พวกเราหลายคนต้องเผชิญกับคำศัพท์ที่เข้าใจยากในวิทยาศาสตร์ต่างๆ แต่มีคนน้อยมากที่ไม่กลัว คำที่ไม่ชัดเจนแต่ในทางกลับกัน พวกเขาสนับสนุนและบังคับให้คุณเจาะลึกลงไปในหัวข้อที่กำลังศึกษาอยู่ วันนี้เราจะพูดถึงเรื่องเช่นการแก้ไข นี่คือวิธีสร้างกราฟโดยใช้จุดที่ทราบ ซึ่งช่วยให้คาดการณ์พฤติกรรมของฟังก์ชันในส่วนเฉพาะของเส้นโค้งได้ด้วยข้อมูลจำนวนน้อยที่สุด
ก่อนที่จะพูดถึงแก่นแท้ของคำจำกัดความและพูดถึงมันโดยละเอียด เรามาเจาะลึกประวัติศาสตร์กันสักหน่อย
เรื่องราว
การแก้ไขเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์นี้เป็นการพัฒนาของนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นที่สุดในอดีตหลายคน ได้แก่ นิวตัน ไลบ์นิซ และเกรกอรี พวกเขาเป็นผู้พัฒนาแนวคิดนี้โดยใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงที่มีอยู่ในขณะนั้น ก่อนหน้านี้ แน่นอนว่ามีการใช้การแก้ไขและใช้ในการคำนวณ แต่พวกเขาทำในลักษณะที่ไม่ถูกต้องโดยสิ้นเชิงซึ่งจำเป็น ปริมาณมากข้อมูลเพื่อสร้างแบบจำลองที่ใกล้เคียงกับความเป็นจริงไม่มากก็น้อย
ปัจจุบันเราสามารถเลือกวิธีการประมาณค่าที่เหมาะสมกว่าได้ ทุกอย่างถูกแปลเป็นภาษาคอมพิวเตอร์ที่สามารถทำนายพฤติกรรมของฟังก์ชันได้ พื้นที่บางส่วนจำกัดเฉพาะจุดที่ทราบเท่านั้น
การแก้ไขเป็นแนวคิดที่ค่อนข้างแคบ ดังนั้นประวัติของมันจึงไม่ได้เต็มไปด้วยข้อเท็จจริงมากนัก ในส่วนถัดไป เราจะหาคำตอบว่าจริงๆ แล้วการประมาณค่าคืออะไร และมันแตกต่างจากการประมาณค่าที่ตรงกันข้ามกันอย่างไร
การแก้ไขคืออะไร?
ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว นี่คือชื่อทั่วไปของวิธีการที่ช่วยให้คุณสร้างกราฟตามจุดได้ ในโรงเรียน ส่วนใหญ่จะกระทำโดยการวาดตาราง ระบุจุดบนกราฟ และวาดเส้นคร่าวๆ เพื่อเชื่อมโยงจุดเหล่านั้น การกระทำสุดท้ายเสร็จสิ้นโดยคำนึงถึงความคล้ายคลึงของฟังก์ชันที่กำลังศึกษากับฟังก์ชันอื่นซึ่งเป็นประเภทของกราฟที่เรารู้จัก
อย่างไรก็ตาม มีวิธีอื่นที่ซับซ้อนและแม่นยำกว่าในการพล็อตกราฟแบบจุดต่อจุดให้สำเร็จ ดังนั้นการประมาณค่าจึงเป็น "การทำนาย" พฤติกรรมของฟังก์ชันในพื้นที่เฉพาะซึ่งจำกัดด้วยจุดที่ทราบ
มีแนวคิดที่คล้ายกันซึ่งเกี่ยวข้องกับพื้นที่เดียวกัน - การคาดการณ์ นอกจากนี้ยังแสดงถึงการทำนายกราฟของฟังก์ชัน แต่อยู่นอกเหนือจุดที่ทราบของกราฟ ด้วยวิธีนี้ การคาดคะเนจะขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ทราบ จากนั้นฟังก์ชันนี้จะถูกนำไปใช้กับช่วงเวลาที่ไม่ทราบ วิธีนี้จะสะดวกมากสำหรับ การประยุกต์ใช้จริงและมีการใช้อย่างแข็งขัน เช่น ในทางเศรษฐศาสตร์เพื่อทำนายการขึ้นและลงของตลาด และเพื่อทำนายสถานการณ์ทางประชากรศาสตร์ในประเทศ
แต่เราได้ย้ายออกจากหัวข้อหลักแล้ว ในส่วนถัดไป เราจะพิจารณาว่าการประมาณค่าใดเกิดขึ้น และสูตรใดบ้างที่สามารถใช้เพื่อดำเนินการนี้ได้
ประเภทของการแก้ไข
ที่สุด มุมมองที่เรียบง่ายเป็นการประมาณค่าโดยใช้วิธีเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด เมื่อใช้วิธีนี้ เราจะได้กราฟคร่าวๆ ที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม หากคุณเคยเห็นคำอธิบายความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลบนกราฟ คุณจะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงรูปแบบกราฟิกประเภทใด
นอกจากนี้ยังมีวิธีการแก้ไขอื่นๆ ที่มีชื่อเสียงและเป็นที่นิยมมากที่สุดเกี่ยวข้องกับพหุนาม มีความแม่นยำมากกว่าและช่วยให้คุณสามารถทำนายพฤติกรรมของฟังก์ชันด้วยชุดค่าที่ค่อนข้างน้อยได้ วิธีการประมาณค่าแรกที่เราจะดูคือการประมาณค่าพหุนามเชิงเส้น นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในหมวดหมู่นี้ และพวกคุณแต่ละคนอาจใช้วิธีนี้ที่โรงเรียน สาระสำคัญของมันคือการสร้างเส้นตรงระหว่างจุดที่ทราบ ดังที่คุณทราบ เส้นตรงเส้นเดียวผ่านจุดสองจุดบนระนาบ ซึ่งสมการนี้สามารถหาได้จากพิกัดของจุดเหล่านี้ เมื่อสร้างเส้นตรงเหล่านี้แล้วเราจะได้กราฟหักซึ่งอย่างน้อยที่สุดก็สะท้อนถึงค่าโดยประมาณของฟังก์ชันและใน โครงร่างทั่วไปตรงกับความเป็นจริง นี่คือวิธีการแก้ไขเชิงเส้น
การแก้ไขประเภทขั้นสูง
มีวิธีการแก้ไขที่น่าสนใจกว่า แต่ก็ซับซ้อนกว่าเช่นกัน คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส โจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ นั่นคือสาเหตุที่การคำนวณการประมาณค่าโดยใช้วิธีนี้จึงตั้งชื่อตาม: การประมาณค่าโดยใช้วิธีลากรองจ์ เคล็ดลับคือ: หากวิธีที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ใช้เพียงฟังก์ชันเชิงเส้นในการคำนวณ การขยายโดยวิธีลากรองจ์ยังเกี่ยวข้องกับการใช้พหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าด้วย แต่การค้นหาสูตรการประมาณค่าสำหรับฟังก์ชันต่างๆ นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และยิ่งรู้จุดมากเท่าไร สูตรการประมาณค่าก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น แต่มีวิธีการอื่นอีกมากมาย
มีวิธีการคำนวณขั้นสูงที่ใกล้เคียงกับความเป็นจริงมากขึ้น สูตรการประมาณค่าที่ใช้ในสูตรนี้คือชุดของพหุนาม ซึ่งการประยุกต์ใช้แต่ละสูตรจะขึ้นอยู่กับส่วนของฟังก์ชัน วิธีการนี้เรียกว่าฟังก์ชัน spline นอกจากนี้ยังมีวิธีต่างๆ ในการทำฟังก์ชันประมาณค่าของตัวแปรสองตัวอีกด้วย มีเพียงสองวิธีเท่านั้น ในหมู่พวกเขามีการแก้ไขแบบไบลิเนียร์หรือสองครั้ง วิธีนี้ช่วยให้คุณสร้างกราฟโดยใช้จุดในพื้นที่สามมิติได้อย่างง่ายดาย เราจะไม่แตะต้องวิธีการอื่น โดยทั่วไป การประมาณค่าเป็นชื่อสากลสำหรับวิธีสร้างกราฟทั้งหมดนี้ แต่ความหลากหลายของวิธีที่การกระทำนี้สามารถดำเนินการได้ บังคับให้เราแบ่งพวกมันออกเป็นกลุ่ม ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันที่อยู่ภายใต้การกระทำนี้ นั่นคือการแก้ไขซึ่งเป็นตัวอย่างที่เราดูข้างต้นหมายถึงวิธีการโดยตรง นอกจากนี้ยังมีการประมาณค่าแบบผกผันซึ่งแตกต่างจากที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณไม่ใช่ฟังก์ชันโดยตรง แต่เป็นฟังก์ชันผกผัน (นั่นคือ x จาก y) เราจะไม่พิจารณาตัวเลือกหลัง เนื่องจากมันค่อนข้างซับซ้อนและต้องใช้ฐานความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ดี
เรามาดูส่วนที่สำคัญที่สุดส่วนหนึ่งกันดีกว่า จากนั้นเราจะเรียนรู้ว่าชุดวิธีที่เรากำลังพูดถึงถูกนำไปใช้ในชีวิตอย่างไรและที่ไหน
แอปพลิเคชัน
อย่างที่เรารู้กันว่าคณิตศาสตร์เป็นราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ ดังนั้นแม้ว่าในตอนแรกคุณจะไม่เห็นประเด็นในการดำเนินการบางอย่าง แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าการดำเนินการเหล่านั้นจะไม่มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่าการแก้ไขจะไร้ประโยชน์ โดยที่สามารถสร้างได้เพียงกราฟเท่านั้น ซึ่งตอนนี้มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม สำหรับการคำนวณใดๆ ในเทคโนโลยี ฟิสิกส์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ (เช่น ชีววิทยา) การนำเสนอภาพปรากฏการณ์ที่ค่อนข้างสมบูรณ์ในขณะที่มีค่าชุดหนึ่งนั้นเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง ค่าที่กระจัดกระจายไปทั่วกราฟไม่ได้ให้แนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันในพื้นที่เฉพาะค่าของอนุพันธ์และจุดตัดกับแกนเสมอไป และนี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับหลาย ๆ ด้านในชีวิตของเรา
สิ่งนี้จะมีประโยชน์ในชีวิตอย่างไร?
