ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง นอกเหนือจากสูตรรากแล้ว ยังมีความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกด้วย ทฤษฎีบทของเวียตตา. ในบทความนี้ เราจะอธิบายสูตรและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเวียตนามสำหรับสมการกำลังสอง ต่อไปเราจะพิจารณาทฤษฎีบทที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทของเวียตนาม หลังจากนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปที่สุด สุดท้ายนี้ เราเขียนสูตรเวียตต้าที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างรากที่แท้จริง สมการพีชคณิตองศา n และสัมประสิทธิ์ของมัน

การนำทางหน้า

ทฤษฎีบท สูตร การพิสูจน์ของเวียตตา

จากสูตรรากของสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 ของรูปแบบ โดยที่ D=b 2 −4·a·c ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเป็นดังนี้: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการยืนยันแล้ว ทฤษฎีบทของเวียตตา:

ทฤษฎีบท.

ถ้า x 1 และ x 2 คือรากของสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ b และ a โดยพิจารณาจากเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของ รากเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ c และ a นั่นคือ .

การพิสูจน์.

เราจะทำการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Vieta ตามรูปแบบต่อไปนี้: เราเขียนผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากที่รู้จัก จากนั้นแปลงนิพจน์ผลลัพธ์และตรวจสอบให้แน่ใจว่าพวกมันเท่ากับ −b/ a และ c/a ตามลำดับ

เริ่มจากผลรวมของรากแล้วประกอบกัน ตอนนี้เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้ว เราได้ ในตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์ หลังจากนั้น:. ในที่สุด หลังจากวันที่ 2 เราก็ได้ สิ่งนี้พิสูจน์ความสัมพันธ์แรกของทฤษฎีบทของเวียตากับผลรวมของรากของสมการกำลังสอง มาดูวินาทีกันต่อ

เราเขียนผลคูณของรากของสมการกำลังสอง: . ตามกฎของการคูณเศษส่วน ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนได้เป็น ตอนนี้เราคูณวงเล็บด้วยวงเล็บในตัวเศษ แต่จะเร็วกว่าที่จะยุบผลคูณนี้ สูตรผลต่างกำลังสอง, ดังนั้น . จากนั้นให้จำไว้ว่าเราทำการเปลี่ยนแปลงครั้งถัดไป และเนื่องจากการแบ่งแยกสมการกำลังสองสอดคล้องกับสูตร D=b 2 −4·a·c ดังนั้น แทนที่จะเป็น D ในเศษส่วนสุดท้าย เราจึงสามารถแทนที่ b 2 −4·a·c ได้ เราก็ได้ หลังจากเปิดวงเล็บและนำพจน์ที่คล้ายกันมา เราก็มาถึงเศษส่วน และการลดลง 4·a ให้ นี่เป็นการพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่สองของทฤษฎีบทของเวียตากับผลคูณของราก

หากเราไม่อธิบายคำอธิบาย การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Vieta จะอยู่ในรูปแบบที่กระชับ:
,
.

เหลือเพียงข้อสังเกตว่าหากการแบ่งแยกมีค่าเท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะมีรากเดียว อย่างไรก็ตาม ถ้าเราสมมุติว่าสมการในกรณีนี้มีรากที่เหมือนกันสองราก ความเท่าเทียมกันจากทฤษฎีบทของเวียตต้าก็ยังคงอยู่เช่นกัน โดยแท้แล้ว เมื่อ D=0 รากของสมการกำลังสองเท่ากับ , แล้ว และ และเนื่องจาก D=0 นั่นคือ b 2 −4·a·c=0 โดยที่ b 2 =4·a·c แล้ว .

ในทางปฏิบัติ ทฤษฎีบทของเวียตามักใช้สัมพันธ์กับสมการกำลังสองรีดิวซ์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์นำเท่ากับ 1) ในรูปแบบ x 2 +p·x+q=0 บางครั้งมันถูกสร้างมาสำหรับสมการกำลังสองประเภทนี้เท่านั้น ซึ่งไม่ได้จำกัดความเป็นทั่วไป เนื่องจากสมการกำลังสองใดๆ สามารถถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่าได้โดยการหารทั้งสองข้างด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้เราให้สูตรที่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทของ Vieta:

ทฤษฎีบท.

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง x 2 +p x+q=0 เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ นั่นคือ x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q

ทฤษฎีบทสนทนากับทฤษฎีบทของเวียตตา

สูตรที่สองของทฤษฎีบทของเวียตาที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ระบุว่าถ้า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองที่ลดลง x 2 +p x+q=0 แล้วความสัมพันธ์ x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =คิว ในทางกลับกัน จากความสัมพันธ์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q จะได้ว่า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสอง x 2 +p x+q=0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทของเวียตต้ากลับกลายเป็นความจริง ลองกำหนดมันในรูปแบบของทฤษฎีบทและพิสูจน์มัน

ทฤษฎีบท.

หากตัวเลข x 1 และ x 2 มีค่าเท่ากับ x 1 +x 2 =−p และ x 1 · x 2 =q แล้ว x 1 และ x 2 จะเป็นรากของสมการกำลังสองลดลง x 2 +p · x+q =0.

การพิสูจน์.

