การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น การแก้สมการระดับประถมศึกษาปีที่ 9 เกี่ยวข้องกับการใช้วิธีการแก้ต่าง ๆ มากมาย: วิธีกราฟิก วิธีบวกพีชคณิต การแนะนำตัวแปรใหม่ การใช้ฟังก์ชันและการแปลงสมการจากประเภทหนึ่งไปเป็นประเภทที่ง่ายกว่า และอื่นๆ อีกมากมาย วิธีการแก้สมการนั้นเลือกมาจากข้อมูลเบื้องต้น ดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดที่จะเข้าใจวิธีการต่างๆ ให้ชัดเจนโดยใช้ตัวอย่าง
สมมติว่าเราได้รับสมการในรูปแบบต่อไปนี้:
\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]
ในการแก้สมการนี้ ให้หารด้านซ้ายและขวาด้วย \
\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]
\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]
ผลลัพธ์ของรากทั้งสองคือคำตอบของสมการนี้
มาแก้สมการกัน:
\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]
มีความจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของรากทั้งหมดของสมการนี้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องแทนที่:
รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลข 2 ตัว: -1 และ 4 ดังนั้น:
\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(บีเมทริกซ์)\]
ผลรวมของทั้ง 3 รากเท่ากับ 4 ซึ่งจะเป็นคำตอบในการแก้สมการนี้
ฉันจะแก้สมการออนไลน์สำหรับเกรด 9 ได้ที่ไหน
คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ
สมการที่ไม่ทราบค่าซึ่งหลังจากเปิดวงเล็บและนำคำที่คล้ายกันมาใช้ก็จะเกิดเป็นสมการ
ขวาน + ข = 0โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ เรียกว่า สมการเชิงเส้น กับคนหนึ่งที่ไม่รู้จัก วันนี้เราจะมาดูวิธีแก้สมการเชิงเส้นเหล่านี้กัน
ตัวอย่างเช่น สมการทั้งหมด:
2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - เชิงเส้น
เรียกว่าค่าของสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งเปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง การตัดสินใจ หรือ รากของสมการ .
ตัวอย่างเช่นหากในสมการ 3x + 7 = 13 แทนที่จะเป็น x ที่ไม่รู้จักเราแทนที่หมายเลข 2 เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 3 2 +7 = 13 ซึ่งหมายความว่าค่า x = 2 คือคำตอบหรือรูท ของสมการ
และค่า x = 3 ไม่ได้เปลี่ยนสมการ 3x + 7 = 13 ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เนื่องจาก 3 2 +7 ≠ 13 ซึ่งหมายความว่าค่า x = 3 ไม่ใช่คำตอบหรือรากของสมการ
การแก้สมการเชิงเส้นใดๆ จะช่วยลดการแก้สมการของแบบฟอร์มได้
ขวาน + ข = 0
ลองย้ายพจน์อิสระจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมายหน้า b ไปตรงกันข้าม เราจะได้
ถ้า a ≠ 0 แล้ว x = ‒ b/a .
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ 3x + 2 =11
ลองย้าย 2 จากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมายหน้า 2 ไปทางตรงข้าม เราจะได้
3x = 11 – 2
งั้นเรามาลบกัน
3x = 9.
ในการหา x คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบที่ทราบ ซึ่งก็คือ
x = 9:3.
ซึ่งหมายความว่าค่า x = 3 คือคำตอบหรือรากของสมการ
คำตอบ: x = 3.
ถ้า a = 0 และ b = 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0x = 0 สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เนื่องจากเมื่อเราคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ก็เท่ากับ 0 เช่นกัน วิธีแก้ของสมการนี้คือตัวเลขใดๆ ก็ได้
ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1
มาขยายวงเล็บ:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2
ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
0x = 0
คำตอบ: x - ตัวเลขใดก็ได้.
ถ้า a = 0 และ b ≠ 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0x = - b สมการนี้ไม่มีคำตอบ เนื่องจากเมื่อเราคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ≠ 0
ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ x + 8 = x + 5
มาจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักทางด้านซ้าย และคำศัพท์อิสระทางด้านขวา:
x – x = 5 – 8.
ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
0х = ‒ 3.
คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
บน รูปที่ 1 แสดงแผนภาพสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
มาวาดโครงร่างทั่วไปสำหรับการแก้สมการด้วยตัวแปรตัวเดียว ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่ 4
ตัวอย่างที่ 4 สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการ
1) คูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน ซึ่งเท่ากับ 12
2) หลังจากการลดลงที่เราได้รับ
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) หากต้องการแยกคำศัพท์ที่มีคำศัพท์ที่ไม่รู้จักและคำศัพท์อิสระ ให้เปิดวงเล็บ:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86
4) ให้เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักเป็นส่วนหนึ่ง และอีกส่วนหนึ่ง - เงื่อนไขอิสระ:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12
5) ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:
- 22x = - 154.
6) หารด้วย – 22 เราได้
x = 7.
อย่างที่คุณเห็น รากของสมการคือเจ็ด
โดยทั่วไปดังกล่าว สมการสามารถแก้ไขได้โดยใช้โครงร่างต่อไปนี้:
ก) นำสมการมาสู่รูปแบบจำนวนเต็ม
b) เปิดวงเล็บ;
c) จัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้อยู่ในส่วนหนึ่งของสมการ และคำศัพท์อิสระในอีกส่วนหนึ่ง
d) นำสมาชิกที่คล้ายกัน;
e) แก้สมการของรูปแบบ aх = b ซึ่งได้มาจากการนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา
อย่างไรก็ตาม โครงการนี้ไม่จำเป็นสำหรับทุกสมการ เมื่อแก้สมการที่ง่ายกว่าหลายสมการ คุณต้องไม่เริ่มจากสมการแรก แต่เริ่มจากสมการที่สอง ( ตัวอย่าง. 2), ที่สาม ( ตัวอย่าง. 13) และแม้กระทั่งจากระยะที่ห้าดังตัวอย่างที่ 5
ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ 2x = 1/4
ค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
มาดูการแก้สมการเชิงเส้นที่พบในการสอบสถานะหลักกัน
ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ 2 (x + 3) = 5 – 6x
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
คำตอบ: - 0.125
ตัวอย่างที่ 7แก้สมการ – 6 (5 – 3x) = 8x – 7
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
คำตอบ: 2.3
ตัวอย่างที่ 8 แก้สมการ
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
ตัวอย่างที่ 9หา f(6) ถ้า f (x + 2) = 3 7's
สารละลาย
เนื่องจากเราต้องค้นหา f(6) และเรารู้ f (x + 2)
จากนั้น x + 2 = 6
เราแก้สมการเชิงเส้น x + 2 = 6
เราได้ x = 6 – 2, x = 4
ถ้า x = 4 แล้ว
ฉ(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
คำตอบ: 27.
หากคุณยังคงมีคำถามหรือต้องการทำความเข้าใจการแก้สมการอย่างละเอียดมากขึ้น โปรดลงทะเบียนบทเรียนของฉันใน SCHEDULE ฉันยินดีที่จะช่วยคุณ!
TutorOnline ขอแนะนำให้ชมวิดีโอบทเรียนใหม่จากครูสอนพิเศษของเรา Olga Alexandrovna ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจทั้งสมการเชิงเส้นและอื่น ๆ
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานขององศา ให้ a > 0, b > 0, n, m เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว
1) n a m = n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (ก) ม. = นาโนเมตร
4) (ab) n = ก n ข n
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) n > 1 ถ้า a > 1, n > 0
8) ยังไม่มี 1, n
9) n > a m ถ้า 0
ในทางปฏิบัติ มักใช้ฟังก์ชันในรูปแบบ y = a x โดยที่ a คือจำนวนบวกที่กำหนด x คือตัวแปร ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า บ่งชี้. ชื่อนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือเลขชี้กำลัง และฐานของเลขชี้กำลังคือตัวเลขที่กำหนด
คำนิยาม.ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = a x โดยที่ a คือตัวเลขที่กำหนด a > 0, \(a \neq 1\)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
คุณสมบัตินี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลัง a x โดยที่ a > 0 ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริง x ทั้งหมด
2) ชุดของค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือชุดของจำนวนบวกทั้งหมด
เพื่อยืนยันสิ่งนี้ คุณต้องแสดงว่าสมการ a x = b โดยที่ a > 0, \(a \neq 1\) ไม่มีรากถ้า \(b \leq 0\) และมีรากสำหรับ b > ใดๆ 0 .
3) ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x จะเพิ่มขึ้นบนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดถ้า a > 1 และลดลงถ้า 0 ซึ่งตามมาจากคุณสมบัติของระดับ (8) และ (9)
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x สำหรับ a > 0 และ 0 เมื่อใช้คุณสมบัติที่พิจารณา เราสังเกตว่ากราฟของฟังก์ชัน y = a x สำหรับ a > 0 ผ่านจุด (0; 1) และตั้งอยู่ด้านบน แกนวัว
ถ้า x 0
ถ้า x > 0 และ |x| เพิ่มขึ้นกราฟจะสูงขึ้นอย่างรวดเร็ว
กราฟของฟังก์ชัน y = a x ที่ 0 ถ้า x > 0 และเพิ่มขึ้น กราฟจะเข้าใกล้แกน Ox อย่างรวดเร็ว (โดยไม่ต้องข้าม) ดังนั้นแกน Ox จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟ
ถ้า x
สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
ลองพิจารณาตัวอย่างสมการเลขชี้กำลังหลายตัวอย่าง เช่น สมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ในเลขชี้กำลัง การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมักเกิดจากการแก้สมการ a x = a b โดยที่ a > 0, \(a \neq 1\), x ไม่เป็นที่รู้จัก สมการนี้แก้ได้โดยใช้สมบัติกำลัง: กำลังที่มีฐาน a > 0, \(a \neq 1\) จะเท่ากันก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังเท่ากันเท่านั้น
แก้สมการ 2 3x 3 x = 576
เนื่องจาก 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 สมการจึงสามารถเขียนเป็น 8 x 3 x = 24 2 หรือเป็น 24 x = 24 2 โดยที่ x = 2
ตอบ x = 2
แก้สมการ 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
นำตัวประกอบร่วม 3 x - 2 จากวงเล็บทางด้านซ้าย เราจะได้ 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25
โดยที่ 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
ตอบ x = 2
แก้สมการ 3 x = 7 x
เนื่องจาก \(7^x \neq 0 \) จึงสามารถเขียนสมการได้ในรูปแบบ \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \) ซึ่ง \(\left(\frac(3) )( 7) \right) ^x = 1 \), x = 0
ตอบ x = 0
แก้สมการ 9 x - 4 3 x - 45 = 0
ด้วยการแทนที่ 3 x = t สมการนี้จะลดลงเหลือสมการกำลังสอง t 2 - 4t - 45 = 0 การแก้สมการนี้เราจะพบรากของมัน: t 1 = 9, t 2 = -5 โดยที่ 3 x = 9 3 x = -5 .
สมการ 3 x = 9 มีราก x = 2 และสมการ 3 x = -5 ไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่สามารถรับค่าลบได้
ตอบ x = 2
แก้สมการ 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2 โดยที่
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
ตอบ x = 2
แก้สมการ 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
เนื่องจาก 3 > 0, \(3 \neq 1\) ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับสมการ |x-1| = |x+3|
ด้วยการยกกำลังสองสมการนี้ เราได้ข้อพิสูจน์ (x - 1) 2 = (x + 3) 2 ซึ่ง
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
การตรวจสอบแสดงว่า x = -1 คือรากของสมการดั้งเดิม
ตอบ x = -1
มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง
สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0
ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:
- ไม่มีราก
- มีรากเพียงอันเดียว
- พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน
นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.
เลือกปฏิบัติ
ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac
คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:
- ถ้า D< 0, корней нет;
- ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
- ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน
โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:
งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0
ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131
การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0
การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูตจะเป็นหนึ่ง
โปรดทราบว่ามีการเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ
อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น
รากของสมการกำลังสอง
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:
สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง
เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 − 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0
สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16
D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:
สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64
D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]
ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0
D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:
อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้ง เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษร เขียนแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 - 16 = 0
สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:
สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์
แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.
ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:
เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:
- หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองอัน สูตรได้รับข้างต้น
- ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.
อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว หากเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย
ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:
งาน. แก้สมการกำลังสอง:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5