คำถามเช่นนี้อาจตอบได้ยากมาก แต่คำตอบนั้นง่าย: ไม่มีทาง ความรู้นี้จะไม่เกิดประโยชน์ใดๆ กับคุณ แต่ถ้าคุณเข้าใจเนื้อหานี้และวิธีการในการดำเนินการเหล่านี้ คุณจะฝึกตรรกะซึ่งจะมีประโยชน์มากในชีวิต สิ่งสำคัญไม่ใช่ความรู้ แต่เป็นทักษะที่บุคคลได้รับระหว่างการศึกษา ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีคำพูด: “อยู่ตลอดไปเรียนรู้ตลอดไป”
แนวคิดที่เกี่ยวข้อง
คุณสามารถเข้าใจได้ด้วยตัวเองว่าคณิตศาสตร์สาขานี้มีความสำคัญเพียงใด (และยังคงเป็นอยู่) โดยการดูแนวคิดอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับมัน เราได้พูดคุยเกี่ยวกับการประมาณค่าแล้ว แต่ยังมีการประมาณค่าอีกด้วย บางทีคุณอาจเคยได้ยินคำนี้แล้ว ไม่ว่าในกรณีใด เราก็ได้พูดคุยถึงความหมายในบทความนี้ด้วย การประมาณค่าเช่นเดียวกับการประมาณค่าคือแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟของฟังก์ชัน แต่ความแตกต่างระหว่างอันแรกและอันที่สองก็คือ มันเป็นการสร้างกราฟโดยประมาณโดยอิงจากกราฟที่คล้ายกันที่รู้จัก แนวคิดทั้งสองนี้มีความคล้ายคลึงกันมาก ซึ่งทำให้การศึกษาแต่ละแนวคิดน่าสนใจยิ่งขึ้น
บทสรุป
คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นวิทยาศาสตร์ที่ซับซ้อนเท่าที่เห็นเมื่อมองแวบแรก เธอค่อนข้างน่าสนใจ และในบทความนี้เราพยายามพิสูจน์ให้คุณเห็น เราดูแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการวางแผน เรียนรู้ว่าการประมาณค่าสองเท่าคืออะไร และดูตัวอย่างว่ามีการใช้ข้อมูลใดบ้าง
มีสถานการณ์เมื่ออยู่ในอาร์เรย์ ค่านิยมที่ทราบเราจำเป็นต้องค้นหาผลลัพธ์ระดับกลาง ในทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้เรียกว่าการประมาณค่า ใน Excel วิธีการนี้สามารถใช้ได้ทั้งกับข้อมูลแบบตารางและสำหรับการพล็อตกราฟ ลองดูแต่ละวิธีเหล่านี้
เงื่อนไขหลักที่สามารถใช้การแก้ไขได้คือค่าที่ต้องการจะต้องอยู่ภายในอาร์เรย์ข้อมูลและไม่อยู่นอกขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น หากเรามีชุดของอาร์กิวเมนต์ 15, 21 และ 29 เราก็สามารถใช้การประมาณค่าเพื่อค้นหาฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ 25 ได้ แต่ไม่มีวิธีใดในการค้นหาค่าที่สอดคล้องกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ 30 อีกต่อไป นี่คือข้อแตกต่างหลักระหว่างขั้นตอนนี้และการประมาณค่า
วิธีที่ 1: การแก้ไขข้อมูลแบบตาราง
ก่อนอื่น มาดูการประยุกต์ใช้การแก้ไขข้อมูลที่อยู่ในตารางกันก่อน ตัวอย่างเช่น ลองใช้อาร์เรย์ของอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน ซึ่งสามารถอธิบายความสัมพันธ์ได้ สมการเชิงเส้น. ข้อมูลนี้แสดงในตารางด้านล่าง เราจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันที่สอดคล้องกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ 28 . วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้ตัวดำเนินการ การทำนาย.