หลังจากแทนที่สัมประสิทธิ์ p และ q ในสมการ x 2 +p·x+q=0 ด้วยนิพจน์จนถึง x 1 และ x 2 ก็จะถูกแปลงเป็นสมการที่เทียบเท่ากัน

ให้เราแทนตัวเลข x 1 แทน x ลงในสมการผลลัพธ์ และเราจะมีความเท่าเทียมกัน x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0ซึ่งสำหรับ x 1 และ x 2 ใดๆ แสดงถึงความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 0=0 เนื่องจาก x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. ดังนั้น x 1 คือรากของสมการ x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0ซึ่งหมายความว่า x 1 คือรากของสมการที่เทียบเท่า x 2 +p·x+q=0

ถ้าอยู่ในสมการ x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0แทนที่ตัวเลข x 2 แทน x เราจะได้ความเท่าเทียมกัน x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. นี่คือความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเนื่องจาก x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. ดังนั้น x 2 จึงเป็นรากของสมการด้วย x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0และดังนั้นสมการ x 2 +p·x+q=0

นี่เป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทของ Vieta อย่างสมบูรณ์

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ถึงเวลาที่จะพูดถึงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้าและทฤษฎีบทสนทนาของมันในทางปฏิบัติแล้ว ในส่วนนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปหลายประการ

เริ่มต้นด้วยการนำทฤษฎีบทไปประยุกต์ใช้กับทฤษฎีบทของเวียตนาม สะดวกในการใช้ตรวจสอบว่าตัวเลขสองตัวที่ให้มาเป็นรากของสมการกำลังสองที่กำหนดหรือไม่ ในกรณีนี้ จะมีการคำนวณผลรวมและผลต่าง หลังจากนั้นตรวจสอบความถูกต้องของความสัมพันธ์ หากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เป็นที่พอใจ ดังนั้นโดยอาศัยทฤษฎีบทจะแปรผันกับทฤษฎีบทของเวียตา ก็จะสรุปได้ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการ หากความสัมพันธ์อย่างน้อยหนึ่งความสัมพันธ์ไม่เป็นที่พอใจ ตัวเลขเหล่านี้ก็ไม่ใช่รากของสมการกำลังสอง วิธีการนี้สามารถใช้ในการแก้สมการกำลังสองเพื่อตรวจสอบรากที่พบ

ตัวอย่าง.

คู่ของตัวเลขใดคือ 1) x 1 =−5, x 2 =3 หรือ 2) หรือ 3) เป็นคู่รากของสมการกำลังสอง 4 x 2 −16 x+9=0?

สารละลาย.

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองที่กำหนด 4 x 2 −16 x+9=0 คือ a=4, b=−16, c=9 ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองควรเท่ากับ −b/a นั่นคือ 16/4=4 และผลคูณของรากควรเท่ากับ c/a นั่นคือ 9 /4.

ทีนี้ลองคำนวณผลรวมและผลคูณของตัวเลขในแต่ละคู่ที่กำหนดทั้งสามคู่แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่เราเพิ่งได้รับ

ในกรณีแรก เรามี x 1 +x 2 =−5+3=−2 ค่าผลลัพธ์จะแตกต่างจาก 4 ดังนั้นจึงไม่สามารถตรวจสอบได้อีก แต่การใช้ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าตัวเลขคู่แรกไม่ใช่คู่รากของสมการกำลังสองที่กำหนด

มาดูกรณีที่สองกันดีกว่า นั่นคือตรงตามเงื่อนไขแรก เราตรวจสอบเงื่อนไขที่สอง: ค่าผลลัพธ์จะแตกต่างจาก 9/4 ดังนั้น ตัวเลขคู่ที่สองจึงไม่ใช่คู่รากของสมการกำลังสอง

เหลืออีกหนึ่งคดีสุดท้าย ที่นี่และ. เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสอง ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้ x 1 และ x 2 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองที่กำหนด

คำตอบ:

การกลับกันของทฤษฎีบทของเวียตาสามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติเพื่อค้นหารากของสมการกำลังสองได้ โดยปกติแล้ว รากจำนวนเต็มของสมการกำลังสองที่กำหนดที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจะถูกเลือก เนื่องจากในกรณีอื่นๆ การดำเนินการนี้ค่อนข้างยาก ในกรณีนี้ พวกเขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าหากผลรวมของตัวเลขสองตัวเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการกำลังสองโดยคำนึงถึงเครื่องหมายลบ และผลคูณของตัวเลขเหล่านี้เท่ากับเทอมอิสระ ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น รากของสมการกำลังสองนี้ มาทำความเข้าใจเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

ลองใช้สมการกำลังสอง x 2 −5 x+6=0 กัน เพื่อให้ตัวเลข x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการนี้ ต้องมีความเท่าเทียมกันสองประการ: x 1 + x 2 =5 และ x 1 · x 2 =6 สิ่งที่เหลืออยู่คือการเลือกหมายเลขดังกล่าว ในกรณีนี้ ทำได้ค่อนข้างง่าย: ตัวเลขดังกล่าวคือ 2 และ 3 เนื่องจาก 2+3=5 และ 2·3=6 ดังนั้น 2 และ 3 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองนี้

ทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตาสะดวกเป็นพิเศษในการใช้หารากที่สองของสมการกำลังสองที่กำหนด โดยที่รากใดรากหนึ่งเป็นที่รู้จักหรือชัดเจนอยู่แล้ว ในกรณีนี้ สามารถหารากที่สองได้จากความสัมพันธ์ใดๆ

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 512 x 2 −509 x −3=0 ตรงนี้จะเห็นว่าความสามัคคีคือรากของสมการ เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองนี้เท่ากับศูนย์ ดังนั้น x 1 = 1 รากที่สอง x 2 สามารถหาได้ เช่น จากความสัมพันธ์ x 1 ·x 2 =c/a เรามี 1 x 2 =−3/512 โดยที่ x 2 =−3/512 นี่คือวิธีที่เราหารากทั้งสองของสมการกำลังสอง: 1 และ −3/512

เป็นที่ชัดเจนว่าแนะนำให้เลือกรากเฉพาะในกรณีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น ในกรณีอื่นๆ หากต้องการหาราก คุณสามารถใช้สูตรหารากของสมการกำลังสองผ่านการแยกแยะได้

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ในทางปฏิบัติอีกประการหนึ่งคือการสร้างสมการกำลังสองโดยให้ราก x 1 และ x 2 ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะคำนวณผลรวมของรากซึ่งให้ค่าสัมประสิทธิ์ของ x ที่มีเครื่องหมายตรงข้ามของสมการกำลังสองที่กำหนด และผลิตภัณฑ์ของรากซึ่งให้เทอมอิสระ

ตัวอย่าง.

เขียนสมการกำลังสองที่มีรากเป็น −11 และ 23

สารละลาย.

ลองแสดงว่า x 1 =−11 และ x 2 =23 เราคำนวณผลรวมและผลคูณของตัวเลขเหล่านี้: x 1 +x 2 =12 และ x 1 ·x 2 =−253 ดังนั้น ตัวเลขที่ระบุคือรากของสมการกำลังสองลดขนาดโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สองเป็น −12 และเทอมอิสระเป็น −253 นั่นคือ x 2 −12·x−253=0 คือสมการที่ต้องการ

คำตอบ:

x 2 −12·x−253=0 .

ทฤษฎีบทของเวียตามักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของเวียตาเกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสองลดลง x 2 +p·x+q=0 อย่างไร ต่อไปนี้เป็นข้อความที่เกี่ยวข้องสองข้อความ:

• ถ้าจุดตัดแกน q เป็นจำนวนบวก และถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง แสดงว่าทั้งสองค่าเป็นบวกหรือเป็นลบทั้งคู่
• ถ้าพจน์อิสระ q เป็นจำนวนลบ และถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง เครื่องหมายของมันจะต่างกัน กล่าวคือ รากหนึ่งเป็นบวกและอีกรากเป็นลบ

ข้อความเหล่านี้เป็นไปตามสูตร x 1 · x 2 =q รวมถึงกฎสำหรับการคูณจำนวนบวก ลบ และจำนวนที่มีเครื่องหมายต่างกัน ลองดูตัวอย่างการใช้งานของพวกเขา

ตัวอย่าง.

R มันเป็นค่าบวก เมื่อใช้สูตรจำแนกเราจะพบ D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 ซึ่งเป็นค่าของนิพจน์ r 2 +8 เป็นบวกสำหรับ r จริงใดๆ ดังนั้น D>0 สำหรับ r จริงใดๆ ดังนั้นสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงมีรากสองตัวสำหรับค่าจริงของพารามิเตอร์ r

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเมื่อใดที่รากมีอาการต่างกัน หากสัญญาณของรากแตกต่างกัน ผลคูณของรากจะเป็นลบ และตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลคูณของรากของสมการกำลังสองที่ลดลงจะเท่ากับเทอมอิสระ ดังนั้นเราจึงสนใจค่าของ r ซึ่งพจน์อิสระ r−1 เป็นลบ ดังนั้นเราจึงต้องการหาค่าของ r ที่เราสนใจ แก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นร−1<0 , откуда находим r<1 .

คำตอบ:

ที่ร<1 .

สูตรเวียตต้า

ข้างต้น เราได้พูดคุยเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Vieta สำหรับสมการกำลังสองและวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่ทฤษฎีบทนั้นยืนยัน แต่มีสูตรที่เชื่อมโยงรากจริงและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการลูกบาศก์ สมการระดับที่สี่ และโดยทั่วไป สมการพีชคณิตองศา n พวกเขาถูกเรียกว่า สูตรของเวียตต้า.

ให้เราเขียนสูตร Vieta สำหรับสมการพีชคณิตของดีกรี n ของรูปแบบ และเราจะถือว่ามันมี n รากที่แท้จริง x 1, x 2, ..., x n (ในนั้นอาจมีรากที่ตรงกัน):

สามารถรับสูตรของ Vieta ได้ ทฤษฎีบทว่าด้วยการสลายตัวของพหุนามให้เป็นปัจจัยเชิงเส้นเช่นเดียวกับคำจำกัดความของพหุนามที่เท่ากันผ่านความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันทั้งหมด ดังนั้นพหุนามและการขยายตัวเป็นตัวประกอบเชิงเส้นของรูปแบบจึงเท่ากัน เมื่อเปิดวงเล็บในผลิตภัณฑ์สุดท้ายและเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน เราจะได้สูตรของ Vieta

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ n=2 เรามีสูตรเวียตนามที่คุ้นเคยอยู่แล้วสำหรับสมการกำลังสอง

สำหรับสมการลูกบาศก์ สูตรของ Vieta จะมีรูปแบบ

เหลือเพียงการสังเกตว่าทางด้านซ้ายของสูตรของ Vieta มีสิ่งที่เรียกว่าระดับประถมศึกษา พหุนามสมมาตร.

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ย. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2553.- 368 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-022771-1.

ทฤษฎีบทของเวียตา (หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือ ทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา) ช่วยให้คุณลดเวลาในการแก้สมการกำลังสองได้ คุณเพียงแค่ต้องรู้วิธีการใช้งาน วิธีการเรียนรู้การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ไม่ใช่เรื่องยากหากคิดสักนิด

ตอนนี้เราจะพูดถึงเฉพาะเรื่องการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น สมการกำลังสองที่ลดลงคือสมการที่ a ซึ่งก็คือสัมประสิทธิ์ของ x² เท่ากับ 1 นอกจากนี้ยังสามารถแก้สมการกำลังสองที่ไม่ได้กำหนดไว้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาได้ แต่รากอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่ใช่จำนวนเต็ม คาดเดาได้ยากกว่า

ทฤษฎีบทผกผันของทฤษฎีบทของเวียตาระบุว่า: หากตัวเลข x1 และ x2 เป็นเช่นนั้น

จากนั้น x1 และ x2 คือรากของสมการกำลังสอง

เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม มีเพียง 4 ตัวเลือกเท่านั้นที่สามารถทำได้ หากคุณจำแนวการให้เหตุผลได้ คุณสามารถเรียนรู้ที่จะค้นหารากทั้งหมดได้อย่างรวดเร็ว

I. ถ้า q เป็นจำนวนบวก

ซึ่งหมายความว่าราก x1 และ x2 เป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกัน (เนื่องจากการคูณตัวเลขด้วยเครื่องหมายเดียวกันเท่านั้นจึงจะสร้างจำนวนบวก)

ไอเอ ถ้า -p เป็นจำนวนบวก (ตามลำดับ หน้า<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

ฉันข ถ้า -p เป็นจำนวนลบ (ตามลำดับ p>0) จากนั้นรากทั้งสองเป็นจำนวนลบ (เราบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันแล้วได้จำนวนลบ)

ครั้งที่สอง ถ้า q เป็นจำนวนลบ

ซึ่งหมายความว่าราก x1 และ x2 มีเครื่องหมายต่างกัน (เมื่อคูณตัวเลข จะได้จำนวนลบเฉพาะเมื่อสัญญาณของปัจจัยต่างกัน) ในกรณีนี้ x1 + x2 ไม่ใช่ผลรวมอีกต่อไป แต่มีความแตกต่าง (ท้ายที่สุด เมื่อบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราจะลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า) ดังนั้น x1+x2 แสดงว่าราก x1 และ x2 แตกต่างกันมากน้อยเพียงใด นั่นคือ รากหนึ่งมากกว่าอีกรากเท่าใด (ในค่าสัมบูรณ์)

II.ก. ถ้า -p เป็นจำนวนบวก (นั่นคือหน้า<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.ข. ถ้า -p เป็นจำนวนลบ (p>0) ดังนั้นรากที่ใหญ่กว่า (โมดูโล) จะเป็นจำนวนลบ

ลองพิจารณาแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta โดยใช้ตัวอย่าง

แก้สมการกำลังสองที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ในที่นี้ q=12>0 ดังนั้นราก x1 และ x2 จึงเป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกัน ผลรวมของพวกเขาคือ -p=7>0 ดังนั้นรากทั้งสองจึงเป็นจำนวนบวก เราเลือกจำนวนเต็มซึ่งมีผลคูณเท่ากับ 12 ได้แก่ 1 และ 12, 2 และ 6, 3 และ 4 ผลรวมคือ 7 สำหรับคู่ที่ 3 และ 4 ซึ่งหมายความว่า 3 และ 4 เป็นรากของสมการ

ในตัวอย่างนี้ q=16>0 ซึ่งหมายความว่าราก x1 และ x2 เป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกัน ผลรวมของพวกเขาคือ -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

ที่นี่ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 แล้วจำนวนที่มากกว่าจะเป็นค่าบวก รากคือ 5 กับ -3

ค=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

ในทางคณิตศาสตร์ มีเทคนิคพิเศษที่สามารถแก้สมการกำลังสองหลายตัวได้อย่างรวดเร็วและไม่มีการแยกแยะใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยการฝึกอบรมที่เหมาะสม หลายคนเริ่มแก้สมการกำลังสองด้วยวาจา หรือ “ตั้งแต่แรกเห็น” อย่างแท้จริง

น่าเสียดายที่ในหลักสูตรคณิตศาสตร์สมัยใหม่ของโรงเรียนแทบจะไม่มีการศึกษาเทคโนโลยีดังกล่าวเลย แต่คุณต้องรู้! และวันนี้เราจะดูหนึ่งในเทคนิคเหล่านี้ - ทฤษฎีบทของ Vieta ก่อนอื่น เรามาแนะนำคำจำกัดความใหม่กันก่อน

สมการกำลังสองที่มีรูปแบบ x 2 + bx + c = 0 เรียกว่าการลดลง โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x 2 คือ 1 ไม่มีข้อจำกัดอื่นๆ เกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์

1. x 2 + 7x + 12 = 0 คือสมการกำลังสองรีดิวซ์
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - ลดลงด้วย
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - แต่ไม่ได้ให้ไว้เลย เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 2

แน่นอนว่าสมการกำลังสองใดๆ ในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 สามารถลดลงได้ เพียงแค่หารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยตัวเลข a เราสามารถทำได้เสมอ เนื่องจากนิยามของสมการกำลังสองบอกเป็นนัยว่า ≠ 0

จริงอยู่ที่การแปลงเหล่านี้ไม่ได้มีประโยชน์ในการค้นหารากเสมอไป ด้านล่างเราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าควรทำเมื่อในสมการสุดท้ายที่กำหนดโดยกำลังสองเท่านั้น สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ในตอนนี้ มาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุด:

งาน. แปลงสมการกำลังสองเป็นสมการที่ลดลง:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0

ลองหารแต่ละสมการด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x 2 เราได้รับ:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - หารทุกอย่างด้วย 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - หารด้วย −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - หารด้วย 1.5 ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะกลายเป็นจำนวนเต็ม
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - หารด้วย 2 ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์เศษส่วนจะปรากฏขึ้น

อย่างที่คุณเห็น สมการกำลังสองข้างต้นสามารถมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ แม้ว่าสมการดั้งเดิมจะมีเศษส่วนก็ตาม

ตอนนี้ให้เรากำหนดทฤษฎีบทหลักซึ่งในความเป็นจริงแล้วแนวคิดของสมการกำลังสองลดลง:

ทฤษฎีบทของเวียตตา พิจารณาสมการกำลังสองลดลงในรูปแบบ x 2 + bx + c = 0 สมมติว่าสมการนี้มีรากจริง x 1 และ x 2 ในกรณีนี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

1. x 1 + x 2 = −b กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่กำหนดจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ซึ่งใช้เครื่องหมายตรงกันข้าม
2. x 1 x 2 = ค ผลคูณของรากของสมการกำลังสองเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์อิสระ

ตัวอย่าง. เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาเฉพาะสมการกำลังสองข้างต้นที่ไม่ต้องการการแปลงเพิ่มเติม:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ราก: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; ราก: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; ราก: x 1 = −1; x 2 = −4

ทฤษฎีบทของเวียตาให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรากของสมการกำลังสอง เมื่อมองแวบแรก สิ่งนี้อาจดูยาก แต่ถึงแม้จะมีการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะได้เรียนรู้ที่จะ "มองเห็น" รากและเดาได้อย่างแท้จริงในเวลาไม่กี่วินาที

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์โดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta และ "เดา" ราก:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 คือสมการกำลังสองลดรูป
   ตามทฤษฎีบทของเวียตต้า เรามี: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14 จะเห็นว่ารากคือตัวเลข 2 และ 7 ได้ง่าย
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - ลดลงด้วย
   ตามทฤษฎีบทของเวียตา: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27 ดังนั้น ราก: 3 และ 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - สมการนี้ไม่ลดลง แต่เราจะแก้ไขตอนนี้ด้วยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ a = 3 เราได้: x 2 + 11x + 10 = 0
   เราแก้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ราก: −10 และ −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - อีกครั้งสัมประสิทธิ์สำหรับ x 2 ไม่เท่ากับ 1 นั่นคือ ไม่ได้ให้สมการ เราหารทุกอย่างด้วยตัวเลข a = −7 เราได้: x 2 − 11x + 30 = 0
   ตามทฤษฎีบทของเวียตา: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; จากสมการเหล่านี้ มันง่ายที่จะเดาราก: 5 และ 6

จากเหตุผลข้างต้น เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีบทของเวียตาทำให้การแก้สมการกำลังสองง่ายขึ้นอย่างไร ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อน ไม่มีรากและเศษส่วนทางคณิตศาสตร์ และเราไม่จำเป็นต้องแยกแยะด้วยซ้ำ (ดูบทเรียน “การแก้สมการกำลังสอง”)

แน่นอนว่าในการไตร่ตรองทั้งหมดของเรา เราได้ดำเนินการจากสมมติฐานที่สำคัญสองข้อ ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว มักไม่ได้พบในปัญหาที่แท้จริงเสมอไป:

1. สมการกำลังสองลดลงเช่น ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x 2 คือ 1;
2. สมการนี้มีรากที่แตกต่างกันสองอัน จากมุมมองพีชคณิต ในกรณีนี้ การแบ่งแยกคือ D > 0 จริงๆ แล้ว ในตอนแรกเราถือว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นจริง

อย่างไรก็ตาม ในปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั่วไปจะเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้ หากการคำนวณส่งผลให้สมการกำลังสอง "ไม่ดี" (ค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 แตกต่างจาก 1) สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดาย - ดูตัวอย่างที่ตอนเริ่มต้นของบทเรียน โดยทั่วไปฉันเงียบเกี่ยวกับราก: ปัญหานี้คืออะไรที่ไม่มีคำตอบ? แน่นอนว่าจะต้องมีราก

ดังนั้น รูปแบบทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาจึงเป็นดังนี้:

1. ลดสมการกำลังสองให้เป็นค่าที่กำหนด หากยังไม่ได้ทำในคำสั่งปัญหา
2. ถ้าสัมประสิทธิ์ในสมการกำลังสองข้างต้นเป็นเศษส่วน เราจะแก้โดยใช้ตัวแยกแยะ คุณสามารถกลับไปใช้สมการเดิมเพื่อทำงานกับตัวเลขที่ "สะดวก" มากขึ้นได้
3. ในกรณีของสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เราจะแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม
4. หากคุณไม่สามารถเดารากได้ภายในไม่กี่วินาที ให้ลืมทฤษฎีบทของ Vieta แล้วแก้โจทย์โดยใช้การแบ่งแยก

งาน. แก้สมการ: 5x 2 − 35x + 50 = 0

เรามีสมการที่ไม่ลดลงตรงหน้าเราเพราะว่า สัมประสิทธิ์ a = 5 หารทุกอย่างด้วย 5 เราจะได้: x 2 − 7x + 10 = 0

สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการกำลังสองเป็นจำนวนเต็ม เรามาลองแก้มันโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียต้ากันดีกว่า เรามี: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10 ในกรณีนี้ รากนั้นง่ายต่อการเดา คือ 2 และ 5 ไม่จำเป็นต้องนับโดยใช้การแบ่งแยก

งาน. แก้สมการ: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0

มาดูกัน: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - สมการนี้ไม่ลดลง ลองหารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ a = −5 กัน เราได้: x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - สมการที่มีสัมประสิทธิ์เศษส่วน

กลับไปที่สมการเดิมดีกว่าและนับผ่านการจำแนก: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4

งาน. แก้สมการ: 2x 2 + 10x − 600 = 0

ก่อนอื่น ลองหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ a = 2 เราจะได้สมการ x 2 + 5x − 300 = 0

นี่คือสมการรีดิวซ์ตามทฤษฎีบทของเวียตต้าที่เรามี: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300 ในกรณีนี้เป็นการยากที่จะเดารากของสมการกำลังสอง - โดยส่วนตัวแล้วฉันติดอยู่อย่างมากเมื่อแก้ไขปัญหานี้

คุณจะต้องมองหารากผ่านการแบ่งแยก: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 หากคุณจำรากของการแบ่งแยกไม่ได้ ฉันจะสังเกตว่า 1225: 25 = 49 ดังนั้น 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2

ตอนนี้เมื่อทราบรากของการแบ่งแยกแล้ว การแก้สมการก็ไม่ใช่เรื่องยาก เราได้รับ: x 1 = 15; x 2 = −20

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 นักเรียนจะได้รู้จักกับสมการกำลังสองและวิธีแก้ปัญหา ในขณะเดียวกัน ตามที่ประสบการณ์แสดงให้เห็น นักเรียนส่วนใหญ่ใช้วิธีการเดียวเท่านั้นในการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ - สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง สำหรับนักเรียนที่มีทักษะการคิดเลขในใจที่ดี วิธีนี้จะไม่มีเหตุผลอย่างเห็นได้ชัด นักเรียนมักจะต้องแก้สมการกำลังสองแม้ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย และน่าเสียดายที่จะใช้เวลาในการคำนวณการเลือกปฏิบัติ ในความคิดของฉันเมื่อศึกษาสมการกำลังสองควรให้เวลาและความสนใจมากขึ้นในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta (ตามโปรแกรม A.G. Mordkovich Algebra-8 มีการวางแผนเพียงสองชั่วโมงสำหรับการศึกษาหัวข้อ "ทฤษฎีบทของ Vieta การสลายตัวของกำลังสอง ตรีโกณมิติเป็นปัจจัยเชิงเส้น”)

ในตำราพีชคณิตส่วนใหญ่ ทฤษฎีบทนี้จัดทำขึ้นสำหรับสมการกำลังสองรีดิวซ์และระบุไว้ว่า ถ้าสมการมีรากและ แล้วความเท่าเทียมกัน , ก็เป็นที่พอใจสำหรับพวกมันจากนั้นจะมีการกำหนดข้อความที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทของ Vieta และมีการเสนอตัวอย่างจำนวนหนึ่งเพื่อฝึกฝนหัวข้อนี้

ลองยกตัวอย่างเฉพาะเจาะจงและติดตามตรรกะของคำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ

สมมติว่าสมการนี้มีรากคือ และ จากนั้น ตามทฤษฎีบทของ Vieta ความเท่าเทียมกันจะต้องคงอยู่พร้อมกัน:

โปรดทราบว่าผลคูณของรากเป็นจำนวนบวก ซึ่งหมายความว่ารากของสมการนั้นมีเครื่องหมายเดียวกัน และเนื่องจากผลรวมของรากก็เป็นจำนวนบวกด้วย เราจึงสรุปได้ว่ารากทั้งสองของสมการเป็นบวก กลับมาที่ผลคูณของรากอีกครั้ง สมมติว่ารากของสมการเป็นจำนวนเต็มบวก จากนั้นความเท่าเทียมกันแรกที่ถูกต้องสามารถรับได้เพียงสองวิธีเท่านั้น (ขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย): หรือ . ให้เราตรวจสอบคู่ของตัวเลขที่เสนอถึงความเป็นไปได้ของประโยคที่สองของทฤษฎีบทของ Vieta: . ดังนั้น ตัวเลข 2 และ 3 จึงเป็นค่าที่เท่ากันทั้งคู่ ดังนั้นจึงเป็นรากของสมการที่กำหนด

คำตอบ: 2; 3.

ให้เราเน้นขั้นตอนหลักของการให้เหตุผลเมื่อแก้สมการกำลังสองข้างต้นโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

เขียนประโยคของทฤษฎีบทของเวียตาลงไป

(*)

• กำหนดสัญญาณของรากของสมการ (ถ้าผลคูณและผลรวมของรากเป็นบวก รากทั้งสองจะเป็นจำนวนบวก ถ้าผลคูณของรากเป็นจำนวนบวก และผลรวมของรากเป็นลบ แล้ว รากทั้งสองเป็นจำนวนลบ ถ้าผลคูณของรากเป็นจำนวนลบ รากก็จะมีเครื่องหมายต่างกัน ยิ่งกว่านั้น ถ้าผลรวมของรากเป็นบวก รากที่ใหญ่กว่าในโมดูลัสจะเป็นจำนวนบวก และถ้าผลรวม ของรากมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นรากที่ใหญ่กว่าในโมดูลัสจะเป็นจำนวนลบ)
• เลือกคู่ของจำนวนเต็มซึ่งมีผลิตภัณฑ์ให้ความเท่าเทียมกันแรกที่ถูกต้องในรูปแบบ (*)
• จากคู่ตัวเลขที่พบ ให้เลือกคู่ที่เมื่อแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันที่สองในรูปแบบ (*) จะให้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
• ระบุรากที่พบของสมการในคำตอบของคุณ

ลองยกตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 2: แก้สมการ .

สารละลาย.

อนุญาต และ เป็นรากของสมการที่กำหนด จากนั้น ตามทฤษฎีบทของเวียตา เราสังเกตว่าผลคูณเป็นบวก และผลรวมเป็นจำนวนลบ ซึ่งหมายความว่ารากทั้งสองเป็นจำนวนลบ เราเลือกคู่ปัจจัยที่ให้ผลคูณ 10 (-1 และ -10; -2 และ -5) ตัวเลขคู่ที่สองรวมกันได้ -7 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข -2 และ -5 เป็นรากของสมการนี้

คำตอบ: -2; -5.

ตัวอย่างที่ 3: แก้สมการ .

สารละลาย.

อนุญาต และ เป็นรากของสมการที่กำหนด จากนั้น ตามทฤษฎีบทของเวียตา เราสังเกตว่าผลคูณเป็นลบ ซึ่งหมายความว่ารากมีลักษณะต่างกัน ผลรวมของรากก็เป็นจำนวนลบเช่นกัน ซึ่งหมายความว่ารากที่มีโมดูลัสมากที่สุดจะเป็นลบ เราเลือกคู่ของปัจจัยที่ให้ผลคูณ -10 (1 และ -10; 2 และ -5) ตัวเลขคู่ที่สองรวมกันได้ -3 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 2 และ -5 เป็นรากของสมการนี้

คำตอบ: 2; -5.

โปรดทราบว่าโดยหลักการแล้วทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถกำหนดสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้: ถ้าเป็นสมการกำลังสอง มีรากและ จากนั้นความเท่าเทียมกัน , , ก็พอใจสำหรับพวกเขาอย่างไรก็ตาม การประยุกต์ทฤษฎีบทนี้ค่อนข้างเป็นปัญหา เนื่องจากในสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ รากอย่างน้อยหนึ่งราก (ถ้ามี) ต้องเป็นจำนวนเศษส่วน และการทำงานกับการเลือกเศษส่วนนั้นยาวนานและยาก แต่ยังมีทางออกอยู่

พิจารณาสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ . คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยสัมประสิทธิ์แรก กและเขียนสมการในรูป . ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่และรับสมการกำลังสองลดลง ซึ่งสามารถหารากของสมการนี้และ (ถ้ามี) ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา จากนั้นรากของสมการเดิมจะเป็น โปรดทราบว่ามันง่ายมากที่จะสร้างสมการรีดิวซ์เสริม: ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองยังคงอยู่ และค่าสัมประสิทธิ์ที่สามเท่ากับผลคูณ เครื่องปรับอากาศ. ด้วยทักษะเฉพาะ นักเรียนสามารถสร้างสมการเสริมได้ทันที ค้นหารากของมันโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta และระบุรากของสมการที่สมบูรณ์ที่ให้มา ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4: แก้สมการ .

มาสร้างสมการเสริมกันดีกว่า และเมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา เราจะพบรากของมัน ซึ่งหมายความว่ารากของสมการเดิม .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 5: แก้สมการ .

สมการเสริมมีรูปแบบ ตามทฤษฎีบทของเวียตา รากของมันคือ การหารากของสมการดั้งเดิม .

คำตอบ: .

และอีกกรณีหนึ่งเมื่อการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ช่วยให้คุณสามารถค้นหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้ด้วยวาจา ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่า หมายเลข 1 คือรากของสมการ ถ้าและหากเท่านั้น. รากที่สองของสมการพบโดยทฤษฎีบทของเวียตา และมีค่าเท่ากับ อีกหนึ่งคำสั่ง: เพื่อให้เลข –1 เป็นรากของสมการ จำเป็นและเพียงพอต่อการ. จากนั้นรากที่สองของสมการตามทฤษฎีบทของเวียตนามจะเท่ากับ ข้อความที่คล้ายกันสามารถกำหนดสมการกำลังสองลดขนาดได้

ตัวอย่างที่ 6: แก้สมการ

โปรดทราบว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการคือศูนย์ ดังนั้นรากของสมการ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 7 แก้สมการ

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการนี้เป็นไปตามคุณสมบัติ (แท้จริงแล้ว 1-(-999)+(-1000)=0) ดังนั้นรากของสมการ .

คำตอบ: ..

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

ภารกิจที่ 1. แก้สมการกำลังสองที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

ภารกิจที่ 2. แก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์โดยส่งผ่านไปยังสมการกำลังสองลดรูปเสริม

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

ภารกิจที่ 3. แก้สมการกำลังสองโดยใช้คุณสมบัติ

ทฤษฎีบทของเวียตามักใช้เพื่อตรวจสอบรากที่พบแล้ว หากคุณพบรากแล้ว คุณสามารถใช้สูตร \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) เพื่อคำนวณค่าของ \(p \) และ \(q\ ) และหากปรากฏว่าเหมือนกันในสมการดั้งเดิมแสดงว่ารากนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น ให้เราใช้ แก้สมการ \(x^2+x-56=0\) แล้วหาค่าราก: \(x_1=7\), \(x_2=-8\) มาตรวจสอบว่าเราทำผิดพลาดในกระบวนการแก้ไขปัญหาหรือไม่ ในกรณีของเรา \(p=1\) และ \(q=-56\) ตามทฤษฎีบทของ Vieta เรามี:

\(\begin(กรณี)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(กรณี)\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\begin(กรณี)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(กรณี)\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\begin(กรณี)-1=-1\\-56=-56\end(กรณี)\ )

ข้อความทั้งสองมาบรรจบกัน ซึ่งหมายความว่าเราแก้สมการได้อย่างถูกต้อง

การตรวจสอบนี้สามารถทำได้ด้วยวาจา จะใช้เวลา 5 วินาทีและจะช่วยคุณจากความผิดพลาดโง่ๆ

ทฤษฎีบทสนทนาของเวียตตา

ถ้า \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) ดังนั้น \(x_1\) และ \(x_2\) เป็นรากของสมการกำลังสอง \ (x^ 2+px+q=0\)

หรือวิธีง่ายๆ: หากคุณมีสมการในรูปแบบ \(x^2+px+q=0\) ให้แก้ระบบ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) คุณจะพบรากของมัน

ด้วยทฤษฎีบทนี้ คุณสามารถค้นหารากของสมการกำลังสองได้อย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ารากเหล่านี้คือ ทักษะนี้มีความสำคัญเนื่องจากช่วยประหยัดเวลาได้มาก

ตัวอย่าง . แก้สมการ \(x^2-5x+6=0\)

สารละลาย : เมื่อใช้ทฤษฎีบทผกผันของเวียตา เราพบว่ารากเป็นไปตามเงื่อนไข: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\)
ดูสมการที่สองของระบบ \(x_1 \cdot x_2=6\) เลข \(6\) สามารถแยกย่อยได้เป็นเลขอะไร? บน \(2\) และ \(3\), \(6\) และ \(1\) หรือ \(-2\) และ \(-3\) และ \(-6\) และ \(- 1\) สมการแรกของระบบจะบอกคุณว่าควรเลือกคู่ไหน: \(x_1+x_2=5\) \(2\) และ \(3\) คล้ายกัน เนื่องจาก \(2+3=5\)
คำตอบ : \(x_1=2\), \(x_2=3\)

ตัวอย่าง . ใช้การกลับกันของทฤษฎีบทของเวียตนาม หารากของสมการกำลังสอง:
ก) \(x^2-15x+14=0\); ข) \(x^2+3x-4=0\); ค) \(x^2+9x+20=0\); ง) \(x^2-88x+780=0\)

สารละลาย :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) สลายตัวเป็นปัจจัยอะไร? \(2\) และ \(7\), \(-2\) และ \(-7\), \(-1\) และ \(-14\), \(1\) และ \(14\ ). คู่ตัวเลขใดรวมกันได้เท่ากับ \(15\)? คำตอบ: \(1\) และ \(14\)

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) สลายตัวเป็นปัจจัยอะไร? \(-2\) และ \(2\), \(4\) และ \(-1\), \(1\) และ \(-4\) ตัวเลขคู่ใดรวมกันได้เท่ากับ \(-3\)? คำตอบ: \(1\) และ \(-4\)

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) สลายตัวเป็นปัจจัยอะไร? \(4\) และ \(5\), \(-4\) และ \(-5\), \(2\) และ \(10\), \(-2\) และ \(-10\ ), \(-20\) และ \(-1\), \(20\) และ \(1\) ตัวเลขคู่ใดรวมกันได้เท่ากับ \(-9\)? คำตอบ: \(-4\) และ \(-5\)

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) สลายตัวเป็นปัจจัยอะไร? \(390\) และ \(2\) จะรวมกันได้เป็น \(88\) หรือไม่? เลขที่ \(780\) มีตัวคูณอะไรอีกบ้าง? \(78\) และ \(10\) จะรวมกันได้เป็น \(88\) หรือไม่? ใช่. คำตอบ: \(78\) และ \(10\)

ไม่จำเป็นต้องขยายพจน์สุดท้ายออกเป็นปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ดังตัวอย่างสุดท้าย) คุณสามารถตรวจสอบได้ทันทีว่าผลรวมให้ \(-p\) หรือไม่

สำคัญ!ทฤษฎีบทของเวียตาและทฤษฎีบทสนทนาใช้ได้เฉพาะกับ นั่นคือ ทฤษฎีบทหนึ่งซึ่งสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) เท่ากับหนึ่ง หากเราให้สมการแบบไม่ลดมาในตอนแรก เราก็สามารถทำให้มันลดลงได้โดยการหารด้วยสัมประสิทธิ์หน้า \(x^2\)

ตัวอย่างเช่นให้สมการ \(2x^2-4x-6=0\) ถูกกำหนดไว้ และเราต้องการใช้ทฤษฎีบทหนึ่งของเวียตนาม แต่เราทำไม่ได้ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ \(x^2\) เท่ากับ \(2\) กำจัดมันด้วยการหารสมการทั้งหมดด้วย \(2\)

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

พร้อม. ตอนนี้คุณสามารถใช้ทั้งสองทฤษฎีบทได้

คำตอบสำหรับคำถามที่พบบ่อย

คำถาม: เมื่อใช้ทฤษฎีบทของ Vieta คุณจะแก้ข้อใดข้อหนึ่งได้ ?
คำตอบ: น่าเสียดายที่ไม่มี ถ้าสมการไม่มีจำนวนเต็มหรือสมการไม่มีรากเลย ทฤษฎีบทของเวียตต้าก็ไม่ช่วยอะไร ในกรณีนี้คุณต้องใช้ เลือกปฏิบัติ . โชคดีที่ 80% ของสมการในคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม