งสมดุล ( x= 0) ความเร่งถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ก = กxร่างกายระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

ดังนั้นความเร่ง กเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน υ ( ที) ตามเวลา ทีหรืออนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน x (ที). การคำนวณให้:

เครื่องหมายลบในนิพจน์นี้หมายถึงความเร่ง ก (ที) จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกับเครื่องหมายการกระจัดเสมอ x (ที) ดังนั้นตามกฎข้อที่สองของนิวตัน แรงที่ทำให้ร่างกายทำการสั่นฮาร์มอนิกจะมุ่งตรงไปยังตำแหน่งสมดุลเสมอ ( x = 0).

>> การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

§ 22 การสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิก

เมื่อรู้ว่าความเร่งและพิกัดของวัตถุที่แกว่งไปมามีความสัมพันธ์กันอย่างไร จากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ จึงสามารถค้นหาการขึ้นต่อกันของพิกัดตรงเวลาได้

ความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาความเร็วชั่วขณะของจุดหนึ่งๆ ดังที่คุณทราบจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ นั้นเป็นอนุพันธ์ของพิกัดของจุดนั้นเทียบกับเวลา ความเร่งของจุดคืออนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา หรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา ดังนั้นสมการ (3.4) สามารถเขียนได้ดังนี้

ที่ไหน x " - อนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา ตามสมการ (3.11) ในระหว่างการแกว่งอิสระ พิกัด x เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพิกัดนั้นเองและอยู่ตรงข้ามในเครื่องหมาย

จากหลักสูตรคณิตศาสตร์เป็นที่ทราบกันดีว่าอนุพันธ์อันดับสองของไซน์และโคไซน์ที่เกี่ยวข้องกับการโต้แย้งนั้นเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันของตัวเองโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชันอื่นที่มีคุณสมบัตินี้ ทั้งหมดนี้ช่วยให้เรายืนยันได้อย่างถูกกฎหมายว่าพิกัดของร่างกายที่ทำการแกว่งอย่างอิสระเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือปาไซน์ รูปที่ 3.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงพิกัดของจุดในช่วงเวลาตามกฎโคไซน์

การเปลี่ยนแปลงปริมาณทางกายภาพเป็นระยะๆ ขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งเกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ เรียกว่าการแกว่งของฮาร์มอนิก

แอมพลิจูดของการสั่นแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือโมดูลัสของการกระจัดที่ใหญ่ที่สุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล

แอมพลิจูดอาจมี ความหมายที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าเราเคลื่อนร่างกายออกจากตำแหน่งสมดุลในช่วงเวลาเริ่มต้นมากน้อยเพียงใด หรือความเร็วที่ให้กับร่างกาย แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยสภาวะเริ่มต้น หรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยพลังงานที่ส่งให้กับร่างกาย แต่ค่าสูงสุดของโมดูลัสไซน์และโมดูลัสโคไซน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นการแก้สมการ (3.11) จึงไม่สามารถแสดงเป็นไซน์หรือโคไซน์ได้ง่ายๆ ควรอยู่ในรูปของผลิตภัณฑ์ของแอมพลิจูดการสั่น x m โดยไซน์หรือโคไซน์

การแก้สมการที่อธิบายการสั่นสะเทือนอิสระให้เราเขียนคำตอบของสมการ (3.11) ในรูปแบบต่อไปนี้:

และอนุพันธ์อันดับสองจะเท่ากับ:

เราได้รับสมการ (3.11) ดังนั้น ฟังก์ชัน (3.12) จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม (3.11) การแก้สมการนี้ก็คือฟังก์ชันเช่นกัน

กราฟของพิกัดของร่างกายเทียบกับเวลาตาม (3.14) เป็นคลื่นโคไซน์ (ดูรูปที่ 3.6)

คาบและความถี่ของการสั่นฮาร์มอนิก. เมื่อสั่น การเคลื่อนไหวของร่างกายจะเกิดซ้ำเป็นระยะๆ ช่วงเวลา T ในระหว่างที่ระบบสร้างขึ้น เต็มรอบการสั่นเรียกว่าคาบของการสั่น

เมื่อทราบระยะเวลา คุณสามารถกำหนดความถี่ของการแกว่งได้ เช่น จำนวนการแกว่งต่อหน่วยเวลา เช่น ต่อวินาที หากการสั่นหนึ่งครั้งเกิดขึ้นในเวลา T แล้วจำนวนการสั่นต่อวินาที

ใน ระบบสากลหน่วย (SI) ความถี่ของการสั่นจะเท่ากับ 1 ถ้าเกิดการสั่นหนึ่งครั้งต่อวินาที หน่วยความถี่เรียกว่าเฮิรตซ์ (ตัวย่อ: Hz) เพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน G. Hertz

จำนวนการสั่นใน 2 วินาทีเท่ากับ:

ปริมาณคือความถี่ของการแกว่งแบบวนหรือแบบวงกลม หากในสมการ (3.14) เวลา t เท่ากับหนึ่งช่วง ดังนั้น T = 2 ดังนั้น หาก ณ เวลา t = 0 x = x m ดังนั้น ณ เวลา t = T x = x m เช่น ผ่านช่วงระยะเวลาหนึ่งเท่ากับหนึ่ง การสั่นจะเกิดขึ้นซ้ำๆ

ความถี่ของการสั่นสะเทือนอิสระถูกกำหนดโดยความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลเลเตอร์ 1

การขึ้นอยู่กับความถี่และระยะเวลาของการแกว่งอิสระกับคุณสมบัติของระบบความถี่ธรรมชาติของการสั่นสะเทือนของร่างกายที่ติดกับสปริงตามสมการ (3.13) เท่ากับ:

ยิ่งความแข็งของสปริง k ยิ่งมาก ยิ่งมีมาก และยิ่งน้อย มวลตัว m ก็จะยิ่งมากขึ้น สิ่งนี้เข้าใจได้ง่าย: สปริงที่แข็งช่วยให้ร่างกายเร่งความเร็วได้มากขึ้นและเปลี่ยนความเร็วของร่างกายได้เร็วขึ้น และยิ่งร่างกายมีขนาดใหญ่เท่าใด ความเร็วก็จะยิ่งช้าลงภายใต้อิทธิพลของแรงเท่านั้น ระยะเวลาการสั่นเท่ากับ:

การมีชุดสปริงที่มีความแข็งต่างกันและมีมวลต่างกัน จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบจากประสบการณ์ว่าสูตร (3.13) และ (3.18) อธิบายธรรมชาติของการพึ่งพาของ และ T บน k และ m ได้อย่างถูกต้อง

เป็นที่น่าสังเกตว่าคาบการแกว่งของวัตถุบนสปริงและคาบการสั่นของลูกตุ้มที่มุมโก่งเล็ก ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

โมดูลัสของสัมประสิทธิ์สัดส่วนระหว่างความเร่ง t และการกระจัด x ในสมการ (3.10) ซึ่งอธิบายการแกว่งของลูกตุ้ม ดังในสมการ (3.11) คือกำลังสองของความถี่ไซคลิก ดังนั้น ความถี่ธรรมชาติของการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มุมเล็กๆ ของการเบี่ยงเบนของเกลียวจากแนวตั้ง ขึ้นอยู่กับความยาวของลูกตุ้มและความเร่งของแรงโน้มถ่วง:

สูตรนี้ได้รับและทดสอบครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ G. Huygens ซึ่งเป็นผู้ร่วมสมัยของ I. Newton ใช้ได้เฉพาะกับมุมโก่งเกลียวเล็กๆ เท่านั้น

1 บ่อยครั้งต่อไปนี้ เพื่อความกระชับ เราจะเรียกความถี่ไซคลิกว่าเป็นความถี่ คุณสามารถแยกแยะความถี่ไซคลิกจากความถี่ปกติได้ด้วยสัญลักษณ์

คาบการสั่นจะเพิ่มขึ้นตามความยาวของลูกตุ้มที่เพิ่มขึ้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายด้วยการทดลองด้วยลูกตุ้มต่างๆ นอกจากนี้ยังสามารถตรวจจับการขึ้นต่อกันของคาบการสั่นกับความเร่งของแรงโน้มถ่วงได้ด้วย ยิ่ง g มีค่าน้อย ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มก็จะนานขึ้น ดังนั้น นาฬิกาลูกตุ้มจะเดินช้าลงเท่านั้น ดังนั้นนาฬิกาที่มีลูกตุ้มอยู่ในรูปของน้ำหนักบนไม้เรียวจะตกไปเกือบ 3 วินาทีต่อวันหากยกจากห้องใต้ดินขึ้นไปชั้นบนสุดของมหาวิทยาลัยมอสโก (สูง 200 ม.) และนี่เป็นเพียงเพราะความเร่งของการตกอย่างอิสระที่ลดลงตามความสูง

ในทางปฏิบัติการพึ่งพาคาบการแกว่งของลูกตุ้มกับค่า g ด้วยการวัดคาบการสั่น ทำให้สามารถกำหนด g ได้แม่นยำมาก ความเร่งของแรงโน้มถ่วงเปลี่ยนแปลงไปตามละติจูดทางภูมิศาสตร์ แต่ถึงแม้ในละติจูดที่กำหนด มันก็ไม่เหมือนกันทุกที่ ท้ายที่สุดแล้วความหนาแน่น เปลือกโลกไม่เหมือนกันทุกที่ ในบริเวณที่มีหินหนาแน่นเกิดขึ้น ความเร่ง g จะมากกว่าเล็กน้อย สิ่งนี้จะถูกนำมาพิจารณาเมื่อค้นหาแร่ธาตุ

ดังนั้นแร่เหล็กจึงมีความหนาแน่นสูงกว่าเมื่อเทียบกับหินธรรมดา การวัดความเร่งของแรงโน้มถ่วงใกล้เคิร์สต์ดำเนินการภายใต้การนำของนักวิชาการ A. A. Mikhailov ทำให้สามารถชี้แจงตำแหน่งของแร่เหล็กได้ พวกมันถูกค้นพบครั้งแรกผ่านการวัดทางแม่เหล็ก

คุณสมบัติของการสั่นสะเทือนทางกลนั้นใช้ในอุปกรณ์ของเครื่องชั่งอิเล็กทรอนิกส์ส่วนใหญ่ ร่างกายที่จะชั่งน้ำหนักจะวางอยู่บนแท่นซึ่งมีสปริงแข็งติดตั้งอยู่ เป็นผลให้เกิดการสั่นสะเทือนทางกลขึ้นความถี่ที่วัดโดยเซ็นเซอร์ที่เกี่ยวข้อง ไมโครโปรเซสเซอร์ที่เกี่ยวข้องกับเซ็นเซอร์นี้จะแปลงความถี่การสั่นเป็นมวลของร่างกายที่ชั่งน้ำหนัก เนื่องจากความถี่นี้ขึ้นอยู่กับมวล

สูตรผลลัพธ์ (3.18) และ (3.20) สำหรับคาบการสั่นบ่งชี้ว่าคาบการสั่นฮาร์มอนิกขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของระบบ (ความแข็งของสปริง ความยาวของเกลียว ฯลฯ)

Myakishev G. Ya. ฟิสิกส์ เกรด 11: ทางการศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; แก้ไขโดย V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva - ฉบับที่ 17 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - อ.: การศึกษา, 2551. - 399 หน้า: ป่วย.

รายการหัวข้อทั้งหมดตามเกรด แผนปฏิทินตาม หลักสูตรของโรงเรียนในวิชาฟิสิกส์ออนไลน์ เนื้อหาวิดีโอเกี่ยวกับฟิสิกส์สำหรับการดาวน์โหลดเกรด 11

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการอัปเดตส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน การแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี หลักเกณฑ์โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

การสั่นแบบฮาร์มอนิกเชิงกล- นี่คือการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงซึ่งพิกัดของตัวสั่น ( จุดวัสดุ) เปลี่ยนแปลงตามกฎโคไซน์หรือไซน์ขึ้นอยู่กับเวลา

ตามคำจำกัดความนี้ กฎการเปลี่ยนแปลงพิกัดตามเวลามีรูปแบบ:

โดยที่ wt คือปริมาณที่อยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์หรือไซน์ ว- ค่าสัมประสิทธิ์ ความหมายทางกายภาพซึ่งเราจะเปิดเผยด้านล่าง; A คือแอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเชิงกล

สมการ (4.1) เป็นสมการจลนศาสตร์พื้นฐานของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเชิงกล

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลองใช้แกน Ox (รูปที่ 64) จากจุด 0 เราวาดวงกลมที่มีรัศมี R = A ให้จุด M จากตำแหน่ง 1 เริ่มเคลื่อนที่รอบวงกลมด้วยความเร็วคงที่ โวลต์(หรือด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ว, วี = ว). หลังจากนั้นครู่หนึ่ง รัศมีจะหมุนเป็นมุม ฉ: ฉ=น้ำหนัก.

ด้วยการเคลื่อนที่แบบวงกลมของจุด M การฉายภาพบนแกน x M x จะเคลื่อนที่ไปตามแกน x ซึ่งพิกัดที่ x จะเท่ากับ x = A cos ฉ = = กเพราะ น้ำหนัก. ดังนั้น หากจุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี A ซึ่งมีจุดศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด ดังนั้น การฉายภาพของจุดนี้บนแกน x (และบนแกน y) จะทำให้เกิดการสั่นสะเทือนเชิงกลแบบฮาร์มอนิก

หากทราบค่า wt ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์ และแอมพลิจูด A แล้ว x ก็สามารถหาได้ในสมการ (4.1) เช่นกัน

ปริมาณ wt ซึ่งยืนอยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์ (หรือไซน์) ซึ่งกำหนดพิกัดของจุดสั่นที่แอมพลิจูดที่กำหนดโดยไม่ซ้ำกันเรียกว่า เฟสการสั่น. สำหรับจุด M ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ค่า w หมายถึงความเร็วเชิงมุม ความหมายทางกายภาพของค่า w ของจุด M x ที่มีการสั่นฮาร์มอนิกเชิงกลคืออะไร? พิกัดของจุดสั่น M x เท่ากัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง t และ (T +1) (จากคำจำกัดความของช่วงเวลา T) เช่น A cos น้ำหนัก = cos w (t + T) ซึ่งหมายความว่า ว(t + T) - น้ำหนัก = 2 พี(จากคุณสมบัติความเป็นคาบของฟังก์ชันโคไซน์) มันเป็นไปตามนั้น

ดังนั้น สำหรับจุดวัสดุที่มีการออสซิลเลชันเชิงกลแบบฮาร์มอนิก ค่าของ w สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนการออสซิลเลชันสำหรับค่าหนึ่ง วงจรเวลาเท่ากัน 2ล. จึงมีค่า วเรียกว่า วัฏจักร(หรือ วงกลม) ความถี่.

หากจุด M เริ่มเคลื่อนที่ไม่ใช่จากจุดที่ 1 แต่จากจุดที่ 2 สมการ (4.1) จะอยู่ในรูปแบบ:

ขนาด ฉ 0เรียกว่า ระยะเริ่มแรก.

เราพบว่าความเร็วของจุด M x เป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา:

เรานิยามความเร่งของจุดที่สั่นตามกฎฮาร์มอนิกเป็นอนุพันธ์ของความเร็ว:

จากสูตร (4.4) เห็นได้ชัดว่าความเร็วของจุดที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกเปลี่ยนแปลงไปตามกฎโคไซน์ด้วย แต่ความเร็วเฟสนั้นนำหน้าพิกัดด้วย ปี่/2. ความเร่งในระหว่างการสั่นฮาร์มอนิกจะแปรผันไปตามกฎโคไซน์ แต่อยู่ข้างหน้าพิกัดในเฟสโดย ป. สมการ (4.5) สามารถเขียนในรูปของพิกัด x ได้:

ความเร่งระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะเป็นสัดส่วนกับการกระจัดที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ให้เราคูณด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ (4.5) ด้วยมวลของจุดวัสดุที่สั่น m เราจะได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ความหมายทางกายภาพของนิพจน์ทางด้านขวามือ (4.6) คือการฉายภาพของแรง F x ซึ่งให้ค่าฮาร์โมนิค การเคลื่อนไหวทางกล:

ค่าของ F x เป็นสัดส่วนกับการกระจัด x และอยู่ตรงข้ามกับค่านั้น ตัวอย่างของแรงดังกล่าวคือแรงยืดหยุ่น ซึ่งมีขนาดเป็นสัดส่วนกับการเสียรูปและมีทิศทางตรงกันข้ามกับแรงนั้น (กฎของฮุค)

รูปแบบของการเร่งความเร็วและการกระจัด ซึ่งตามมาจากสมการ (4.6) ซึ่งเราพิจารณาสำหรับการแกว่งของฮาร์มอนิกเชิงกล สามารถสรุปและนำไปใช้ได้เมื่อพิจารณาการแกว่งของลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน (เช่น การเปลี่ยนแปลงของกระแสในวงจรการแกว่ง การเปลี่ยนแปลงของประจุ แรงดันไฟฟ้า การเหนี่ยวนำ สนามแม่เหล็กฯลฯ) ดังนั้นสมการ (4.8) จึงเรียกว่าสมการหลัก ไดนามิกส์ฮาร์มอนิก.

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่ของสปริงและลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ให้สปริง (รูปที่ 63) ซึ่งอยู่ในแนวนอนและคงที่ที่จุด 0 ติดที่ปลายด้านหนึ่งเข้ากับวัตถุที่มีมวล m ซึ่งสามารถเคลื่อนที่ไปตามแกน x โดยไม่มีแรงเสียดทาน ให้ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงเท่ากับ k ให้เราเอาตัว m ออกด้วยแรงภายนอกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยมัน จากนั้นตามแกน x จะมีเพียงแรงยืดหยุ่นเท่านั้นที่จะกระทำต่อร่างกาย ซึ่งตามกฎของฮุคจะเท่ากับ: F yпp = -kx

สมการการเคลื่อนที่ของร่างกายนี้คือ:

เมื่อเปรียบเทียบสมการ (4.6) และ (4.9) เราได้ข้อสรุปสองประการ:

จากสูตร (4.2) และ (4.10) เราได้สูตรสำหรับคาบการแกว่งของโหลดบนสปริง:

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือวัตถุที่มีมวล m แขวนอยู่บนเส้นด้ายยาวที่ยืดออกไม่ได้และมีมวลเล็กน้อย ในตำแหน่งสมดุล วัตถุนี้จะถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นของเส้นด้าย กองกำลังเหล่านี้จะสมดุลซึ่งกันและกัน

หากด้ายเอียงเป็นมุม กจากตำแหน่งสมดุลแรงเดียวกันจะกระทำต่อร่างกาย แต่พวกมันไม่สมดุลกันอีกต่อไปและร่างกายเริ่มเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งภายใต้อิทธิพลขององค์ประกอบแรงโน้มถ่วงที่พุ่งไปตามแทนเจนต์ถึงส่วนโค้งและเท่ากับ mg sin ก.

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอยู่ในรูปแบบ:

เครื่องหมายลบทางด้านขวาหมายความว่าแรง F x = mg sin a พุ่งต้านการกระจัด การสั่นของฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นที่มุมโก่งตัวเล็กน้อย กล่าวคือ ให้ไว้ เอ 2*บาป ก.

มาแทนที่บาปกันเถอะ และในสมการ (4.12) เราได้สมการต่อไปนี้

การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มในนาฬิกา แผ่นดินไหว กระแสสลับวี วงจรไฟฟ้ากระบวนการส่งสัญญาณวิทยุและการรับสัญญาณวิทยุมีความแตกต่างกันโดยสิ้นเชิงและไม่เกี่ยวข้องกัน แต่ละคนมีเหตุผลพิเศษของตัวเอง แต่พวกเขารวมกันเป็นสัญญาณเดียวซึ่งเป็นสัญญาณของลักษณะทั่วไปของการเปลี่ยนแปลง ปริมาณทางกายภาพล่วงเวลา. ในหลายกรณี ขอแนะนำให้พิจารณากระบวนการเหล่านี้และกระบวนการอื่น ๆ ที่มีลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกันเป็นกระบวนการพิเศษประเภทเดียว ปรากฏการณ์ทางกายภาพ- ความผันผวน

คุณลักษณะทั่วไปของปรากฏการณ์ทางกายภาพที่เรียกว่าการแกว่งคือการทำซ้ำได้เมื่อเวลาผ่านไป ด้วยลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน การสั่นสะเทือนจำนวนมากจึงเกิดขึ้นตามกฎเดียวกัน ซึ่งทำให้สามารถนำไปใช้ได้ วิธีการทั่วไปสำหรับคำอธิบายและการวิเคราะห์

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกจากการสั่นสะเทือนที่แตกต่างกันจำนวนมากในธรรมชาติและเทคโนโลยี การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเป็นเรื่องปกติโดยเฉพาะ การสั่นที่เกิดขึ้นตามกฎของโคไซน์หรือไซน์เรียกว่าฮาร์มอนิก:

ปริมาณที่มีความผันผวนอยู่ที่ไหน - เวลา; - ค่าคงที่ซึ่งจะมีการชี้แจงความหมายเพิ่มเติม

ค่าสูงสุดของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงตามกฎฮาร์มอนิกเรียกว่าแอมพลิจูดของการแกว่ง อาร์กิวเมนต์โคไซน์หรือไซน์สำหรับการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกเรียกว่าเฟสการสั่น

ระยะของการแกว่ง ณ ช่วงเวลาเริ่มต้นเรียกว่าระยะเริ่มต้น ระยะเริ่มต้นจะกำหนดมูลค่าของปริมาณ ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น

ค่าของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์จะถูกทำซ้ำเมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงโดย ดังนั้นด้วยการสั่นของฮาร์มอนิก ค่าของปริมาณจะถูกทำซ้ำเมื่อเฟสของการสั่นเปลี่ยนด้วย . ในทางกลับกันด้วยการสั่นแบบฮาร์มอนิกปริมาณจะต้องใช้ค่าเดียวกันหลังจากช่วงเวลาที่เรียกว่าช่วงการสั่น T ดังนั้นการเปลี่ยนเฟสจึงไม่เกิดขึ้น

ผ่านช่วงการสั่น T สำหรับกรณีที่เราได้รับ:

จากนิพจน์ (1.2) จะได้ว่าค่าคงที่ในสมการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือจำนวนการออสซิลเลชันที่เกิดขึ้นในหน่วยวินาที ปริมาณนี้เรียกว่าความถี่ไซคลิกของการแกว่ง การใช้นิพจน์ (1.2) สมการ (1.1) สามารถแสดงในรูปของความถี่หรือคาบ T ของการแกว่ง:

นอกเหนือจากวิธีการวิเคราะห์ในการอธิบายการสั่นของฮาร์มอนิกแล้ว วิธีการแสดงแบบกราฟิกยังถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย

วิธีแรกคือการระบุกราฟของการแกว่งในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เวลา I ถูกพล็อตไปตามแกน abscissa และค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงจะถูกพล็อตไปตามแกน ordinate สำหรับการแกว่งของฮาร์มอนิก กราฟนี้เป็นคลื่นไซน์หรือคลื่นโคไซน์ (รูปที่ 1)

วิธีที่สองในการแสดงกระบวนการออสซิลลาทอรีคือสเปกตรัม แอมพลิจูดจะวัดตามแกนพิกัด และความถี่ของการสั่นฮาร์มอนิกจะวัดตามแกนแอบซิสซา กระบวนการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกที่มีความถี่และแอมพลิจูดจะแสดงในกรณีนี้โดยส่วนของเส้นตรงแนวตั้งที่ลากจากจุดที่มีพิกัดบนแกนแอบซิสซา (รูปที่ 2)

วิธีที่สามในการอธิบายการสั่นของฮาร์มอนิกคือวิธีของแผนภาพเวกเตอร์ ในวิธีนี้ จะใช้เทคนิคที่เป็นทางการเพียงอย่างเดียวต่อไปนี้เพื่อค้นหาค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงไปตามกฎฮาร์มอนิก ณ เวลาใดๆ ก็ตาม:

ให้เราเลือกทิศทางที่กำกับโดยพลการบนเครื่องบิน แกนพิกัดโดยเราจะนับปริมาณที่เราสนใจ จากจุดกำเนิดของพิกัดตามแกน เราวาดเวกเตอร์ซึ่งมีโมดูลัสเท่ากับแอมพลิจูดของการสั่นของฮาร์มอนิก xm หากตอนนี้เราจินตนาการว่าเวกเตอร์หมุนรอบจุดกำเนิดของพิกัดในระนาบด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ c ทวนเข็มนาฬิกา มุม a ระหว่างเวกเตอร์ที่หมุนกับแกน ณ เวลาใดๆ ก็ตามจะถูกกำหนดโดยนิพจน์

การสั่นแบบฮาร์มอนิกเป็นการสั่นที่ทำตามกฎของไซน์และโคไซน์ รูปต่อไปนี้แสดงกราฟการเปลี่ยนแปลงพิกัดของจุดในช่วงเวลาหนึ่งตามกฎโคไซน์

รูปภาพ

แอมพลิจูดของการสั่น

แอมพลิจูดของการสั่นฮาร์มอนิกเรียกว่า มูลค่าสูงสุดการเคลื่อนตัวของร่างกายออกจากตำแหน่งสมดุล แอมพลิจูดสามารถรับค่าที่ต่างกันได้ มันจะขึ้นอยู่กับว่าเราเคลื่อนร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้นจากตำแหน่งสมดุลมากน้อยเพียงใด

แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น นั่นคือพลังงานที่ส่งให้กับร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้น เนื่องจากไซน์และโคไซน์สามารถรับค่าได้ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง 1 สมการจึงต้องมีปัจจัย Xm ซึ่งแสดงถึงความกว้างของการแกว่ง สมการการเคลื่อนที่ของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

x = Xm*คอส(ω0*t)

ระยะเวลาการสั่น

ระยะเวลาของการสั่นคือเวลาที่ใช้ในการสั่นจนเสร็จสมบูรณ์ครั้งหนึ่ง คาบของการแกว่งถูกกำหนดด้วยตัวอักษร T หน่วยการวัดคาบจะสอดคล้องกับหน่วยเวลา นั่นคือใน SI นี่คือวินาที

ความถี่การสั่นคือจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา ความถี่การสั่นถูกกำหนดโดยตัวอักษร ν ความถี่การสั่นสามารถแสดงเป็นคาบการสั่นได้

ν = 1/ต.

หน่วยความถี่มีหน่วยเป็น SI 1/วินาที หน่วยวัดนี้เรียกว่าเฮิรตซ์ จำนวนการสั่นในช่วงเวลา 2*pi วินาทีจะเท่ากับ:

ω0 = 2*ไพ* ν = 2*ไพ/T

ความถี่การสั่น

ปริมาณนี้เรียกว่าความถี่ไซคลิกของการแกว่ง ในวรรณคดีบางเรื่องชื่อความถี่วงกลมปรากฏขึ้น ความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลเลชั่นคือความถี่ของการออสซิลเลชั่นอิสระ

ความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติคำนวณโดยใช้สูตร:

ความถี่ของการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของวัสดุและมวลของโหลด ยิ่งความแข็งของสปริงสูงเท่าไร ความถี่ที่สูงขึ้นแรงสั่นสะเทือนของตัวเอง ยิ่งมวลของโหลดมากเท่าใด ความถี่ของการแกว่งตามธรรมชาติก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น

ข้อสรุปทั้งสองนี้ชัดเจน ยิ่งสปริงมีความแข็งมากเท่าใด ความเร่งก็จะส่งไปยังร่างกายมากขึ้นเท่านั้นเมื่อระบบเสียสมดุล ยิ่งมวลของร่างกายมากขึ้น ความเร็วของร่างกายก็จะเปลี่ยนไปช้าลงเท่านั้น

ระยะเวลาการสั่นฟรี:

T = 2*ไพ/ ω0 = 2*pi*√(ม/k)

เป็นที่น่าสังเกตว่าที่มุมโก่งเล็ก ๆ ระยะเวลาการสั่นของร่างกายในสปริงและระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มจะไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

มาเขียนสูตรสำหรับคาบและความถี่ของการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์กัน

แล้วคาบจะเท่ากัน

T = 2*ไพ*√(ลิตร/กรัม)

สูตรนี้จะใช้ได้กับมุมโก่งตัวเล็กน้อยเท่านั้น จากสูตรเราจะเห็นว่าคาบการสั่นเพิ่มขึ้นตามความยาวของเกลียวลูกตุ้มที่เพิ่มขึ้น ยิ่งยาว ร่างกายก็จะสั่นสะเทือนช้าลง

ระยะเวลาของการสั่นไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของโหลดเลย แต่ขึ้นอยู่กับความเร่งของการตกอย่างอิสระ เมื่อ g ลดลง ระยะเวลาการแกว่งจะเพิ่มขึ้น คุณสมบัตินี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ เช่น เพื่อวัดค่าที่แน่นอนของการเร่งความเร็วอิสระ