สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับไอคอนความไม่เท่าเทียมกัน? ความไม่เท่าเทียมกันกับไอคอน มากกว่า (> ), หรือ น้อย (< ) ถูกเรียก เข้มงวด.ด้วยไอคอน มากกว่าหรือเท่ากัน (≥ ), น้อยกว่าหรือเท่ากัน (≤ ) ถูกเรียก ไม่เข้มงวดไอคอน ไม่เท่ากับ (≠ ) โดดเด่น แต่คุณยังต้องแก้ตัวอย่างด้วยไอคอนนี้ตลอดเวลา แล้วเราจะตัดสินใจ)

ตัวไอคอนเองไม่ได้มีอิทธิพลต่อกระบวนการแก้ไขปัญหามากนัก แต่เมื่อตัดสินใจเลือกคำตอบสุดท้ายความหมายของไอคอนก็ปรากฏเต็มกำลัง! นี่คือสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างในตัวอย่าง มีเรื่องตลกอยู่บ้าง...

ความไม่เท่าเทียมกันเช่นเดียวกับความเท่าเทียมกันมีอยู่จริง ซื่อสัตย์และไม่ซื่อสัตย์ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ไม่มีลูกเล่น สมมุติว่า 5 > 2 คืออสมการที่แท้จริง 5 < 2 - ไม่ถูกต้อง

การเตรียมการนี้ใช้ได้กับความไม่เท่าเทียมกัน ชนิดใด ๆและเรียบง่ายจนถึงขั้นสยองขวัญ) คุณเพียงแค่ต้องดำเนินการเบื้องต้นสองครั้ง (เพียงสอง!) อย่างถูกต้อง การกระทำเหล่านี้ทุกคนคุ้นเคย แต่โดยลักษณะเฉพาะ ข้อผิดพลาดในการกระทำเหล่านี้เป็นข้อผิดพลาดหลักในการแก้ไขความไม่เท่าเทียม ใช่... ดังนั้นการกระทำเหล่านี้จึงต้องทำซ้ำ การดำเนินการเหล่านี้เรียกว่าดังนี้:

การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของความไม่เท่าเทียมกัน

การแปลงอสมการที่เหมือนกันนั้นคล้ายคลึงกับการแปลงสมการที่เหมือนกันมาก จริงๆแล้วนี่คือปัญหาหลัก ความแตกต่างอยู่ในหัวของคุณและ... อยู่นี่ไง) ดังนั้น ฉันจะเน้นความแตกต่างเหล่านี้เป็นพิเศษ ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกที่เหมือนกัน:

1. จำนวนหรือนิพจน์เดียวกันสามารถบวก (ลบ) ทั้งสองข้างของอสมการได้ ใดๆ. สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

ในทางปฏิบัติกฎนี้ใช้เป็นการถ่ายโอนคำศัพท์จากด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันไปทางขวา (และในทางกลับกัน) โดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย ด้วยการเปลี่ยนสัญลักษณ์ของคำว่าไม่เท่าเทียมกัน! กฎหนึ่งต่อหนึ่งเหมือนกับกฎของสมการ แต่การแปลงอสมการที่เหมือนกันต่อไปนี้แตกต่างอย่างมากจากการแปลงในสมการ ดังนั้นฉันจึงเน้นด้วยสีแดง:

2. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้เชิงบวกตัวเลข. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่งเชิงบวก จะไม่เปลี่ยนแปลง

3. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้เชิงลบตัวเลข. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่งเชิงลบตัวเลข. สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันจากสิ่งนี้จะเปลี่ยนตรงกันข้าม

คุณจำได้ว่า (ฉันหวังว่า...) ว่าสมการนี้สามารถคูณหรือหารด้วยอะไรก็ได้ และสำหรับจำนวนใดๆ และสำหรับนิพจน์ที่มี X ถ้าเพียงแต่มันไม่เป็นศูนย์ สิ่งนี้ทำให้เขาสมการไม่ร้อนไม่หนาว) ก็ไม่เปลี่ยนแปลง แต่อสมการจะไวต่อการคูณ/หารมากกว่า

เป็นตัวอย่างที่ดีเพื่อความทรงจำที่ยาวนาน ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ทำให้เกิดข้อสงสัย:

5 > 2

คูณทั้งสองข้างด้วย +3, เราได้รับ:

15 > 6

มีข้อโต้แย้งอะไรบ้าง? ไม่มีการโต้แย้งใดๆ ทั้งสิ้น) และถ้าเราคูณทั้งสองข้างของอสมการเดิมด้วย -3, เราได้รับ:

15 > -6

และนี่คือการโกหกโดยสิ้นเชิง) การโกหกโดยสิ้นเชิง! หลอกลวงประชาชน! แต่ทันทีที่คุณเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นเครื่องหมายตรงข้าม ทุกอย่างก็จะเข้าที่:

15 < -6

ฉันไม่ได้แค่สบถเกี่ยวกับการโกหกและการหลอกลวงเท่านั้น) "ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเท่ากับ..."- นี้ บ้านข้อผิดพลาดในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน กฎเล็กๆ น้อยๆ และเรียบง่ายนี้ทำร้ายผู้คนมากมาย! ซึ่งพวกเขาลืมไปแล้ว...) ฉันสาบานเลย บางทีฉันอาจจะจำได้...)

คนที่ใส่ใจเป็นพิเศษจะสังเกตเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันไม่สามารถคูณด้วยนิพจน์ที่มี X ได้ เคารพผู้ที่เอาใจใส่!) ทำไมจะไม่ล่ะ? คำตอบนั้นง่าย เราไม่รู้เครื่องหมายของนิพจน์นี้ด้วย X อาจเป็นได้ทั้งบวก ลบ... ดังนั้นเราจึงไม่รู้ว่าจะต้องใส่เครื่องหมายอสมการใดหลังจากการคูณ ฉันควรเปลี่ยนหรือไม่? ไม่ทราบ แน่นอนว่าข้อจำกัดนี้ (การห้ามการคูณ/หารอสมการด้วยนิพจน์ที่มี x) สามารถหลีกเลี่ยงได้ หากคุณต้องการมันจริงๆ แต่นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทเรียนอื่น

นั่นคือการแปลงอสมการที่เหมือนกันทั้งหมด ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าพวกเขาทำงานเพื่อ ใดๆความไม่เท่าเทียมกัน ตอนนี้คุณสามารถไปยังประเภทเฉพาะได้แล้ว

อสมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

อสมการเชิงเส้นคืออสมการโดยที่ x อยู่ในกำลัง 1 และไม่มีการหารด้วย x พิมพ์:

x+3 > 5x-5

ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร? พวกมันแก้ไขได้ง่ายมาก! กล่าวคือ: ด้วยความช่วยเหลือของเรา เราจึงลดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่น่าสับสนที่สุด ตรงไปที่คำตอบนั่นคือวิธีแก้ปัญหา ฉันจะเน้นประเด็นหลักของการตัดสินใจ เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลา)

มาแก้อสมการนี้กัน:

x+3 > 5x-5

เราแก้มันด้วยวิธีเดียวกับสมการเชิงเส้นทุกประการ มีความแตกต่างเพียงอย่างเดียว:

เราเฝ้าสังเกตสัญญาณความไม่เท่าเทียมอย่างระมัดระวัง!

ขั้นตอนแรกเป็นขั้นตอนที่พบบ่อยที่สุด ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา... นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก เรียบง่ายและไร้ปัญหา) อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขที่ถ่ายโอน

สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

x-5x > -5-3

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน

สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

4x > -8

ยังคงต้องใช้การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งล่าสุด: หารทั้งสองข้างด้วย -4

หารด้วย เชิงลบตัวเลข.

เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:

เอ็กซ์ < 2

นี่คือคำตอบ

นี่คือวิธีแก้ไขอสมการเชิงเส้นทั้งหมด

ความสนใจ! จุดที่ 2 วาดเป็นสีขาวเช่น ไม่ทาสี. ข้างในว่างเปล่า. ซึ่งหมายความว่าเธอไม่รวมอยู่ในคำตอบ! ฉันวาดภาพเธอให้มีสุขภาพแข็งแรงโดยตั้งใจ จุดดังกล่าว (ว่างเปล่า ไม่ดีต่อสุขภาพ!)) ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า จุดเจาะ

สามารถทำเครื่องหมายตัวเลขที่เหลือบนแกนได้ แต่ไม่จำเป็น จำนวนที่ไม่เกี่ยวข้องที่ไม่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของเราอาจทำให้เกิดความสับสน ใช่... คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าตัวเลขนั้นเพิ่มขึ้นตามทิศทางของลูกศร เช่น หมายเลข 3, 4, 5 ฯลฯ เป็น ไปทางขวาเป็นสองและตัวเลขคือ 1, 0, -1 เป็นต้น - - ไปทางซ้าย.

ความไม่เท่าเทียมกันx < 2 - เข้มงวด. X น้อยกว่าสองอย่างเคร่งครัด หากมีข้อสงสัย การตรวจสอบก็ทำได้ง่าย เราแทนที่จำนวนที่น่าสงสัยเป็นอสมการแล้วคิดว่า: “สองน้อยกว่าสองหรือ ไม่แน่นอน!” อย่างแน่นอน. ความไม่เท่าเทียมกัน 2 < 2 ไม่ถูกต้อง.การตอบแทนสองครั้งนั้นไม่เหมาะสม

หนึ่งโอเคไหม? แน่นอน. น้อยกว่า... และศูนย์ก็ดี และ -17 และ 0.34... ใช่ ตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าสองถือว่าดี! และแม้แต่ 1.9999.... อย่างน้อยก็น้อยแต่น้อย!

ลองทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งหมดนี้บนแกนตัวเลขกัน ยังไง? มีตัวเลือกอยู่ที่นี่ ตัวเลือกที่หนึ่งคือการแรเงา เราเลื่อนเมาส์ไปเหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และดูว่าพื้นที่ของ x ทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไข x เป็นสีเทา < 2 . นั่นคือทั้งหมดที่

ลองดูตัวเลือกที่สองโดยใช้ตัวอย่างที่สอง:

เอ็กซ์ ≥ -0,5

วาดแกนและทำเครื่องหมายตัวเลข -0.5 แบบนี้:

สังเกตเห็นความแตกต่างไหม?) ใช่ สังเกตได้ยาก... จุดนี้เป็นสีดำ! ทาสีทับแล้ว ซึ่งหมายความว่า -0.5 รวมอยู่ในคำตอบแล้วอย่างไรก็ตาม การยืนยันอาจทำให้ใครบางคนสับสน มาทดแทนกัน:

-0,5 ≥ -0,5

ยังไงล่ะ? -0.5 ไม่เกิน -0.5! และมีไอคอนเพิ่มเติม...

ไม่เป็นไร. ในความไม่เท่าเทียมกันเล็กน้อย ทุกอย่างที่เข้ากับไอคอนจะเหมาะสม และ เท่ากับดีและ มากกว่าดี. ดังนั้น จึงรวม -0.5 ไว้ในการตอบสนองด้วย

ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายบนแกน -0.5 แต่ยังคงทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่า -0.5 คราวนี้ฉันกำลังทำเครื่องหมายพื้นที่ ค่าที่เหมาะสมเอ็กซ์ โค้งคำนับ(จากคำว่า ส่วนโค้ง) แทนที่จะแรเงา เราวางเคอร์เซอร์ไว้เหนือภาพวาดแล้วเห็นคันธนูนี้

ไม่มีความแตกต่างเป็นพิเศษระหว่างการแรเงาและแขน ทำตามที่อาจารย์บอก หากไม่มีอาจารย์ให้วาดโค้ง ในงานที่ซับซ้อนมากขึ้น การแรเงาจะมองเห็นได้ชัดเจนน้อยลง คุณสามารถสับสนได้

นี่คือวิธีการวาดอสมการเชิงเส้นบนแกน เรามาต่อกันที่ คุณสมบัติต่อไปนี้ความไม่เท่าเทียมกัน

การเขียนคำตอบสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน

สมการนั้นดี) เราพบ x และจดคำตอบไว้ เช่น: x=3 การเขียนคำตอบเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันมีสองรูปแบบ สิ่งหนึ่งอยู่ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันขั้นสุดท้าย เหมาะสำหรับกรณีง่ายๆ ตัวอย่างเช่น:

เอ็กซ์< 2.

นี่คือคำตอบที่สมบูรณ์

บางครั้งคุณจำเป็นต้องเขียนสิ่งเดียวกันแต่ในรูปแบบที่แตกต่างกันตามช่วงตัวเลข จากนั้นการบันทึกก็เริ่มดูเป็นวิทยาศาสตร์มาก):

x ∈ (-∞; 2)

ใต้ไอคอน ∈ คำนี้ถูกซ่อนอยู่ "เป็นของ"

รายการอ่านดังนี้: x อยู่ในช่วงจากลบอนันต์ถึงสอง ไม่รวม. ค่อนข้างสมเหตุสมผล X สามารถเป็นตัวเลขใดๆ จากจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดตั้งแต่ลบอนันต์ไปจนถึงสอง ไม่สามารถมี X สองเท่าได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่คำนี้บอกเรา "ไม่รวม".

และคำตอบนั้นชัดเจนตรงไหน "ไม่รวม"? ข้อเท็จจริงนี้ถูกบันทึกไว้ในคำตอบ กลมวงเล็บหลังทั้งสองทันที หากรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน วงเล็บก็จะเป็น สี่เหลี่ยม.แบบนี้: ]. ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้วงเล็บดังกล่าว

มาเขียนคำตอบกัน: x ≥ -0,5 เป็นระยะ:

x ∈ [-0.5; +∞)

อ่าน: x อยู่ในช่วงตั้งแต่ลบ 0.5 รวมทั้ง,เพื่อบวกอนันต์

อินฟินิตี้ไม่สามารถเปิดได้ ไม่ใช่ตัวเลขแต่เป็นสัญลักษณ์ ดังนั้นในสัญลักษณ์ดังกล่าว อนันต์จึงอยู่ติดกับวงเล็บเสมอ

การบันทึกรูปแบบนี้เหมาะสำหรับคำตอบที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยช่องว่างหลายช่อง แต่ - เพียงเพื่อคำตอบสุดท้าย ในผลลัพธ์ระดับกลาง ซึ่งคาดว่าจะมีวิธีแก้ไขเพิ่มเติม ควรใช้รูปแบบปกติในรูปแบบของอสมการอย่างง่าย เราจะจัดการกับเรื่องนี้ในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

งานยอดนิยมที่มีความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการเชิงเส้นนั้นเรียบง่าย ดังนั้นงานจึงมักจะยากขึ้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคิด สิ่งนี้ถ้าคุณไม่คุ้นเคยก็ไม่น่าพอใจนัก) แต่มันก็มีประโยชน์ ฉันจะแสดงตัวอย่างงานดังกล่าว ไม่ใช่สำหรับคุณที่จะเรียนรู้มันไม่จำเป็น และเพื่อไม่ให้ต้องกลัวเมื่อเจอตัวอย่างดังกล่าว แค่คิดสักนิด - ง่ายๆ เลย!)

1. ค้นหาผลเฉลยสองข้อของอสมการ 3x - 3< 0

หากยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร ให้จำกฎหลักของคณิตศาสตร์ไว้:

หากคุณไม่รู้ว่าคุณต้องการอะไร ให้ทำเท่าที่ทำได้!)

เอ็กซ์ < 1

และอะไร? ไม่มีอะไรพิเศษ. พวกเขากำลังถามอะไรเรา? เราถูกขอให้ค้นหาตัวเลขเฉพาะสองตัวที่เป็นคำตอบของอสมการ เหล่านั้น. พอดีคำตอบ. สอง ใดๆตัวเลข อันที่จริงนี่น่าสับสน) 0 และ 0.5 สองสามอันก็เหมาะสม คู่ -3 และ -8 คู่นี้มีจำนวนไม่สิ้นสุด! คำตอบไหนถูก!

ฉันตอบ: ทุกอย่าง! คู่ตัวเลขใดๆ ซึ่งแต่ละจำนวนมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง จะเป็นคำตอบที่ถูกต้องเขียนสิ่งที่คุณต้องการ เดินหน้าต่อไป

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

4x - 3 ≠ 0

งานในรูปแบบนี้มีน้อย แต่เนื่องจากอสมการเสริม เช่น เมื่อค้นหา ODZ หรือเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน สิ่งเหล่านี้จะเกิดขึ้นตลอดเวลา อสมการเชิงเส้นดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเชิงเส้นธรรมดา เฉพาะทุกที่ยกเว้นเครื่องหมาย "=" ( เท่ากับ) ใส่เครื่องหมาย " ≠ " (ไม่เท่ากับ). นี่คือวิธีที่คุณใช้หาคำตอบโดยมีเครื่องหมายอสมการ:

เอ็กซ์ ≠ 0,75

มากขึ้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนควรทำสิ่งที่แตกต่างออกไปจะดีกว่า สร้างความไม่เท่าเทียมกันจากความเท่าเทียมกัน แบบนี้:

4x - 3 = 0

แก้อย่างใจเย็นตามที่สอนแล้วได้คำตอบ:

x = 0.75

สิ่งสำคัญคือในตอนท้ายสุดเมื่อเขียนคำตอบสุดท้ายอย่าลืมว่าเราพบ x ซึ่งให้ ความเท่าเทียมกันและเราต้องการ- ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้นเราจึงไม่ต้องการ X นี้จริงๆ) และเราต้องจดไว้ด้วยสัญลักษณ์ที่ถูกต้อง:

เอ็กซ์ ≠ 0,75

ด้วยวิธีนี้ปรากฎว่า ผิดพลาดน้อยลง. พวกที่แก้สมการอัตโนมัติ และสำหรับผู้ที่แก้สมการไม่ได้ ความจริงแล้วอสมการก็ไม่มีประโยชน์...) อีกตัวอย่างหนึ่งของงานที่ได้รับความนิยม:

3. ค้นหาคำตอบของจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดของอสมการ:

3(x - 1) < 5x + 9

ก่อนอื่นเราก็แค่แก้อสมการ เราเปิดวงเล็บ เคลื่อนย้าย นำอันที่คล้ายกัน... เราได้รับ:

เอ็กซ์ > - 6

มันไม่ได้ผลอย่างนั้นเหรอ!? ตามป้ายมั้ย!? และเบื้องหลังสัญลักษณ์ของสมาชิก และเบื้องหลังสัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียม...

ลองคิดดูอีกครั้ง เราจำเป็นต้องค้นหาหมายเลขเฉพาะที่ตรงกับทั้งคำตอบและเงื่อนไข "จำนวนเต็มที่น้อยที่สุด"หากมันไม่เกิดขึ้นกับคุณทันที คุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้แล้วคิดออก สองมากกว่าลบหก? แน่นอน! มีจำนวนน้อยกว่าที่เหมาะสมหรือไม่? แน่นอน. ตัวอย่างเช่น ศูนย์มีค่ามากกว่า -6 และแม้แต่น้อย? เราต้องการสิ่งที่เล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้! ลบสามมากกว่าลบหก! จับรูปแบบได้แล้วหยุดดูตัวเลขโง่ๆ ได้เลยใช่ไหม?)

ลองนำตัวเลขเข้าใกล้ -6 กัน ตัวอย่างเช่น -5 คำตอบเป็นจริงแล้ว -5 > - 6. เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนอื่นที่น้อยกว่า -5 แต่มากกว่า -6? ตัวอย่างเช่น คุณสามารถ -5.5... หยุด! เราได้รับการบอกเล่า ทั้งหมดสารละลาย! ไม่ม้วน -5.5! แล้วลบ 6 ล่ะ? เอ่อเอ่อ! อสมการเข้มงวด ลบ 6 ไม่ต่ำกว่าลบ 6 เลย!

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ -5

หวังว่าจะมีการเลือกค่าจาก วิธีแก้ปัญหาทั่วไปชัดเจนทั้งหมด ตัวอย่างอื่น:

4. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

7 < 3x+1 < 13

ว้าว! สำนวนนี้เรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกันสามเท่าพูดอย่างเคร่งครัด นี่คือรูปแบบย่อของระบบความไม่เท่าเทียมกัน แต่ความไม่เท่าเทียมกันสามประการดังกล่าวยังคงต้องได้รับการแก้ไขในบางงาน... สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้ระบบใดๆ ตามการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน

เราต้องลดรูป นำอสมการนี้มาสู่ X ล้วนๆ แต่... จะโอนไปไหนล่ะ?! นี่คือจุดที่ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่าการเคลื่อนไปทางซ้ายและขวาคือ แบบฟอร์มย่อการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก

ก แบบฟอร์มเต็มฟังดูเหมือน: คุณสามารถเพิ่ม/ลบจำนวนหรือนิพจน์ใดๆ ลงทั้งสองข้างของสมการได้ (อสมการ)

มีสามส่วนที่นี่ ดังนั้นเราจะใช้การแปลงที่เหมือนกันกับทั้งสามส่วน!

ลองกำจัดอันที่อยู่ตรงกลางของอสมการออกไป. ลองลบอันหนึ่งออกจากส่วนตรงกลางทั้งหมด เพื่อให้อสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราก็ลบหนึ่งออกจากสองส่วนที่เหลือ แบบนี้:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

ดีกว่าใช่ไหม?) สิ่งที่เหลืออยู่คือการแบ่งทั้งสามส่วนออกเป็นสามส่วน:

2 < เอ็กซ์ < 4

นั่นคือทั้งหมดที่ นี่คือคำตอบ X สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่สอง (ไม่รวม) ถึงสี่ (ไม่รวม) คำตอบนี้เขียนเป็นระยะๆ เช่นกัน รายการดังกล่าวจะอยู่ในรูปอสมการกำลังสอง ที่นั่นเป็นสิ่งที่พบได้บ่อยที่สุด

เมื่อสิ้นสุดบทเรียน ฉันจะทำซ้ำสิ่งที่สำคัญที่สุด ประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหา อสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแปลงและทำให้สมการเชิงเส้นง่ายขึ้น หากในขณะเดียวกัน สังเกตสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันจะไม่มีปัญหาใดๆ นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการสำหรับคุณ ไม่มีปัญหา.)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ทฤษฎี:

เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันจะใช้กฎต่อไปนี้:

1. เงื่อนไขความไม่เท่าเทียมกันใด ๆ สามารถโอนจากส่วนเดียวได้
อสมการไปสู่อีกอันที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม แต่เครื่องหมายของอสมการไม่เปลี่ยนแปลง

2. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณหรือหารด้วยหนึ่งได้
และจำนวนบวกเท่ากันโดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

3. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณหรือหารด้วยหนึ่งได้
และจำนวนลบเดิมเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็น
ตรงข้าม.

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน − 8 x + 11< − 3 x − 4
สารละลาย.

1. มาขยับอวัยวะเพศกันเถอะ − 3 xไปทางด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันและคำว่า 11 - ทางด้านขวาของอสมการพร้อมเปลี่ยนป้ายไปฝั่งตรงข้าม − 3 xและที่ 11 .
แล้วเราก็ได้

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 เท่า< − 15

2. ลองหารอสมการทั้งสองด้านกัน − 5 เท่า< − 15 ให้เป็นจำนวนลบ − 5 และสัญญาณความไม่เท่าเทียมกัน < ,จะเปลี่ยนเป็น > , เช่น. เราก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันในความหมายตรงกันข้าม
เราได้รับ:

− 5 เท่า< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— การแก้ปัญหาของอสมการที่กำหนด

ใส่ใจ!

มีสองตัวเลือกในการเขียนโซลูชัน: x > 3หรือเป็นช่วงตัวเลข

ให้เราทำเครื่องหมายชุดคำตอบของอสมการบนเส้นจำนวนแล้วเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงตัวเลข

x ∈ (3 ; + ∞ )

คำตอบ: x > 3หรือ x ∈ (3 ; + ∞ )

อสมการพีชคณิต

อสมการกำลังสอง อสมการเชิงเหตุผลของระดับที่สูงกว่า

วิธีการแก้ไขอสมการนั้นขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันที่ประกอบเป็นอสมการนั้นอยู่ในคลาสใดเป็นหลัก

1. ฉัน. อสมการกำลังสองนั่นคือความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

ขวาน 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน คุณสามารถ:

1. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งก็คือเขียนความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ

ก (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. เขียนรากของพหุนามบนเส้นจำนวน. รากจะแบ่งเซตของจำนวนจริงออกเป็นระยะๆ โดยแต่ละชุดจะมีค่าที่สอดคล้องกัน ฟังก์ชันกำลังสองจะเป็นสัญญาณคงที่
2. หาเครื่องหมายของ (x - x 1) (x - x 2) ในแต่ละช่วงและจดคำตอบไว้

หากตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีราก ดังนั้นสำหรับ D<0 и a>0 ตรีโกณมิติกำลังสองเป็นบวกสำหรับ x ใดๆ

• แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x 2 + x - 6 > 0.

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง (x + 3) (x - 2) > 0

คำตอบ: x (-∞; -3) (2; +∞)

2) (x - 6) 2 > 0

อสมการนี้เป็นจริงสำหรับ x ใดๆ ยกเว้น x = 6

คำตอบ: (-∞; 6) (6; +∞)

3) x² + 4x + 15< 0.

ที่นี่ D< 0, a = 1 >0. ตรีโกณมิติกำลังสองเป็นบวกสำหรับ x ทั้งหมด

คำตอบ: x Î Ø

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0
4. 2x² - 12x + 18 > 0 คำตอบ:
5. ค่าของ a ไม่เท่ากันสำหรับค่าใด

x² - ขวาน > ถือไว้เพื่อ x ใด ๆ หรือไม่? คำตอบ:

1. ครั้งที่สอง. อสมการเชิงเหตุผลของระดับที่สูงกว่านั่นคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ

ก n x n + n-1 x n-1 + … + 1 x + 0 > 0 (<0), n>2.

ควรแยกตัวประกอบพหุนามที่มีระดับสูงสุด กล่าวคือ อสมการควรเขียนอยู่ในรูปแบบ

n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

ทำเครื่องหมายจุดบนเส้นจำนวนที่พหุนามหายไป

หาสัญญาณของพหุนามในแต่ละช่วง.

1) แก้อสมการ x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3) ดังนั้น x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

คำตอบ: (0; 1) (2; 3)

2) แก้อสมการ (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

ให้เราทำเครื่องหมายจุดบนแกนตัวเลขที่พหุนามหายไป เหล่านี้คือ x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½

ที่จุด x = - ½ ไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเพราะทวินาม (2x + 1) ยกกำลังเป็นคู่ กล่าวคือ นิพจน์ (2x + 1) 4 จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุด x = - ½.

คำตอบ: (-∞; -2) (½; 1)

3) แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0

อสมการนี้เทียบเท่ากับเซตต่อไปนี้

ผลเฉลยของ (1) คือ x (-∞; -2) (3; +∞) คำตอบของ (2) คือ x = 0, x = -2, x = 3 เมื่อรวมคำตอบที่ได้รับเข้าด้วยกัน เราจะได้ x О (-∞; -2] (0) (0) ; เรียบเรียงโดย S. A. Telyakovsky - 16 เอ็ด. - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 หน้า: ป่วย - ISBN 978-5-09-019243-9.

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ตัวอย่างเช่น อสมการคือนิพจน์ \(x>5\)

ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน:

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นตัวเลข หรือ จะเรียกว่าอสมการ ตัวเลข. จริงๆ แล้วมันเป็นแค่การเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวเท่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจะแบ่งออกเป็น ซื่อสัตย์และ ไม่ซื่อสัตย์.

ตัวอย่างเช่น:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก \(17+3=20\) และ \(20\) น้อยกว่า \(115\) (และไม่เกินหรือเท่ากับ) .

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร เราก็จะได้ ความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปร. ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ตามเนื้อหา:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				แปรผันเฉพาะยกกำลังแรกเท่านั้น
\(3x^2-x+5>0\)				มีตัวแปรอยู่ในยกกำลังที่สอง (กำลังสอง) แต่ไม่มีกำลังที่สูงกว่า (ที่สาม สี่ ฯลฯ)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... และอื่น ๆ

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร?

หากคุณแทนที่ตัวเลขแทนตัวแปรให้เป็นค่าอสมการ ค่านั้นจะกลายเป็นค่าตัวเลข

ถ้าค่า x ที่กำหนดเปลี่ยนอสมการดั้งเดิมให้เป็นค่าตัวเลขจริง ก็จะเรียกว่าค่านั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน. ถ้าไม่เช่นนั้น ค่านี้ก็จะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา และ แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน– คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด (หรือแสดงว่าไม่มีเลย)

ตัวอย่างเช่น,ถ้าเราแทนที่ตัวเลข \(7\) ลงในความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น \(x+6>10\) เราจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง: \(13>10\) และถ้าเราแทน \(2\) จะเกิดอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง \(8>10\) นั่นคือ \(7\) เป็นวิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม แต่ \(2\) ไม่ใช่

อย่างไรก็ตาม อสมการ \(x+6>10\) มีวิธีแก้ปัญหาอื่น แท้จริงแล้ว เราจะได้ค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องเมื่อแทน \(5\) และ \(12\) และ \(138\)... แล้วเราจะหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ พวกเขาใช้ สำหรับกรณีของเรา เรามี:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

นั่นคือจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าสี่จะเหมาะกับเรา ตอนนี้คุณต้องเขียนคำตอบ คำตอบของอสมการมักจะเขียนเป็นตัวเลข โดยทำเครื่องหมายเพิ่มเติมบนแกนตัวเลขด้วยการแรเงา สำหรับกรณีของเรา เรามี:

คำตอบ: \(x\in(4;+\infty)\)

สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปเมื่อใด?

มีกับดักใหญ่ประการหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่นักเรียน “ชอบ” จริงๆ ที่จะตกเข้าไป:

เมื่อคูณ (หรือหาร) อสมการด้วยจำนวนลบ จะกลับรายการ ("มากกว่า" ด้วย "น้อยกว่า" "มากกว่าหรือเท่ากับ" ด้วย "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" เป็นต้น)

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เพื่อทำความเข้าใจสิ่งนี้ เรามาดูการแปลงของอสมการเชิงตัวเลข \(3>1\) กัน ถูกต้องแล้ว สามย่อมยิ่งใหญ่กว่าหนึ่งแน่นอน ขั้นแรก ลองคูณด้วยจำนวนบวกใดๆ ตัวอย่างเช่น 2:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

ดังที่เราเห็น หลังจากการคูณแล้ว อสมการยังคงเป็นจริง และไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าใด เราก็จะได้อสมการที่ถูกต้องเสมอ ทีนี้ลองคูณด้วยจำนวนลบ เช่น ลบ 3:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

ผลลัพธ์คืออสมการที่ไม่ถูกต้อง เพราะลบเก้าน้อยกว่าลบสาม! นั่นคือ เพื่อให้อสมการเป็นจริง (ดังนั้น การแปลงการคูณด้วยลบจึงถือเป็น "กฎหมาย") คุณต้องกลับเครื่องหมายการเปรียบเทียบ ดังนี้: \(−9<− 3\).
ด้วยการหารก็จะได้ผลเช่นเดียวกัน คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง

กฎที่เขียนไว้ข้างต้นใช้กับความไม่เท่าเทียมกันทุกประเภท ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(2(x+1)-1<7+8x\)
สารละลาย:

\(2x+2-1<7+8x\)	ลองย้าย \(8x\) ไปทางซ้าย และ \(2\) และ \(-1\) ไปทางขวา อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	ลองหารอสมการทั้งสองข้างด้วย \(-6\) อย่าลืมเปลี่ยนจาก “น้อย” เป็น “มาก”
	เรามาทำเครื่องหมายช่วงเวลาตัวเลขบนแกนกัน ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้นเราจึง "ทิ่ม" ค่า \(-1\) ออกมาเองและไม่ได้ถือเป็นคำตอบ
	ลองเขียนคำตอบเป็นช่วง

คำตอบ: \(x\in(-1;\infty)\)

ความไม่เท่าเทียมกันและความพิการ

อสมการก็เหมือนกับสมการที่สามารถมีข้อจำกัดได้ นั่นคือค่าของ x ดังนั้น ค่าเหล่านั้นที่ไม่สามารถยอมรับได้ตาม DZ จึงควรแยกออกจากช่วงของโซลูชัน

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(\sqrt(x+1)<3\)

สารละลาย: เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้ทางด้านซ้ายมีค่าน้อยกว่า \(3\) นิพจน์รากจะต้องน้อยกว่า \(9\) (ท้ายที่สุด จาก \(9\) เพียง \(3\)) เราได้รับ:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

ทั้งหมด? ค่า x ที่น้อยกว่า \(8\) ใดจะเหมาะกับเรา เลขที่! เพราะหากเรานำค่า \(-5\) ที่ดูเหมือนจะตรงกับข้อกำหนดมาใช้ มันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม เนื่องจากจะทำให้เราต้องคำนวณรากของจำนวนลบ

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

ดังนั้นเราจึงต้องคำนึงถึงข้อจำกัดของค่า X ด้วย - ไม่สามารถเป็นจำนวนลบใต้รูตได้ ดังนั้นเราจึงมีข้อกำหนดที่สองสำหรับ x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

และการที่ x จะเป็นคำตอบสุดท้าย มันจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งสองในคราวเดียว โดยจะต้องน้อยกว่า \(8\) (เป็นคำตอบ) และมากกว่า \(-1\) (เป็นที่ยอมรับในหลักการ) เมื่อเขียนลงบนเส้นจำนวน เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย:

คำตอบ: \(\ซ้าย[-1;8\ขวา)\)