วิธีที่ 2: แก้ไขกราฟโดยใช้การตั้งค่า
ขั้นตอนการแก้ไขยังสามารถใช้เมื่อสร้างกราฟฟังก์ชันได้ด้วย มีความเกี่ยวข้องหากตารางที่ใช้กราฟไม่ได้ระบุค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่งดังในภาพด้านล่าง
อย่างที่คุณเห็น กราฟได้รับการแก้ไขแล้ว และช่องว่างถูกลบออกโดยใช้การแก้ไข
วิธีที่ 3: แก้ไขกราฟโดยใช้ฟังก์ชัน
คุณยังสามารถประมาณค่ากราฟได้โดยใช้ฟังก์ชัน ND พิเศษ ส่งคืนค่าที่ไม่ได้กำหนดในเซลล์ที่ระบุ
คุณสามารถทำได้ง่ายยิ่งขึ้นโดยไม่ต้องวิ่ง ตัวช่วยสร้างฟังก์ชันและเพียงใช้แป้นพิมพ์เพื่อป้อนค่าลงในเซลล์ว่าง “ไม่มี”โดยไม่มีเครื่องหมายคำพูด แต่ขึ้นอยู่กับว่าอันไหนสะดวกกว่าสำหรับผู้ใช้คนไหน
อย่างที่คุณเห็นใน Excel คุณสามารถประมาณค่าเป็นข้อมูลแบบตารางได้โดยใช้ฟังก์ชัน การทำนายและกราฟิก ในกรณีหลังนี้สามารถทำได้โดยใช้การตั้งค่าแผนภูมิหรือใช้ฟังก์ชัน น.ดทำให้เกิดข้อผิดพลาด “ไม่มี”. การเลือกวิธีการใช้ขึ้นอยู่กับคำชี้แจงปัญหาตลอดจนความชอบส่วนตัวของผู้ใช้
มีหลายกรณีที่คุณจำเป็นต้องทราบผลลัพธ์ของการคำนวณฟังก์ชันนอกพื้นที่ที่ทราบ ปัญหานี้เกี่ยวข้องโดยเฉพาะกับขั้นตอนการคาดการณ์ ใน Excel มีหลายวิธีที่คุณสามารถดำเนินการนี้ได้ ลองดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง
วิธีที่ 2: การประมาณค่าสำหรับกราฟ
คุณสามารถดำเนินการตามขั้นตอนการประมาณค่าสำหรับกราฟได้โดยการวางแผนเส้นแนวโน้ม
- ก่อนอื่น เราสร้างแผนภูมิขึ้นมาเอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้เคอร์เซอร์ขณะกดปุ่มซ้ายของเมาส์ค้างไว้เพื่อเลือกพื้นที่ทั้งหมดของตาราง รวมถึงอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง จากนั้นจึงย้ายไปที่แท็บ "แทรก"คลิกที่ปุ่ม "กำหนดการ". ไอคอนนี้อยู่ในบล็อก "ไดอะแกรม"บนสายพานเครื่องมือ รายการปรากฏขึ้น ตัวเลือกที่ใช้ได้กราฟ เราเลือกสิ่งที่เหมาะสมที่สุดตามดุลยพินิจของเรา
- หลังจากสร้างกราฟแล้ว ให้ลบบรรทัดอาร์กิวเมนต์เพิ่มเติมออกโดยเลือกและคลิกที่ปุ่ม ลบบนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์
- ต่อไปเราต้องเปลี่ยนการแบ่งส่วนของสเกลแนวนอนเนื่องจากจะไม่แสดงค่าของอาร์กิวเมนต์ตามที่เราต้องการ โดยคลิกขวาที่ไดอะแกรมและในรายการที่ปรากฏขึ้น ให้เลือกค่า "เลือกข้อมูล".
- ในหน้าต่างการเลือกแหล่งข้อมูลที่เปิดขึ้น ให้คลิกที่ปุ่ม "เปลี่ยน"ในบล็อกการแก้ไขฉลากแกนนอน
- หน้าต่างสำหรับการตั้งค่าลายเซ็นแกนจะเปิดขึ้น วางเคอร์เซอร์ในช่องของหน้าต่างนี้ จากนั้นเลือกข้อมูลทั้งหมดในคอลัมน์ "เอ็กซ์"โดยไม่มีชื่อของมัน จากนั้นคลิกที่ปุ่ม "ตกลง".
- หลังจากกลับไปที่หน้าต่างการเลือกแหล่งข้อมูล เราจะทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันนั่นคือคลิกที่ปุ่ม "ตกลง".
- ตอนนี้กราฟของเราพร้อมแล้ว และเราสามารถเริ่มสร้างเส้นแนวโน้มได้โดยตรง คลิกที่แผนภูมิหลังจากนั้นชุดแท็บเพิ่มเติมจะเปิดใช้งานบน Ribbon - "การทำงานกับไดอะแกรม". ย้ายไปที่แท็บ "เค้าโครง"และกดปุ่ม "เส้นแนวโน้ม"ในบล็อก "การวิเคราะห์". คลิกที่รายการ "การประมาณเชิงเส้น"หรือ “การประมาณค่าเอ็กซ์โปเนนเชียล”.
- มีการเพิ่มเส้นแนวโน้มแล้ว แต่อยู่ใต้เส้นกราฟโดยสิ้นเชิง เนื่องจากเราไม่ได้ระบุค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ควรมีแนวโน้ม โดยคลิกที่ปุ่มอีกครั้ง "เส้นแนวโน้ม"แต่ให้เลือกรายการแล้ว "ตัวเลือกเส้นแนวโน้มขั้นสูง".
- หน้าต่างรูปแบบเส้นแนวโน้มจะเปิดขึ้น ในบทที่ "ตัวเลือกเส้นแนวโน้ม"มีบล็อกการตั้งค่า "พยากรณ์". เช่นเดียวกับวิธีก่อนหน้านี้ ลองใช้อาร์กิวเมนต์เพื่อประมาณค่า 55 . ดังที่เราเห็น กราฟมีความยาวจนถึงอาร์กิวเมนต์ 50 รวมอยู่ด้วย ปรากฎว่าเราจะต้องขยายออกไปอีก 5 หน่วย บนแกนนอนจะเห็นว่า 5 หน่วยเท่ากับ 1 ส่วน นี่จึงเป็นช่วงเวลาหนึ่ง ในสนาม "เดินหน้าต่อไป"ป้อนค่า "1". คลิกที่ปุ่ม "ปิด"ที่มุมขวาล่างของหน้าต่าง
- อย่างที่คุณเห็น กราฟถูกขยายตามความยาวที่ระบุโดยใช้เส้นแนวโน้ม
ดังนั้นเราจึงได้ดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการประมาณค่าตารางและกราฟ ในกรณีแรก จะใช้ฟังก์ชันนี้ การทำนายและในวินาที - เส้นแนวโน้ม แต่จากตัวอย่างเหล่านี้ คุณสามารถตัดสินใจได้มากขึ้น งานที่ซับซ้อนการพยากรณ์
การแก้ไข การแนะนำ. คำแถลงทั่วไปของปัญหา
เมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ ผลการวิจัยจะถูกนำเสนอในรูปแบบของตารางที่แสดงการขึ้นต่อกันของปริมาณที่วัดได้ตั้งแต่หนึ่งปริมาณขึ้นไปในพารามิเตอร์ที่กำหนดตัวเดียว (อาร์กิวเมนต์) ตารางประเภทนี้มักจะนำเสนอในรูปแบบของสองแถวขึ้นไป (คอลัมน์) และใช้เพื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ระบุไว้ในตาราง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชั่นมักจะเขียนในตารางในรูปแบบ:
Y1(เอ็กซ์) | ใช่(X0) | ใช่(X1) | ใช่(Xn) | ||
ใช่(X) | ใช่(X0) | ใช่(X1) | ใช่(Xn) |
ข้อมูลที่จำกัดจากตารางดังกล่าวในบางกรณีจำเป็นต้องได้รับค่าของฟังก์ชัน Y j (X) (j=1,2,…,m) ที่จุด X ที่ไม่ตรงกับจุดสำคัญของตาราง X i (i=0,1,2,… ,n) . ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็นต้องกำหนดนิพจน์เชิงวิเคราะห์ φ j (X) เพื่อคำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชันภายใต้การศึกษา Y j (X) ที่จุด X ที่ระบุโดยพลการ ฟังก์ชัน φ j (X) ที่ใช้ในการกำหนดค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน Y j (X) เรียกว่าฟังก์ชันการประมาณ (จากภาษาละตินประมาณ - ใกล้เข้ามา) ความใกล้ชิดของฟังก์ชันการประมาณ φ j (X) กับฟังก์ชันโดยประมาณ Y j (X) มั่นใจได้โดยการเลือกอัลกอริธึมการประมาณที่เหมาะสม
เราจะพิจารณาและสรุปเพิ่มเติมทั้งหมดสำหรับตารางที่มีข้อมูลเริ่มต้นของฟังก์ชันหนึ่งที่อยู่ระหว่างการศึกษา (เช่น สำหรับตารางที่มี m=1)
1. วิธีการแก้ไข
1.1 คำชี้แจงปัญหาการแก้ไข
บ่อยครั้งในการกำหนดฟังก์ชัน φ(X) มีการใช้สูตร เรียกว่าสูตรของปัญหาการประมาณค่า
ในการกำหนดปัญหาการประมาณค่าแบบคลาสสิกนี้ จำเป็นต้องกำหนดฟังก์ชันการวิเคราะห์โดยประมาณ φ(X) ซึ่งค่าที่จุดปม X i จับคู่ค่า Y(H i ) ของตารางดั้งเดิม เช่น เงื่อนไข
ϕ (X i )= Y ฉัน (i = 0,1,2,...,n) |
ฟังก์ชันการประมาณ φ(X) ที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้ช่วยให้ได้รับการประมาณค่าที่ใกล้เคียงกับฟังก์ชันที่สอดแทรก Y(X) ภายในช่วงของค่าของอาร์กิวเมนต์ [X 0 ; X n ] กำหนดโดยตาราง เมื่อระบุค่าของอาร์กิวเมนต์ X ไม่ได้เป็นของช่วงนี้ ปัญหาการประมาณค่าจะเปลี่ยนเป็นปัญหาการประมาณค่า ในกรณีเหล่านี้จะมีความถูกต้องแม่นยำ
ค่าที่ได้รับเมื่อคำนวณค่าของฟังก์ชัน φ(X) ขึ้นอยู่กับระยะห่างของค่าของอาร์กิวเมนต์ X จาก X 0 ถ้า X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.
ที่ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชั่นการประมาณค่าสามารถใช้เพื่อคำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชันภายใต้การศึกษาที่จุดกึ่งกลางของช่วงย่อย [XX ผม ; เอ็กซ์ ผม+1 ]. ขั้นตอนนี้เรียกว่า การบดอัดตาราง.
อัลกอริธึมการแก้ไขถูกกำหนดโดยวิธีการคำนวณค่าของฟังก์ชัน φ(X) ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดและชัดเจนที่สุดสำหรับการนำฟังก์ชันการประมาณค่าไปใช้คือการแทนที่ฟังก์ชันภายใต้การศึกษา Y(X) ในช่วงเวลา [X i ; X i+1 ] โดยจุดเชื่อมต่อเส้นตรง Y i , Y i+1 . วิธีนี้เรียกว่าวิธีการประมาณค่าเชิงเส้น
1.2 การประมาณค่าเชิงเส้น
ด้วยการประมาณค่าเชิงเส้น ค่าของฟังก์ชันที่จุด X ซึ่งอยู่ระหว่างโหนด X i และ X i+1 จะถูกกำหนดโดยสูตรของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดที่อยู่ติดกันของตาราง
Y(X) = Y(Xi )+ | Y(Xi + 1 )− Y(Xi ) | (X - Xi ) (i= 0,1,2, ...,n) | |
X ผม+ 1− X ผม | |||
ในรูป รูปที่ 1 แสดงตัวอย่างตารางที่ได้รับจากการวัดปริมาณ Y(X) ที่แน่นอน แถวของตารางต้นฉบับจะถูกไฮไลต์ ทางด้านขวาของตารางคือแผนภูมิกระจายที่สอดคล้องกับตารางนี้ ตารางถูกบีบอัดโดยใช้สูตร
(3) ค่าของฟังก์ชันโดยประมาณที่จุด X ซึ่งสอดคล้องกับจุดกึ่งกลางของช่วงย่อย (i=0, 1, 2, …, n)
รูปที่ 1. ตารางย่อของฟังก์ชัน Y(X) และแผนภาพที่เกี่ยวข้อง
เมื่อพิจารณากราฟในรูป 1 จะเห็นได้ว่าคะแนนที่ได้รับจากการกระชับตารางโดยใช้วิธีการประมาณค่าเชิงเส้นนั้นอยู่บนส่วนตรงที่เชื่อมต่อจุดของตารางดั้งเดิม ความแม่นยำเชิงเส้น
การประมาณค่าขึ้นอยู่กับลักษณะของฟังก์ชันการประมาณค่าและระยะห่างระหว่างโหนดของตาราง X i, , X i+1
แน่นอนถ้าฟังก์ชั่นราบรื่นแล้วแม้จะค่อนข้างจะ ระยะไกลระหว่างจุดต่างๆ กราฟที่สร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อจุดกับส่วนของเส้นตรงทำให้สามารถประเมินลักษณะของฟังก์ชัน Y(X) ได้อย่างแม่นยำ หากฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงค่อนข้างเร็วและระยะห่างระหว่างโหนดมีขนาดใหญ่ ฟังก์ชันการประมาณค่าเชิงเส้นจะไม่อนุญาตให้มีการประมาณค่าฟังก์ชันจริงที่แม่นยำเพียงพอ
ฟังก์ชันการประมาณค่าเชิงเส้นสามารถใช้สำหรับการวิเคราะห์เบื้องต้นโดยทั่วไปและการประเมินความถูกต้องของผลการประมาณค่า ซึ่งจากนั้นจะได้มาโดยวิธีอื่นๆ ที่แม่นยำยิ่งขึ้น การประเมินนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่งในกรณีที่ทำการคำนวณด้วยตนเอง
1.3 การประมาณค่าด้วยพหุนามแบบบัญญัติ
วิธีการประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุนามแบบบัญญัตินั้นขึ้นอยู่กับการสร้างฟังก์ชันการประมาณค่าเป็นพหุนามในรูปแบบ [1]
ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn |
ค่าสัมประสิทธิ์ c i ของพหุนาม (4) เป็นพารามิเตอร์การประมาณค่าอิสระ ซึ่งพิจารณาจากเงื่อนไขลากรองจ์:
Pn (xi )= ยี่ , (i= 0 , 1 , ... , n)
การใช้ (4) และ (5) เราเขียนระบบสมการ
ค x+ ค x2 | ค xn = ย |
|||||||
ค x+ ค x2 | ค xn | |||||||
ซี x2 | ค xn = ย |
|||||||
เวกเตอร์คำตอบที่มี i (i = 0, 1, 2, …, n) ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (6) มีอยู่และสามารถพบได้หากไม่มีโหนดที่ตรงกันระหว่าง i ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ (6) เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์ของแวนเดอร์มอนด์1 และมีนิพจน์เชิงวิเคราะห์ [2]
1 ดีเทอร์มิแนนต์ของแวนเดอร์มอนด์ เรียกว่าปัจจัยกำหนด
มันจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อ xi = xj สำหรับบางคนเท่านั้น (เนื้อหาจากวิกิพีเดีย – สารานุกรมเสรี)
เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ด้วย i (i = 0, 1, 2, … , n)
สมการ (5) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเวกเตอร์-เมทริกซ์
ก* ค= ย,
โดยที่ A เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ที่กำหนดโดยตารางองศาของเวกเตอร์ของอาร์กิวเมนต์ X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)
x02 | x0 น | ||||||||
xn2 | xnn | ||||||||
C คือเวกเตอร์คอลัมน์ของค่าสัมประสิทธิ์ i (i = 0, 1, 2, … , n) และ Y คือเวกเตอร์คอลัมน์ของค่า Y i (i = 0, 1, 2, … , n) ของการประมาณค่า ทำงานที่โหนดการแก้ไข
วิธีแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้สามารถหาได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่อธิบายไว้ใน [3] เช่นตามสูตร
C = A− 1 Y |
โดยที่ A -1 คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A หากต้องการรับเมทริกซ์ผกผัน A -1 คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน MOBR() ที่รวมอยู่ในเซตได้ คุณสมบัติมาตรฐานโปรแกรม ไมโครซอฟต์ เอ็กเซล.
หลังจากที่ค่าสัมประสิทธิ์กับ i ถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชัน (4) ค่าของฟังก์ชันที่ประมาณค่าสามารถคำนวณได้สำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์
มาเขียนเมทริกซ์ A สำหรับตารางที่แสดงในรูปที่ 1 โดยไม่คำนึงถึงแถวที่กระชับตาราง
รูปที่ 2 เมทริกซ์ของระบบสมการในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามแบบบัญญัติ
เมื่อใช้ฟังก์ชัน MOBR() เราจะได้เมทริกซ์ A -1 ผกผันกับเมทริกซ์ A (รูปที่ 3) หลังจากนั้นตามสูตร (9) เราจะได้เวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T แสดงในรูปที่. 4.
ในการคำนวณค่าของพหุนามแบบบัญญัติในเซลล์ของคอลัมน์ Y แบบบัญญัติที่สอดคล้องกับค่า x 0 เราแนะนำสูตรที่แปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้ซึ่งสอดคล้องกับแถวศูนย์ของระบบ (6)
=((((ค 5 | * x 0 +ค 4 )*x 0 +ค 3 )*x 0 +ค 2 )*x 0 +ค 1 )*x 0 +ค 0 | |
C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))
แทนที่จะเขียน " c i " ในสูตรที่ป้อนลงในเซลล์ตาราง Excel ควรมีลิงก์สัมบูรณ์ไปยังเซลล์ที่เกี่ยวข้องซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์นี้ (ดูรูปที่ 4) แทนที่จะเป็น "x 0" - การอ้างอิงแบบสัมพันธ์กับเซลล์ในคอลัมน์ X (ดูรูปที่ 5)
Y canonical(0) ของค่าที่ตรงกับค่าในเซลล์ Ylin(0) เมื่อขยายสูตรที่เขียนลงในเซลล์ Y ตามบัญญัติ (0) ค่าของ Y ตามบัญญัติ (i) ที่สอดคล้องกับจุดปมของต้นฉบับจะต้องตรงกันด้วย
ตาราง (ดูรูปที่ 5)
ข้าว. 5. ไดอะแกรมที่สร้างขึ้นโดยใช้ตารางการแก้ไขเชิงเส้นและแบบบัญญัติ
เมื่อเปรียบเทียบกราฟของฟังก์ชันที่สร้างจากตารางที่คำนวณโดยใช้สูตรการแก้ไขเชิงเส้นและแบบบัญญัติเราจะเห็นว่าในโหนดระดับกลางจำนวนหนึ่งมีการเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญของค่าที่ได้รับโดยใช้สูตรการแก้ไขเชิงเส้นและแบบบัญญัติ การตัดสินที่สมเหตุสมผลมากขึ้นเกี่ยวกับความถูกต้องของการแก้ไขสามารถขึ้นอยู่กับการได้รับ ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับธรรมชาติของกระบวนการจำลอง
นี่เป็นบทหนึ่งจากหนังสือของ Bill Jelen
ความท้าทาย: ปัญหาการออกแบบทางวิศวกรรมบางอย่างจำเป็นต้องใช้ตารางในการคำนวณค่าพารามิเตอร์ เนื่องจากตารางแยกจากกัน ผู้ออกแบบจึงใช้การประมาณค่าเชิงเส้นเพื่อให้ได้ค่าพารามิเตอร์ระดับกลาง ตาราง (รูปที่ 1) ประกอบด้วยความสูงเหนือพื้นดิน (พารามิเตอร์ควบคุม) และความเร็วลม (พารามิเตอร์ที่คำนวณได้) ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการค้นหาความเร็วลมที่สอดคล้องกับความสูง 47 เมตร คุณก็ควรใช้สูตร: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 เมตร/วินาที
ดาวน์โหลดบันทึกในรูปแบบหรือตัวอย่างในรูปแบบ
จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีพารามิเตอร์ควบคุมสองตัว? เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณโดยใช้สูตรเดียว? ตาราง (รูปที่ 2) แสดงค่าความดันลมสำหรับ ความสูงต่างๆและขยายขนาดของโครงสร้าง ต้องคำนวณความดันลมที่ความสูง 25 เมตร และระยะ 300 เมตร
วิธีแก้ไข: เราแก้ไขปัญหาโดยขยายวิธีการที่ใช้สำหรับเคสด้วยพารามิเตอร์ควบคุมตัวเดียว ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
เริ่มต้นด้วยตารางดังภาพ 2. เพิ่มเซลล์ต้นทางสำหรับความสูงและช่วงใน J1 และ J2 ตามลำดับ (รูปที่ 3)
ข้าว. 3. สูตรในเซลล์ J3:J17 อธิบายการทำงานของเมกะฟอร์มูล่า
เพื่อความสะดวกในการใช้สูตร ให้กำหนดชื่อ (รูปที่ 4)
ดูการทำงานของสูตรโดยการย้ายตามลำดับจากเซลล์ J3 ไปยังเซลล์ J17
ใช้การทดแทนตามลำดับแบบย้อนกลับเพื่อสร้างเมกะฟอร์มูลา คัดลอกข้อความสูตรจากเซลล์ J17 ถึง J19 แทนที่การอ้างอิงเป็น J15 ในสูตรด้วยค่าในเซลล์ J15: J7+(J8-J7)*J11/J13 และอื่นๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือสูตรที่ประกอบด้วยอักขระ 984 ตัว ซึ่งไม่สามารถรับรู้ในรูปแบบนี้ได้ สามารถดูได้ในไฟล์ Excel ที่แนบมานี้ ฉันไม่แน่ใจว่า megaformula ประเภทนี้มีประโยชน์ต่อการใช้งานหรือไม่
สรุป: การประมาณค่าเชิงเส้นใช้เพื่อรับค่าพารามิเตอร์ระดับกลางหากระบุค่าตารางสำหรับขอบเขตช่วงเท่านั้น มีการเสนอวิธีการคำนวณโดยใช้พารามิเตอร์ควบคุมสองตัว
