หลักสูตรเรขาคณิตนั้นกว้าง กว้างขวาง และหลากหลาย โดยประกอบด้วยหัวข้อ กฎ ทฤษฎีบท และความรู้ที่เป็นประโยชน์มากมาย ใครๆ ก็จินตนาการได้ว่าทุกสิ่งในโลกของเราประกอบด้วยสิ่งที่เรียบง่าย แม้แต่สิ่งที่ซับซ้อนที่สุดก็ตาม จุด เส้นตรง เครื่องบิน ทั้งหมดนี้อยู่ในชีวิตของคุณ และเป็นไปตามกฎหมายที่มีอยู่ในโลกเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของวัตถุในอวกาศ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ คุณสามารถลองพิสูจน์ความขนานของเส้นและระนาบได้

เส้นตรงคือเส้นที่เชื่อมต่อจุดสองจุดตามเส้นทางที่สั้นที่สุด โดยไม่สิ้นสุดและขยายทั้งสองข้างไปจนถึงอนันต์ ระนาบคือพื้นผิวที่เกิดจากการเคลื่อนที่จลนศาสตร์ของเส้นตรงตามแนวเส้นนำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเส้นตรงสองเส้นใดๆ มีจุดตัดกันในอวกาศ เส้นเหล่านั้นก็สามารถอยู่ในระนาบเดียวกันได้ อย่างไรก็ตาม เราจะแสดงข้อมูลโดยตรงได้อย่างไรหากข้อมูลนี้ไม่เพียงพอสำหรับข้อความดังกล่าว

เงื่อนไขหลักสำหรับความขนานของเส้นตรงและระนาบคือไม่มีจุดร่วม ระนาบนั้นเป็นสองมิติ ต่างจากเส้นตรงซึ่งหากไม่มีจุดร่วมกัน อาจไม่ขนานกัน แต่แตกต่างออกไป ระนาบนั้นเป็นสองมิติ ไม่รวมแนวคิดเรื่องเส้นลู่ออก หากไม่ตรงตามเงื่อนไขความเท่าเทียมนี้ หมายความว่าเส้นตรงตัดกับระนาบที่กำหนดที่จุดหนึ่งหรืออยู่ภายในระนาบนั้นทั้งหมด

สภาพความขนานระหว่างเส้นตรงกับระนาบแสดงให้เราเห็นได้ชัดเจนที่สุดอย่างไร ความจริงที่ว่า ณ จุดใดๆ ในอวกาศ ระยะห่างระหว่างเส้นขนานกับระนาบจะคงที่ หากมีความชันเพียงเล็กน้อย หนึ่งในพันล้านองศา เส้นตรงจะตัดกันระนาบไม่ช้าก็เร็วเนื่องจากอนันต์ร่วมกัน นั่นคือสาเหตุที่ความขนานระหว่างเส้นตรงและระนาบเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ปฏิบัติตามกฎนี้ มิฉะนั้นจะไม่เป็นไปตามเงื่อนไขหลัก - การไม่มีจุดร่วม -

คุณสามารถเพิ่มอะไรได้บ้างเมื่อพูดถึงความขนานของเส้นและระนาบ? ความจริงก็คือว่าหากหนึ่งในเส้นขนานเป็นของระนาบ เส้นที่สองก็จะขนานกับระนาบหรือเป็นของเครื่องบินด้วย จะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร? ความขนานของเส้นตรงและระนาบที่มีเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดนั้นได้รับการพิสูจน์อย่างง่ายดายมาก ไม่มีจุดร่วม - ดังนั้นจึงไม่ตัดกัน และถ้าเส้นตรงไม่ตัดระนาบที่จุดใดจุดหนึ่ง นั่นหมายความว่าเส้นนั้นขนานหรืออยู่บนระนาบ นี่เป็นการพิสูจน์ความขนานของเส้นตรงและระนาบที่ไม่มีจุดตัดกันอีกครั้ง

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ระบุว่า หากมีระนาบสองระนาบและมีเส้นตรงตั้งฉากกับทั้งสองระนาบ ระนาบนั้นจะขนานกัน ทฤษฎีบทที่คล้ายกันระบุว่าหากเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับระนาบใดระนาบหนึ่ง เส้นทั้งสองจะต้องขนานกัน ความขนานของเส้นและระนาบที่แสดงโดยทฤษฎีบทเหล่านี้เป็นจริงและพิสูจน์ได้หรือไม่?

ปรากฎว่านี่เป็นเรื่องจริง เส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบจะตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่อยู่ในระนาบที่กำหนดอย่างเคร่งครัดเสมอ และยังมีจุดตัดกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งด้วย หากเส้นตรงมีจุดตัดที่คล้ายกันกับระนาบหลายระนาบและตั้งฉากกับระนาบเหล่านั้นในทุกกรณี นั่นหมายความว่าระนาบเหล่านี้ขนานกัน ตัวอย่างที่ชัดเจนปิรามิดสำหรับเด็กสามารถให้บริการได้: แกนของมันจะเป็นเส้นตรงตั้งฉากที่ต้องการและวงแหวนของปิรามิดจะเป็นระนาบ

ดังนั้นจึงค่อนข้างง่ายที่จะพิสูจน์ความขนานของเส้นตรงและระนาบ เด็กนักเรียนได้รับความรู้นี้เมื่อศึกษาพื้นฐานของเรขาคณิตและส่วนใหญ่จะกำหนดการเรียนรู้เพิ่มเติมของเนื้อหา หากคุณรู้วิธีใช้ความรู้ที่ได้รับตั้งแต่เริ่มต้นการฝึกอบรมอย่างมีประสิทธิภาพ คุณจะสามารถใช้งานสูตรจำนวนมากขึ้นและข้ามการเชื่อมต่อเชิงตรรกะที่ไม่จำเป็นระหว่างสูตรเหล่านั้นได้ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจพื้นฐาน หากไม่มี การเรียนเรขาคณิตก็เปรียบได้กับการก่อสร้างที่ไม่มีฐานราก นั่นคือเหตุผลที่หัวข้อนี้ต้องการความสนใจอย่างใกล้ชิดและการวิจัยอย่างละเอียด

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี เคล็ดลับหากินวิธีแก้ปัญหา เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ซับซ้อน 2 ส่วนของการสอบ Unified State

ทฤษฎีบท

หากเส้นตรงที่ไม่ได้อยู่ในระนาบขนานกับเส้นบางเส้นในระนาบนี้ เส้นนั้นจะขนานกับระนาบนั้นเอง

การพิสูจน์

ให้ α เป็นระนาบ เป็นเส้นตรงที่ไม่วางอยู่บนนั้น และ a1 เป็นเส้นในระนาบ α ขนานกับเส้น a ให้เราวาดระนาบ α1 ผ่านเส้น a และ a1 ระนาบ α และ α1 ตัดกันตามเส้นตรง a1 หากลากเส้นระนาบที่ตัดกัน α แล้วจุดตัดจะอยู่ในเส้น a1 แต่นี่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเส้น a และ a1 ขนานกัน ดังนั้น เส้นตรง a จะไม่ตัดกับระนาบ α ดังนั้นเส้นตรงจึงขนานกับระนาบ α ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

18. เครื่องบิน

หากระนาบขนานสองอันตัดกับหนึ่งในสาม เส้นตรงของจุดตัดจะขนานกัน(รูปที่ 333)

ตามคำจำกัดความจริงๆ เส้นขนาน คือ เส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันเส้นตรงของเราอยู่ในระนาบเดียวกัน - ระนาบการตัด พวกมันไม่ตัดกัน เนื่องจากระนาบขนานที่มีพวกมันไม่ตัดกัน

ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงขนานกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์

คุณสมบัติ

§ ถ้าระนาบ α ขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบอื่น β แล้วระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

§ ถ้าระนาบขนานสองระนาบตัดกันด้วยหนึ่งในสาม เส้นตัดกันของระนาบนั้นจะขนานกัน

§ ผ่านจุดที่อยู่นอกระนาบที่กำหนด คุณสามารถวาดระนาบขนานกับระนาบที่กำหนด และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงระนาบเดียวเท่านั้น

§ ส่วนของเส้นขนานที่ถูกจำกัดด้วยสอง ระนาบขนานเท่าเทียมกัน

§ มุมสองมุมที่มีด้านขนานกันและมีทิศตรงเท่ากันตามลำดับจะเท่ากันและอยู่ในระนาบขนานกัน

19.

หากเส้นตรงสองเส้นอยู่ในระนาบเดียวกัน มุมระหว่างเส้นทั้งสองนั้นก็จะวัดได้ง่าย เช่น การใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ วิธีการวัด มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ?

ปล่อยให้เส้นตรงตัดระนาบ ไม่ใช่ที่มุมขวา แต่ตัดที่มุมอื่น เส้นนี้เรียกว่า โน้มเอียง.

ลองวางแนวตั้งฉากจากจุดเอียงลงบนระนาบของเรากัน ลองเชื่อมต่อฐานของตั้งฉากกับจุดตัดของความลาดเอียงและระนาบกัน เราได้รับ การฉายภาพเอียงบนเครื่องบิน.

มุมระหว่างเส้นตรงและระนาบคือมุมระหว่างเส้นตรงและการฉายภาพบนระนาบที่กำหนด.

โปรดทราบว่าเราเลือกมุมแหลมเป็นมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

ถ้าเส้นตรงขนานกับระนาบ มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบจะเป็นศูนย์

หากเส้นตั้งฉากกับระนาบ การฉายภาพบนระนาบจะเป็นจุด แน่นอนว่า ในกรณีนี้ มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบคือ 90°

เส้นจะตั้งฉากกับระนาบหากตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้.

นี่คือคำจำกัดความ แต่จะทำงานกับมันอย่างไร? จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าเส้นที่กำหนดตั้งฉากกับเส้นทั้งหมดที่อยู่ในระนาบ ท้ายที่สุดก็มีมากมายไม่สิ้นสุด

ในทางปฏิบัติก็ใช้ สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของเส้นและระนาบ:

เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบหากตั้งฉากกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบนี้

21.มุมไดฮีดรัล- เชิงพื้นที่ รูปทรงเรขาคณิตเกิดขึ้นจากระนาบครึ่งระนาบสองระนาบที่เล็ดลอดออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว เช่นเดียวกับส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้

ระนาบสองระนาบจะเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบทั้งสองเป็น 90 องศา

§ ถ้าระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉากกัน

§ ถ้าจากจุดหนึ่งของระนาบตั้งฉากหนึ่งในสองระนาบ ตั้งฉากกับระนาบอื่น แล้วตั้งฉากนี้จะอยู่ในระนาบแรกทั้งหมด

§ ถ้าหนึ่งในสองระนาบตั้งฉาก ตั้งฉากกับเส้นตัดกัน แล้วตั้งฉากนี้จะตั้งฉากกับระนาบที่สอง

ระนาบที่ตัดกันสองระนาบประกอบกันเป็นมุมไดฮีดรัลสี่มุมโดยมีขอบร่วม มุมแนวตั้งคู่หนึ่งมีค่าเท่ากัน และผลรวมของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 180° ถ้ามุมหนึ่งในสี่มุมนั้นถูกต้อง อีกสามมุมก็จะเท่ากันและถูกต้องเช่นกัน ระนาบสองอันจะเรียกว่าตั้งฉากหากมุมระหว่างระนาบทั้งสองนั้นถูกต้อง.

ทฤษฎีบท. หากเครื่องบินแล่นผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉากกัน

อนุญาต และ เป็นระนาบสองอันโดยให้พวกมันลากผ่านเส้นตรง AB ซึ่งตั้งฉากกับและตัดกันที่จุด A (รูปที่ 49) มาพิสูจน์กันว่า _|_ . ระนาบและตัดกันตามแนวเส้นตรง AC และ AB _|_ AC เพราะ เอบี _|_ . ให้เราวาดเส้นตรง AD ในระนาบ ตั้งฉากกับเส้นตรง AC

จากนั้นมุม BAD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจาก และ แต่< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนจำนวนจำกัด

1. รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นสามารถเข้าถึงได้โดยการย้ายไปยังรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน และจากนี้ ไปยังรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน เป็นต้น

รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่า ขอบด้านข้างของพวกเขา - ซี่โครงและจุดยอดของมันคือ ยอดเขารูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน นั่นคือขอบเขตของเซตย่อยที่จำกัดของปริภูมิแบบยุคลิดซึ่งเป็นจุดตัดของปริภูมิครึ่งปริภูมิจำนวนจำกัด

คำจำกัดความข้างต้นของรูปทรงหลายเหลี่ยมใช้ความหมายที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นไปได้สองตัวเลือกต่อไปนี้:

§ เส้นขาดแบบปิดเรียบ (แม้ว่าจะตัดกันเองก็ตาม)

§ ส่วนของเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้นขาด

ในกรณีแรก เราจะได้แนวคิดเรื่องรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีดวงดาว ประการที่สอง รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนหลายเหลี่ยม หากพื้นผิวนี้ไม่ตัดกันเอง แสดงว่าเป็นพื้นผิวที่สมบูรณ์ของตัวเรขาคณิต ซึ่งเรียกอีกอย่างว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม สิ่งนี้ทำให้เกิดคำจำกัดความที่สามของรูปทรงหลายเหลี่ยม เช่นเดียวกับตัวเรขาคณิตนั่นเอง

ปริซึมตรง

เรียกว่าปริซึม ตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
เรียกว่าปริซึม โน้มเอียงถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน
ปริซึมตรงมีหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เรียกว่าปริซึม ถูกต้องถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมเรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านข้าง
พื้นผิวปริซึมเต็มเท่ากับผลรวมของพื้นผิวด้านข้างและพื้นที่ฐาน

องค์ประกอบปริซึม:
จุด - เรียกว่าจุดยอด
ส่วนต่างๆ เรียกว่าขอบด้านข้าง
รูปหลายเหลี่ยมและ - เรียกว่าฐาน เครื่องบินเองก็เรียกว่าฐานและ

24. วางขนานกัน(จากภาษากรีก παράллος - ขนาน และกรีก επιπεδον - ระนาบ) - ปริซึมซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือ (เทียบเท่า) รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหกหน้าและแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

§ เส้นขนานมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม

§ ส่วนใด ๆ ที่มีปลายเป็นของพื้นผิวของเส้นขนานและผ่านตรงกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทแยงมุมทั้งหมดของจุดตัดรูปขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน

§ ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะขนานกันและเท่ากัน

§ กำลังสองของความยาวแนวทแยงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ

พื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์เท่ากับสองเท่าของผลรวมของพื้นที่ทั้งสามด้านของด้านขนานนี้:

1.	ส= 2(ส+สบี+สค)= 2(เกี่ยวกับ+ก่อนคริสต์ศักราช+เครื่องปรับอากาศ)

25 .ปิรามิดและองค์ประกอบของมัน

พิจารณาระนาบ รูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ในนั้น และจุด S ที่ไม่ได้วางอยู่ในนั้น ลองเชื่อมต่อ S กับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด ส่วนนี้เรียกว่าซี่โครงด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐาน และจุด S คือจุดยอดของปิรามิด พีระมิดนี้เรียกว่าสามเหลี่ยม (n=3) รูปสี่เหลี่ยม (n=4) รูปห้าเหลี่ยม (n=5) และอื่นๆ ขึ้นอยู่กับจำนวน n อีกชื่อหนึ่งของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือ จัตุรมุข. ความสูงของปิรามิดนั้นตั้งฉากจากบนลงล่างถึงระนาบของฐาน

ปิรามิดจะเรียกว่าปกติหากเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและฐานของความสูงของปิรามิด (ฐานของตั้งฉาก) เป็นศูนย์กลาง

โปรแกรมนี้ออกแบบมาเพื่อคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ
ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม

สูตรคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ:

โดยที่ p คือเส้นรอบวงของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม ABCDE)
เอ - รอยเปื้อน (OS);

เส้นกึ่งกลางของพีระมิดคือความสูงของด้านข้างของพีระมิดปกติซึ่งลากมาจากจุดยอด

หากต้องการค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติให้ป้อนค่าของเส้นรอบวงและจุดกึ่งกลางของปิรามิดแล้วคลิกปุ่ม "คำนวณ" โปรแกรมจะกำหนดพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติค่า ซึ่งสามารถวางไว้บนคลิปบอร์ดได้

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือส่วนหนึ่งของปิรามิดที่สมบูรณ์ซึ่งอยู่ระหว่างฐานและส่วนที่ขนานกับปิรามิดนั้น
ส่วนที่เรียกว่า ฐานด้านบนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนและฐานของปิระมิดที่สมบูรณ์คือ ฐานด้านล่างปิรามิดที่ถูกตัดทอน (ฐานจะคล้ายกัน) ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ในปิรามิดที่ถูกตัดทอน 3 nซี่โครง 2 nยอดเขา, n+ 2 ใบหน้า n(n- 3) เส้นทแยงมุม ระยะห่างระหว่างฐานบนและฐานล่างคือความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน (ส่วนที่ตัดออกจากความสูงของปิรามิดเต็ม)
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ใบหน้า
ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ( สและ ส- พื้นที่ฐาน เอ็น- ความสูง)

ร่างกายของการหมุนร่างกายที่เกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นรอบเส้นตรงเรียกว่า

ทรงกระบอกทรงกลมด้านขวาจะถูกจารึกไว้ในทรงกลมหากวงกลมที่มีฐานวางอยู่บนทรงกลม ฐานของทรงกระบอกเป็นวงกลมเล็ก ๆ ของลูกบอล จุดศูนย์กลางของลูกบอลตรงกับจุดศูนย์กลางของแกนกระบอกสูบ [ 2 ]

ทรงกระบอกทรงกลมด้านขวาจะถูกจารึกไว้ในทรงกลมหากวงกลมที่มีฐานวางอยู่บนทรงกลม แน่นอนว่าจุดศูนย์กลางของลูกบอลอยู่ตรงกลางแกนกระบอกสูบ [ 3 ]

ปริมาตรของกระบอกสูบใดๆเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง:

1.	วี=π ร 2 ชม.

พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเท่ากับผลรวมของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกและเป็นสองเท่าของพื้นที่ฐานของทรงกระบอก

สูตรคำนวณพื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก:

27. กรวยทรงกลมสามารถหาได้โดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาข้างใดข้างหนึ่ง ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมกรวยทรงกลมจึงถูกเรียกว่ากรวยแห่งการปฏิวัติ ดูเพิ่มเติมที่ ปริมาตรของกรวยทรงกลม

พื้นที่ผิวรวมของกรวยกลมเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยและฐาน ฐานของกรวยเป็นวงกลม และพื้นที่ของกรวยคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม:

2.	ส=π ร.ล+π ร 2 = π ร(ร+ล)

28. ฟรัสตัมมันจะได้ผลถ้าคุณวาดส่วนในกรวยขนานกับฐาน ลำตัวที่ล้อมรอบด้วยส่วนนี้ ฐานและพื้นผิวด้านข้างของกรวยเรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน ดูเพิ่มเติมที่ ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

พื้นที่ผิวรวมของกรวยที่ถูกตัดทอนเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนและฐานของมัน ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นวงกลม และพื้นที่ของพวกมันคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม: ส= π (ร 1 2 + (ร 1 + ร 2)ล+ ร 2 2)

29. ลูกบอลคือรูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว ซึ่งทุกจุดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน ระยะนี้เรียกว่ารัศมีของลูกบอล

ทรงกลม(กรีก σφαῖρα - ลูกบอล) - พื้นผิวปิด ซึ่งเป็นตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเท่ากันเรียกว่าศูนย์กลางของทรงกลม ทรงกลมเป็นกรณีพิเศษของทรงรี ซึ่งทั้งสามแกน (กึ่งแกน, รัศมี) เท่ากัน ทรงกลมคือพื้นผิวของลูกบอล

พื้นที่ของพื้นผิวทรงกลมของส่วนทรงกลม (เซกเตอร์ทรงกลม) และชั้นทรงกลมขึ้นอยู่กับความสูงและรัศมีของลูกบอลเท่านั้นและเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลมใหญ่ของลูกบอลคูณด้วยความสูง

ปริมาณบอลเท่ากับปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานมีพื้นที่เท่ากับพื้นผิวของลูกบอล และความสูงคือรัศมีของลูกบอล

ปริมาตรของทรงกลมน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกที่ล้อมรอบทรงกลมหนึ่งเท่าครึ่ง

องค์ประกอบของลูกบอล

ส่วนลูกบอล ระนาบการตัดแบ่งลูกบอลออกเป็นสองส่วน เอ็น- ความสูงของส่วน 0< เอ็น < 2 ร, ร- รัศมีของฐานส่วน ปริมาณส่วนของลูก พื้นที่ผิวทรงกลมของส่วนของลูกบอล
ชั้นทรงกลม ชั้นทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมที่อยู่ระหว่างส่วนที่ขนานกันสองส่วน ระยะทาง ( เอ็น) ระหว่างส่วนต่างๆ เรียกว่า ความสูงของชั้นและส่วนต่างๆ เอง - ฐานของชั้น. พื้นที่ผิวทรงกลม( ปริมาณ) ของชั้นทรงกลมสามารถพบได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของพื้นผิวทรงกลม (ปริมาตร) ของปล้องทรงกลม

 1. การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข(รูปที่ 56)

ผลคูณของเวกเตอร์ กต่อหมายเลข λ เรียกว่าเวกเตอร์ ในโมดูลัสซึ่งเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ กต่อโมดูลัสของจำนวน λ :

ทิศทางไม่เปลี่ยนแปลงหาก λ > 0 ; เปลี่ยนแปลงไปในทางตรงกันข้ามหาก λ < 0 . ถ้า แล = −1แล้วเวกเตอร์

เรียกว่าเวกเตอร์ตรงข้ามกับเวกเตอร์ กและแสดงแทนด้วย

 2. การเพิ่มเวกเตอร์. การหาผลรวมของเวกเตอร์สองตัว กและ ในเวกเตอร์

จากนั้นผลรวมจะเป็นเวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของวินาที กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์นี้เรียกว่า "กฎสามเหลี่ยม" (รูปที่ 57) จำเป็นต้องพรรณนาเวกเตอร์ส่วนประกอบเพื่อให้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก

มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสำหรับเวกเตอร์ “ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเงื่อนไขมีการเปลี่ยนแปลง”
ให้เราระบุกฎอีกข้อหนึ่งสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์ - "กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน" หากคุณรวมจุดเริ่มต้นของผลรวมเวกเตอร์และสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานกับพวกมัน ผลรวมจะเป็นเวกเตอร์ที่ตรงกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ (รูปที่ 58)

เป็นที่แน่ชัดว่าการบวกตาม "กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน" นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันกับ "กฎสามเหลี่ยม"
“กฎสามเหลี่ยม” นั้นง่ายต่อการสรุป (ในกรณีที่มีหลายเงื่อนไข) เพื่อหาผลรวมของเวกเตอร์

จำเป็นต้องรวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สองเข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่สามกับจุดสิ้นสุดของวินาที ฯลฯ จากนั้นจึงเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กับจะตรงกับการเริ่มต้นของสิ่งแรกและจุดสิ้นสุด กับ− ส่วนท้ายของอันหลัง (รูปที่ 59)

 3. การลบเวกเตอร์. การดำเนินการลบจะลดลงเหลือการดำเนินการสองครั้งก่อนหน้า: ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัวคือผลรวมของเวกเตอร์แรกกับเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับวินาที:

คุณยังสามารถกำหนด "กฎสามเหลี่ยม" สำหรับการลบเวกเตอร์ได้: คุณต้องรวมต้นกำเนิดของเวกเตอร์เข้าด้วยกัน กและ ในแล้วผลต่างจะเป็นเวกเตอร์

วาดจากส่วนท้ายของเวกเตอร์ ในไปทางปลายเวกเตอร์ ก(รูปที่ 60)

ในอนาคตเราจะพูดถึงเวกเตอร์การกระจัด จุดวัสดุนั่นคือเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้ายของจุด ยอมรับว่ากฎที่แนะนำสำหรับการดำเนินการกับเวกเตอร์นั้นค่อนข้างชัดเจนสำหรับเวกเตอร์การกระจัด

 4. ผลคูณดอทของเวกเตอร์. ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว กและ ในคือตัวเลข c เท่ากับผลคูณของโมดูลัสเวกเตอร์และโคไซน์ของมุม α ระหว่าง

ผลคูณสเกลาร์ของการดำเนินการเวกเตอร์ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์ ในอนาคตเราจะต้องจัดการกับการดำเนินการดังกล่าวค่อนข้างบ่อย

คำจำกัดความของเส้นคู่ขนานและคุณสมบัติของมันในอวกาศเหมือนกับบนระนาบ (ดูย่อหน้าที่ 11)

ในเวลาเดียวกันสามารถจัดเรียงเส้นในอวกาศได้อีกกรณีหนึ่งนั่นคือการข้ามเส้น เส้นที่ไม่ตัดกันและไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันเรียกว่าเส้นตัดกัน

รูปที่ 121 แสดงแผนผังห้องนั่งเล่น คุณจะเห็นว่าเส้นตรงที่ส่วน AB และ BC อยู่นั้นตัดกัน

มุมระหว่างเส้นที่ตัดกันคือมุมระหว่างเส้นขนานที่ตัดกัน มุมนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นที่ตัดกัน

การวัดระดับของมุมระหว่างเส้นคู่ขนานถือว่าเท่ากับศูนย์

เส้นตั้งฉากทั่วไปของเส้นเบ้สองเส้นคือส่วนที่มีปลายอยู่บนเส้นเหล่านี้ ซึ่งตั้งฉากกับแต่ละเส้น สามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นเบ้สองเส้นนั้นตั้งฉากกันและมีเส้นเดียวเท่านั้น มันเป็นเส้นตั้งฉากทั่วไปของระนาบขนานที่ผ่านเส้นเหล่านี้

ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันคือความยาวของเส้นตั้งฉากร่วม เท่ากับระยะห่างระหว่างระนาบขนานที่ผ่านเส้นเหล่านี้

ดังนั้น ในการค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง a และ b ที่ตัดกัน (รูปที่ 122) คุณต้องวาดระนาบขนาน a และ b ผ่านเส้นตรงแต่ละเส้นเหล่านี้ ระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านี้คือระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน a และ b ในรูปที่ 122 ระยะนี้คือ เช่น ระยะทาง AB

ตัวอย่าง. เส้น a และ b ขนานกัน และเส้น c และ d ตัดกัน แต่ละเส้น a และ ตัดกันทั้งสองเส้นได้หรือไม่?

สารละลาย. เส้น a และ b อยู่ในระนาบเดียวกัน ดังนั้นเส้นใดๆ ที่ตัดกันแต่ละเส้นจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน ดังนั้น หากแต่ละเส้น a และ b ตัดกันทั้งสองเส้น c และ d เส้นก็จะอยู่ในระนาบเดียวกันกับเส้น a และ b แต่สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เนื่องจากเส้นทั้งสองตัดกัน

42. ความขนานของเส้นตรงและระนาบ

เส้นตรงและระนาบจะเรียกว่าขนานกันหากไม่ตัดกัน นั่นคือไม่มีจุดร่วม ถ้าเส้นตรง a ขนานกับระนาบ a แล้วเขียนว่า:

รูปที่ 123 แสดงเส้นตรง a ขนานกับระนาบ a

หากเส้นที่ไม่ได้เป็นของระนาบขนานกับเส้นบางเส้นในระนาบนี้ แสดงว่าเส้นนั้นขนานกับระนาบนั้นเอง (สัญญาณของความขนานระหว่างเส้นตรงกับระนาบ)

ทฤษฎีบทนี้อนุญาต สถานการณ์เฉพาะพิสูจน์ว่าเส้นตรงและระนาบขนานกัน รูปที่ 124 แสดงเส้นตรง b ขนานกับเส้นตรง a ที่อยู่ในระนาบ a กล่าวคือ เส้นตรง b ขนานกับระนาบ a กล่าวคือ

ตัวอย่าง. ผ่านด้านบน มุมฉากระนาบถูกลากจากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ขนานกับด้านตรงข้ามมุมฉากที่ระยะห่างจากระนาบนั้น 10 ซม. เส้นโครงของขาบนระนาบนี้คือ 30 และ 50 ซม. จงหาเส้นโครงของด้านตรงข้ามมุมฉากบนระนาบเดียวกัน

สารละลาย. จากสามเหลี่ยมมุมฉาก BBVC และ (รูปที่ 125) เราพบ:

จากสามเหลี่ยม ABC เราพบว่า:

เส้นโครงของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB บนระนาบ a เท่ากับ เนื่องจาก AB ขนานกับระนาบ a ดังนั้น ดังนั้น

43. เครื่องบินขนาน

ระนาบทั้งสองเรียกว่าขนานกัน ถ้าพวกมันไม่ตัดกัน

ระนาบสองระนาบขนานกัน” หากระนาบใดระนาบหนึ่งขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นที่วางอยู่ในระนาบอีกระนาบหนึ่ง (สัญลักษณ์แห่งความขนานกันของระนาบสองระนาบ)

ในรูปที่ 126 ระนาบ a ขนานกับเส้นตรง a และ b ที่ตัดกัน โดยวางอยู่บนระนาบ จากนั้นตามแนวระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

ผ่านจุดที่อยู่นอกระนาบที่กำหนด คุณสามารถวาดระนาบขนานกับระนาบที่กำหนดได้เพียงอันเดียวเท่านั้น

หากระนาบขนานสองอันตัดกับหนึ่งในสาม เส้นตรงของจุดตัดจะขนานกัน

รูปที่ 127 แสดงระนาบขนานสองระนาบ และระนาบ y ตัดกันตามเส้นตรง a และ b จากนั้น ตามทฤษฎีบท 2.7 เราสามารถบอกได้ว่าเส้น a และ b ขนานกัน

ส่วนของเส้นขนานที่อยู่ระหว่างระนาบขนานสองอันมีค่าเท่ากัน

ตาม ต.2.8 ส่วน AB และส่วนที่แสดงในรูปที่ 128 มีค่าเท่ากัน เนื่องจาก

ปล่อยให้เครื่องบินเหล่านี้ตัดกัน ให้เราวาดระนาบตั้งฉากกับเส้นตัดกัน มันตัดระนาบเหล่านี้ตามเส้นตรงสองเส้น มุมระหว่างเส้นตรงเหล่านี้เรียกว่ามุมระหว่างระนาบเหล่านี้ (รูปที่ 129) มุมระหว่างระนาบที่กำหนดในลักษณะนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกระนาบการตัด

ผลที่ตามมาบางประการจากสัจพจน์

ทฤษฎีบท 1:

เครื่องบินแล่นผ่านเป็นเส้นตรงและมีจุดเดียวที่ไม่วางอยู่บนนั้น.

ให้ไว้: M ₵ a

พิสูจน์: 1) มี α: a∈ α, M ∈ข ∈ α

2) α เป็นเพียงคนเดียว

การพิสูจน์:

1) บนเส้นตรงและ เลือกจุด ปและ ถามจากนั้นเรามี 3 แต้ม - ร, คิว เอ็มซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

2) ตามสัจพจน์ A1 เครื่องบินจะผ่านจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น นั่นคือ ระนาบ α ซึ่งมีเส้นตรง a และจุด มมีอยู่จริง

3) ทีนี้มาพิสูจน์กันα เพียงผู้เดียว, เพียงคนเดียว. สมมติว่ามีระนาบ β ที่ผ่านทั้งจุด M และเส้นตรง a แต่แล้วระนาบนี้ก็ผ่านจุดนั้นอาร์ คิว ​​เอ็มและหลังจากสามแต้ม พี คิว เอ็มไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยอาศัยสัจพจน์ที่ 1 มีเครื่องบินเพียงลำเดียวที่ผ่านไป

4) ซึ่งหมายความว่าระนาบนี้เกิดขึ้นพร้อมกับระนาบ αดังนั้น 1) บนเส้นตรงแล้วเลือกจุด ปและ ถาม. จากนั้นเรามี 3 แต้ม - พี คิว เอ็มซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันดังนั้น α จึงไม่ซ้ำกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

1) บนบรรทัด b ให้หาจุด N ซึ่งไม่ตรงกับจุด M นั่นคือ N ∈ b, N≠M

2) จากนั้นเราก็มีจุด N ที่ไม่อยู่ในเส้น a ตามทฤษฎีบทที่แล้ว เครื่องบินจะแล่นผ่านเส้นตรงและมีจุดที่ไม่วางอยู่บนระนาบนั้น ลองเรียกมันว่าระนาบ α กัน ซึ่งหมายความว่ามีระนาบดังกล่าวที่ผ่านเส้น a และจุด N อยู่

3) ให้เราพิสูจน์เอกลักษณ์ของเครื่องบินลำนี้ สมมติว่าตรงกันข้าม ให้มีระนาบ β โดยที่มันผ่านทั้งเส้น a และเส้น b แต่แล้วมันก็ผ่านเส้น a และจุด N ไปด้วย แต่ตามทฤษฎีบทที่แล้ว ระนาบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว นั่นคือ ระนาบ β เกิดขึ้นพร้อมกับระนาบ α

4) ซึ่งหมายความว่าเราได้พิสูจน์การมีอยู่ของระนาบที่มีเอกลักษณ์เฉพาะที่ผ่านเส้นตัดกันสองเส้น

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทบนเส้นขนาน

ทฤษฎีบท:

ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นที่กำหนด จะต้องผ่านเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด

ให้ไว้: ตรง เช้า₵ก

พิสูจน์:มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวข ∥ ก, M ∈ ข

การพิสูจน์:
1) ผ่านเส้นตรง a และจุด M ที่ไม่ได้วางอยู่บนนั้น สามารถวาดระนาบที่มีเอกลักษณ์เฉพาะได้ (ข้อพิสูจน์ที่ 1) ในระนาบ α เราสามารถวาดเส้นตรง b ขนานกับ a ผ่าน M ได้
2) มาพิสูจน์ว่าเธอเป็นคนเดียว สมมติว่ามีเส้น c อีกเส้นหนึ่งผ่านจุด M และขนานกับเส้น a ให้เส้นขนาน a และ c อยู่ในระนาบ β จากนั้น β ผ่าน M และเส้นตรง a แต่ระนาบ α ผ่านเส้นตรง a และจุด M
3) ซึ่งหมายความว่า α และ β เหมือนกัน จากสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน เส้น b และ c ตรงกัน เนื่องจากในระนาบมีเส้นตรงเส้นเดียวที่ผ่าน จุดนี้และขนานกับเส้นที่กำหนด
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว