วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการ

คำตอบของสมการคืออะไร?

การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน ขั้นพื้นฐาน

ประเภทของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

รากต่างประเทศ การสูญเสียราก

การแก้สมการ เป็นกระบวนการที่ประกอบด้วยการแทนที่สมการที่กำหนดด้วยสมการอื่นที่เทียบเท่ากับสมการนั้นเป็นหลัก - การทดแทนนี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน . การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์หลักมีดังนี้:

1.

การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น สมการ (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 สามารถแทนที่ได้ด้วยการเทียบเท่าต่อไปนี้:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

การถ่ายโอนเงื่อนไขของสมการจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งด้วยเครื่องหมายย้อนกลับ ดังนั้นในสมการก่อนหน้านี้ เราสามารถโอนพจน์ทั้งหมดจากด้านขวาไปด้านซ้ายโดยมีเครื่องหมาย "-" ได้: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 เอ็กซ์ – 10 = 0 หลังจากนั้นเราจะได้:9 x 2 – 3 เอ็กซ์ – 6 = 0 .

3.

การคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน (ตัวเลข) ที่ไม่ใช่ศูนย์ สิ่งนี้สำคัญมากเพราะว่าสมการใหม่อาจไม่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าหากนิพจน์ที่เรากำลังคูณหรือหารด้วยอาจเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง สมการเอ็กซ์ – 1 = 0 มีรากเดียวx= 1.

คูณทั้งสองข้างด้วยเอ็กซ์ – 3 เราจะได้สมการ

( เอ็กซ์ – 1)( เอ็กซ์ – 3) = 0 ซึ่งมีสองราก:x= 1 และx = 3.

ค่าสุดท้ายไม่ใช่รากของสมการที่กำหนด

เอ็กซ์ – 1 = 0 นี่คือสิ่งที่เรียกว่ารากภายนอก .

ในทางกลับกัน ความแตกแยกสามารถนำไปสู่การสูญเสียราก - ดังนั้น

ในกรณีของเรา ถ้า (เอ็กซ์ – 1 )( เอ็กซ์ – 3 ) = 0 คือค่าเดิม

สมการแล้วก็รากx= 3 จะหายไปในดิวิชั่น

ทั้งสองด้านของสมการเอ็กซ์ – 3 .

ในสมการสุดท้าย (ข้อ 2) เราสามารถหารพจน์ทั้งหมดด้วย 3 (ไม่ใช่ศูนย์!) และสุดท้ายก็ได้:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

สมการนี้เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

สามารถยกกำลังทั้งสองข้างของสมการให้เป็นกำลังคี่ หรือแยกรากคี่ออกจากทั้งสองข้างของสมการ - ต้องจำไว้ว่า:

ก) การก่อสร้างในแม้แต่ปริญญา อาจทำให้เกิดเพื่อการได้มาซึ่งรากต่างประเทศ ;

ข)ผิด การสกัดแม้แต่รูท สามารถนำไปสู่การสูญเสียราก .

ตัวอย่าง. สมการที่ 7x = 35 มีรากเดียวx = 5 .

โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการนี้ เราจะได้

สมการ:

49 x 2 = 1225 .

มีสองราก:x = 5 และx = – 5. ค่าสุดท้าย

เป็นรากที่อยู่ภายนอก

ไม่ถูกต้อง หารากที่สองของทั้งคู่

ส่วนของสมการที่ 49x 2 = 1225 ผลลัพธ์ใน 7x = 35,

และเรากำลังสูญเสียรากของเราx = – 5.

ถูกต้อง การหาผลลัพธ์ของสแควร์รูท

สมการ: | 7x | = 35, ก จึงมี 2 กรณี คือ

1) 7 x = 35, แล้วx = 5 ; 2) – 7 x = 35, แล้วx = – 5 .

ดังนั้นเมื่อถูกต้อง กำลังแยกสี่เหลี่ยม

รากเราจะไม่สูญเสียรากของสมการ

แปลว่าอะไรขวา แยกรากออกไหม? นี่คือที่ที่เราพบกัน

ด้วยแนวคิดที่สำคัญมากรากเลขคณิต

(ซม. ).

ในบทเรียนที่แล้ว เราใช้สามขั้นตอนในการแก้สมการ

ขั้นตอนแรกคือด้านเทคนิค ด้วยการใช้ห่วงโซ่ของการแปลงจากสมการดั้งเดิม เราก็มาถึงสมการที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งเราจะแก้และหาราก

ขั้นตอนที่สองคือการวิเคราะห์โซลูชัน เราวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงที่เราทำและค้นหาว่าการเปลี่ยนแปลงนั้นเทียบเท่ากันหรือไม่

ขั้นตอนที่สามคือการตรวจสอบ การตรวจสอบรากที่พบทั้งหมดโดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิมเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อทำการแปลงที่อาจนำไปสู่สมการที่พิสูจน์ได้

จำเป็นต้องแยกแยะสามขั้นตอนเสมอเมื่อแก้สมการหรือไม่?

ไม่แน่นอน เช่นในการแก้สมการนี้ ในชีวิตประจำวันมักไม่แยกแยะ แต่ขั้นตอนทั้งหมดเหล่านี้จำเป็นต้อง "คำนึงถึง" และดำเนินการในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง จำเป็นต้องวิเคราะห์ความเท่าเทียมกันของการแปลง และหากการวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องดำเนินการตรวจสอบ ก็ถือเป็นข้อบังคับ มิฉะนั้นจะไม่สามารถพิจารณาแก้สมการได้อย่างถูกต้อง

เป็นไปได้ไหมที่จะตรวจสอบรากของสมการด้วยการแทนที่เท่านั้น?

หากใช้การแปลงที่เท่ากันในการแก้สมการ ก็ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ เมื่อตรวจสอบรากของสมการ มักจะใช้ ODZ (ช่วงค่าที่อนุญาต) หากตรวจสอบโดยใช้ ODZ ได้ยาก ก็จะดำเนินการโดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม

แบบฝึกหัดที่ 1

แก้สมการรากที่สองของสอง x บวกสามเท่ากับหนึ่งบวก x

สารละลาย

ODZ ของสมการถูกกำหนดโดยระบบของอสมการสองตัว: สอง x บวกสามมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และหนึ่งบวก x มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ผลเฉลยคือ x มากกว่าหรือเท่ากับลบ 1

ลองยกกำลังสองข้างของสมการ ย้ายเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่ง เพิ่มเทอมที่คล้ายกัน แล้วได้สมการกำลังสอง x กำลังสองเท่ากับสอง รากของมันคือ

x อันแรก อันที่สอง เท่ากับบวกหรือลบสแควร์รูทของสอง

การตรวจสอบ

ค่าของ x ตัวแรกเท่ากับรากที่สองของสองคือรากของสมการ เนื่องจากค่าดังกล่าวรวมอยู่ใน ODZ
ค่าของ x วินาทีเท่ากับลบรากที่สองของสอง ไม่ใช่รากของสมการ เพราะ มันไม่รวมอยู่ใน DZ
ลองตรวจสอบว่ารูท x เท่ากับสแควร์รูทของ 2 แล้วแทนที่มันลงในความเท่าเทียมกันดั้งเดิม เราจะได้

ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า x เท่ากับรากที่สองของสองคือรากของสมการ

คำตอบ: รากที่สองของสอง

ภารกิจที่ 2

แก้สมการรากที่สองของ x ลบ 8 เท่ากับ 5 ลบ x

สารละลาย

ODZ ของสมการไม่ลงตัวถูกกำหนดโดยระบบของอสมการสองตัว: x ลบแปดมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และห้าลบ x มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เมื่อแก้ไขแล้วเราพบว่าระบบนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา รากของสมการไม่สามารถเป็นค่าใดๆ ของตัวแปร x ได้

คำตอบ: ไม่มีราก

ภารกิจที่ 3

แก้สมการรากที่สองของ x กำลังสาม บวก 4 x ลบ 1 ลบ 8 รากที่สองของ x กำลังสี่ ลบ x เท่ากับรากที่สองของ x กำลังสาม ลบ 1 บวก 2 รากที่สองของ x

สารละลาย

การค้นหา ODZ ในสมการนี้ค่อนข้างยาก

เรามาทำการแปลงกัน: ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการนี้

ลองย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายของสมการแล้วนำพจน์ที่เหมือนกัน เขียนรากสองตัวไว้ใต้รากเดียว ได้รากที่คล้ายกัน นำรากที่เหมือนกัน หารด้วยสัมประสิทธิ์ลบ 12 และแยกตัวประกอบนิพจน์ราก เราจะได้สมการใน รูปผลคูณของตัวประกอบสองตัวเท่ากับศูนย์ เมื่อแก้ไขแล้วเราจะพบราก:

x อันแรกเท่ากับหนึ่ง x วินาทีเท่ากับศูนย์

เนื่องจากเรายกสมการทั้งสองข้างขึ้นเป็นกำลังเท่ากัน การตรวจสอบรากจึงเป็นสิ่งจำเป็น

การตรวจสอบ

ถ้า x เท่ากับ 1 แล้ว

เราได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่า x เท่ากับ 1 คือรากของสมการ

ถ้า x เป็นศูนย์ แล้วรากที่สองของลบหนึ่งจะนิยามไม่ได้

ซึ่งหมายความว่า x เท่ากับศูนย์คือรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

คำตอบ: หนึ่ง

ภารกิจที่ 4

แก้สมการลอการิทึมของนิพจน์ x กำลังสองบวกห้า x บวกสองฐานสองเท่ากับสาม

สารละลาย

ลองหาสมการ ODZ กัน ในการทำสิ่งนี้ เราแก้อสมการ x กำลังสอง บวก 5 x บวก 2 ส่วน 0

เราแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้ เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของมัน โดยแก้สมการกำลังสองไปก่อนหน้านี้แล้ว และเมื่อคำนึงถึงเครื่องหมายอสมการแล้ว เราจะกำหนด ODZ ODZ เท่ากับการรวมกันของรังสีเปิดจากลบอนันต์ถึงลบเศษส่วนห้าบวกรากที่สองของสิบเจ็ดหารด้วยสอง และจากลบเศษส่วนห้าลบรากที่สองของสิบเจ็ดหารด้วยสองถึงบวกอนันต์

ตอนนี้เรามาเริ่มค้นหารากของสมการกันดีกว่า เมื่อพิจารณาว่า 3 เท่ากับลอการิทึมของ 8 ถึงฐาน 2 เราจึงเขียนสมการได้ดังนี้ ลอการิทึมของนิพจน์ x กำลังสองบวก 5 x บวก 2 ถึงฐาน 2 เท่ากับลอการิทึมของ 8 ถึงฐาน 2 ขอให้เราเสริมกำลังสมการ รับและแก้สมการกำลังสอง

ผู้เลือกปฏิบัติคือสี่สิบเก้า

คำนวณราก:

x อันแรกเท่ากับลบหก; x วินาทีเท่ากับหนึ่ง

การตรวจสอบ

ลบหกเป็นของ ODZ หนึ่งตัวเป็นของ ODZ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งสองเป็นรากของสมการ

คำตอบ: ลบหก; หนึ่ง.

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้พิจารณาถึงปัญหาการปรากฏตัวของรากภายนอก เราสามารถตรวจจับได้ผ่านการตรวจสอบ เป็นไปได้ไหมที่จะสูญเสียรากเมื่อแก้สมการและจะป้องกันได้อย่างไร?

เมื่อดำเนินการดังกล่าวกับสมการ เช่น ประการแรก หารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน ax จาก x (ยกเว้นกรณีที่ทราบแน่ชัดว่า ax จาก x ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับ x ใดๆ จาก ขอบเขตของนิยามของสมการ) ;

ประการที่สอง การลด OD ของสมการให้แคบลงในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหาอาจทำให้สูญเสียรากของสมการได้

จดจำ!

สมการที่เขียนเป็น

ef จาก x คูณด้วยเถ้าจาก x เท่ากับ zhe จาก x คูณด้วยเถ้าจาก x ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้:

คุณต้องแยกตัวประกอบโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

จากนั้นให้แบ่งแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์ จะได้สมการสองสมการ

เราคำนวณรากของพวกเขา

แบบฝึกหัดที่ 1

แก้สมการ x ลูกบาศก์เท่ากับ x

วิธีแรก

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย x เราจะได้ x กำลังสองเท่ากับ 1 มีราก x ก่อนเท่ากับ 1

x วินาทีเท่ากับลบหนึ่ง

วิธีที่สอง

X คิวบ์เท่ากับ X ลองย้าย x ไปทางซ้ายของสมการ นำ x ออกจากวงเล็บ แล้วเราจะได้: x คูณด้วย x กำลังสอง ลบ 1 เท่ากับ 0

ลองคำนวณรากของมัน:

X อันแรกเท่ากับศูนย์ x วินาทีเท่ากับหนึ่ง x อันที่สามเท่ากับลบหนึ่ง

สมการนี้มีสามราก

เมื่อแก้ไขวิธีแรก เราสูญเสียหนึ่งรูต - x เท่ากับศูนย์

คำตอบ: ลบหนึ่ง; ศูนย์; หนึ่ง.

จดจำ! การลดทั้งสองด้านของสมการด้วยปัจจัยที่ไม่ทราบค่าอาจทำให้สูญเสียรากได้

ภารกิจที่ 2

แก้สมการ: ลอการิทึมฐานสิบของ x กำลังสองเท่ากับสอง

สารละลาย

วิธีแรก

ตามคำจำกัดความของลอการิทึม เราจะได้สมการกำลังสอง x กำลังสองเท่ากับหนึ่งร้อย

รากของมัน: x แรกเท่ากับสิบ; X วินาทีเท่ากับลบสิบ

วิธีที่สอง

โดยสมบัติของลอการิทึม เรามีลอการิทึมฐานสิบสอง x เท่ากับสอง

รากของมัน - x เท่ากับสิบ

ด้วยวิธีที่สอง ราก x เท่ากับลบสิบหายไป และเหตุผลก็คือพวกเขาใช้สูตรผิด ทำให้ขอบเขตของสมการแคบลง นิพจน์สำหรับลอการิทึมฐานสิบของ x กำลังสองถูกกำหนดไว้สำหรับ x ทั้งหมดยกเว้น x เท่ากับศูนย์ นิพจน์สำหรับลอการิทึมฐานสิบของ x คือค่า x ที่มากกว่าศูนย์ สูตรที่ถูกต้องสำหรับลอการิทึมฐานสิบ x กำลังสองเท่ากับโมดูลลอการิทึมฐานสิบสอง x

จดจำ! เมื่อแก้สมการ ให้ใช้สูตรที่มีอยู่อย่างชาญฉลาด

อาจนำไปสู่การปรากฏตัวของสิ่งที่เรียกว่ารากภายนอก ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์รายละเอียดก่อนว่าคืออะไร รากภายนอก- ประการที่สอง เรามาพูดถึงสาเหตุของการเกิดขึ้นกันดีกว่า และประการที่สามโดยใช้ตัวอย่างเราจะพิจารณาวิธีการหลักในการกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปนั่นคือการตรวจสอบรากว่ามีรากที่ไม่เกี่ยวข้องอยู่ในหมู่พวกเขาเพื่อแยกพวกเขาออกจากคำตอบ

รากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการ คำจำกัดความ ตัวอย่าง

หนังสือเรียนพีชคณิตของโรงเรียนไม่ได้ให้คำจำกัดความของรากภายนอก ที่นั่นแนวคิดของการรูตที่ไม่เกี่ยวข้องนั้นถูกสร้างขึ้นโดยการอธิบายสถานการณ์ต่อไปนี้: ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงสมการบางอย่างการเปลี่ยนจากสมการดั้งเดิมไปเป็นสมการที่เป็นผลจะพบรากของสมการที่เป็นผล และรากที่พบจะถูกตรวจสอบโดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม ซึ่งแสดงให้เห็นว่ารากที่พบบางส่วนไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม รากเหล่านี้เรียกว่ารากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

เริ่มต้นจากฐานนี้ คุณสามารถยอมรับคำจำกัดความของรูทภายนอกต่อไปนี้ได้ด้วยตัวเอง:

คำนิยาม

รากภายนอก- นี่คือรากของสมการที่เป็นผลซึ่งเป็นผลมาจากการแปลงซึ่งไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม

ลองยกตัวอย่าง ลองพิจารณาสมการและผลลัพธ์ของสมการนี้ x·(x−1)=0 ซึ่งได้จากการแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน x·(x−1) สมการเดิมมีรากเดียวคือ 1 สมการที่ได้จากการแปลงมีสองรากคือ 0 และ 1 ซึ่งหมายความว่า 0 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

เหตุผลในการปรากฏตัวของรากต่างประเทศที่เป็นไปได้

หากเพื่อให้ได้สมการที่พิสูจน์ว่าคุณไม่ได้ใช้การแปลงที่ "แปลกใหม่" ใด ๆ แต่ใช้เฉพาะการแปลงสมการขั้นพื้นฐานเท่านั้น รากที่ไม่เกี่ยวข้องสามารถเกิดขึ้นได้ด้วยเหตุผลสองประการเท่านั้น:

• เนื่องจากการขยายตัวของ ODZ และ
• เนื่องจากการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน

เป็นเรื่องที่ควรระลึกไว้ที่นี่ว่าการขยายตัวของ ODZ อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนสมการส่วนใหญ่เกิดขึ้น

• เมื่อลดเศษส่วน
• เมื่อเปลี่ยนผลิตภัณฑ์ด้วยปัจจัยศูนย์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปด้วยศูนย์
• เมื่อแทนที่เศษส่วนด้วยตัวเศษศูนย์ด้วยศูนย์
• เมื่อใช้คุณสมบัติบางอย่างของกำลัง ราก ลอการิทึม
• เมื่อใช้สูตรตรีโกณมิติบางสูตร
• เมื่อทั้งสองด้านของสมการคูณด้วยนิพจน์เดียวกัน ODZ สำหรับสมการนั้นจะหายไป
• เมื่อพ้นจากเครื่องหมายลอการิทึมในกระบวนการแก้ปัญหา

ตัวอย่างจากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความแสดงให้เห็นลักษณะของรากที่ไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากการขยายตัวของ ODZ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อย้ายจากสมการไปเป็นสมการที่เป็นผล x·(x−1)=0 ODZ สำหรับสมการดั้งเดิมคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นศูนย์ ODZ สำหรับสมการผลลัพธ์คือเซต R นั่นคือ ODZ จะถูกขยายด้วยตัวเลขศูนย์ ในที่สุดจำนวนนี้จะกลายเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

นอกจากนี้ เราจะยกตัวอย่างลักษณะของรากที่ไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน สมการไร้เหตุผลมีรากเดียว 4 และผลลัพธ์ของสมการนี้ที่ได้จากสมการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการนั่นคือสมการ มีสองราก 1 และ 4 จากนี้เห็นได้ชัดว่าการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการทำให้เกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

โปรดทราบว่าการขยาย ODZ และยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากันไม่ได้ทำให้เกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้องเสมอไป ตัวอย่างเช่น เมื่อย้ายจากสมการไปเป็นสมการที่เป็นผลพิสูจน์ x=2 ODZ จะขยายจากเซตของจำนวนที่ไม่เป็นลบทั้งหมดไปเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แต่ไม่มีรากที่ไม่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้น 2 เป็นรากเดียวของทั้งสมการที่หนึ่งและสมการที่สอง นอกจากนี้ จะไม่มีรากที่ไม่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้นเมื่อย้ายจากสมการไปเป็นสมการที่เป็นผล รากเดียวของทั้งสมการที่หนึ่งและที่สองคือ x=16 นั่นคือเหตุผลที่เราไม่ได้พูดถึงสาเหตุของการปรากฏตัวของรากภายนอก แต่เกี่ยวกับสาเหตุของการปรากฏตัวของรากภายนอกที่เป็นไปได้

การคัดกรองรากภายนอกออกคืออะไร?

คำว่า "การกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป" สามารถเรียกได้เฉพาะคำว่าจัดตั้งเท่านั้น ไม่มีอยู่ในตำราพีชคณิตทุกเล่ม แต่เป็นสัญชาตญาณซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักใช้ ความหมายของการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปนั้นชัดเจนจากวลีต่อไปนี้: "... การตรวจสอบเป็นขั้นตอนบังคับในการแก้สมการซึ่งจะช่วยตรวจจับรากที่ไม่เกี่ยวข้อง (ถ้ามี) และทิ้งมันไป (โดยปกติพวกเขาจะพูดว่า "กำจัดวัชพืชออก" ”)”

ดังนั้น,

คำนิยาม

คัดกรองรากภายนอกออก- นี่คือการตรวจจับและการทิ้งรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

ตอนนี้คุณสามารถไปยังวิธีการคัดกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องได้

วิธีการคัดกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก

การตรวจสอบการเปลี่ยนตัว

วิธีหลักในการกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปคือการทดสอบการทดแทน ช่วยให้คุณสามารถกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องที่อาจเกิดขึ้นทั้งจากการขยายตัวของ ODZ และเนื่องจากการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน

การทดสอบการทดแทนมีดังต่อไปนี้: รากที่พบของสมการที่พิสูจน์แล้วจะถูกแทนที่ด้วยสมการดั้งเดิมหรือในสมการใดๆ ที่เทียบเท่ากัน รากที่ให้ค่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้องคือรากของสมการดั้งเดิม และรากที่ให้ค่า ความเท่าเทียมกันของตัวเลขหรือนิพจน์ที่ไม่ถูกต้องคือรากของสมการดั้งเดิม ไม่มีความหมาย เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

ให้เราแสดงตัวอย่างวิธีกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องผ่านการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม

ในบางกรณี เป็นการสมควรมากกว่าที่จะกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกโดยใช้วิธีอื่น สิ่งนี้ใช้เป็นหลักกับกรณีที่การตรวจสอบโดยการทดแทนเกี่ยวข้องกับปัญหาในการคำนวณที่สำคัญหรือเมื่อวิธีการมาตรฐานของการแก้สมการบางประเภทจำเป็นต้องมีการตรวจสอบอีกครั้ง (ตัวอย่างเช่นการคัดกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องเมื่อดำเนินการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนตาม โดยมีเงื่อนไขว่าตัวส่วนของเศษส่วนไม่เท่ากับศูนย์) เรามาดูวิธีอื่นในการกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป

ตามคำกล่าวของ DL

ต่างจากการทดสอบโดยการทดแทน การกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกโดยใช้ ODZ นั้นไม่เหมาะสมเสมอไป ความจริงก็คือวิธีนี้ช่วยให้คุณสามารถกรองเฉพาะรากภายนอกที่เกิดขึ้นเนื่องจากการขยายตัวของ ODZ และไม่รับประกันว่าจะมีการกรองรากภายนอกที่อาจเกิดขึ้นด้วยเหตุผลอื่นเช่นเนื่องจากการเลี้ยงดูทั้งสองฝ่าย ของสมการให้มีกำลังเท่ากัน ยิ่งไปกว่านั้น การค้นหา OD สำหรับสมการที่กำลังแก้ไขไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป อย่างไรก็ตามวิธีการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องโดยใช้ ODZ นั้นคุ้มค่าที่จะให้บริการเนื่องจากการใช้งานมักจะต้องใช้การคำนวณน้อยกว่าการใช้วิธีอื่น

การกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกตาม ODZ จะดำเนินการดังนี้: รากที่พบทั้งหมดของสมการที่พิสูจน์แล้วจะถูกตรวจสอบเพื่อดูว่าอยู่ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรสำหรับสมการดั้งเดิมหรือสมการใด ๆ ที่เทียบเท่ากับมันหรือไม่ พวกที่เป็นของ ODZ คือรากของสมการดั้งเดิม และพวกที่เป็นของ ODZ นั้นเป็นรากของสมการดั้งเดิม และพวกที่ไม่ได้อยู่ใน ODZ นั้นเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

การวิเคราะห์ข้อมูลที่ให้ไว้นำไปสู่ข้อสรุปว่าแนะนำให้แยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกโดยใช้ ODZ หากในเวลาเดียวกัน:

• มันง่ายที่จะค้นหา ODZ สำหรับสมการดั้งเดิม
• รากภายนอกสามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากการขยายตัวของ ODZ เท่านั้น
• การทดสอบการทดแทนมีความเกี่ยวข้องกับปัญหาด้านการคำนวณที่สำคัญ

เราจะแสดงให้เห็นว่าในทางปฏิบัติมีการกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปอย่างไร

ตามเงื่อนไขของดีแอล

ดังที่เราได้กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ หากรากที่ไม่เกี่ยวข้องสามารถเกิดขึ้นได้เพียงเพราะการขยายตัวของ ODZ เท่านั้น ก็สามารถกำจัดรากเหล่านั้นได้โดยใช้ ODZ สำหรับสมการดั้งเดิม แต่การค้นหา ODZ ในรูปแบบของชุดตัวเลขไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ในกรณีเช่นนี้ มีความเป็นไปได้ที่จะคัดแยกรากภายนอกที่ไม่เป็นไปตาม ODZ แต่ตามเงื่อนไขที่กำหนด ODZ ให้เราอธิบายว่าการกำจัดรากภายนอกนั้นดำเนินการอย่างไรภายใต้เงื่อนไขของ ODZ

รากที่พบจะถูกแทนที่ด้วยเงื่อนไขที่กำหนด ODZ สำหรับสมการดั้งเดิมหรือสมการใดๆ ที่เทียบเท่ากัน สิ่งที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดคือรากของสมการ และพวกที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไขหรือให้นิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผลถือเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

ให้เรายกตัวอย่างการคัดกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องตามเงื่อนไขของ ODZ

กำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งเกิดจากการยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลังคู่

เห็นได้ชัดว่าการกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งเกิดจากการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากันสามารถทำได้โดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิมหรือในสมการใดๆ ที่เทียบเท่ากัน แต่การตรวจสอบดังกล่าวอาจเกี่ยวข้องกับปัญหาด้านการคำนวณที่สำคัญ ในกรณีนี้มันคุ้มค่าที่จะรู้วิธีอื่นในการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปซึ่งเราจะพูดถึงในตอนนี้

คัดแยกรากภายนอกที่อาจเกิดขึ้นเมื่อยกสมการไร้เหตุผลทั้งสองด้านของรูปให้มีกำลังเท่ากัน โดยที่ n เป็นจำนวนคู่ สามารถดำเนินการได้ตามเงื่อนไข g(x)≥0 สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของรากของดีกรีคู่: รากของดีกรีคู่ n คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ โดยกำลังที่ n เท่ากับจำนวนราก ดังนั้น - ดังนั้นแนวทางที่เปล่งออกมาจึงเป็นวิธีการคล้าย ๆ กันของวิธีการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากันและวิธีการแก้สมการไม่ลงตัวโดยการกำหนดราก นั่นก็คือสมการ โดยที่ n เป็นจำนวนคู่ แก้ได้โดยยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน และกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกตามเงื่อนไข g(x)≥0 ซึ่งนำมาจากวิธีการแก้สมการไม่ลงตัวโดย การกำหนดราก

การสูญเสียรากและรากภายนอกเมื่อแก้สมการ

สถาบันการศึกษาเทศบาล "โรงเรียนมัธยมหมายเลข 2 พร้อมการศึกษาเชิงลึกของแต่ละวิชา" ในเมือง Vsevolozhsk งานวิจัยจัดทำโดยนักเรียนเกรด 11 B: Vasilyev Vasily ผู้จัดการโครงการ: Egorova Lyudmila Alekseevna

สมการก่อนอื่น เรามาดูวิธีต่างๆ ในการแก้สมการ sinx+cosx =- 1 กัน

วิธีแก้ปัญหาหมายเลข 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 คำตอบ: + 2

คำตอบที่ 2 sinx+cosx =- คำตอบที่ 1: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + ม =- + x=- +2 x= +2

วิธีแก้ปัญหาหมายเลข 3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

sinx+cosx =-1 วิธีแก้ปัญหาหมายเลข 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n คำตอบ: - + 2 n

มาเปรียบเทียบวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า วิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง ลองคิดดูว่าในกรณีใดบ้างที่รากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้นและเหตุใด คำตอบที่ 2: +2 หมายเลข 3 คำตอบ: หมายเลข 4 คำตอบ: + 2 n หมายเลข 1 คำตอบ: +2

การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา จำเป็นต้องตรวจสอบหรือไม่? ฉันควรตรวจสอบรากเผื่อไว้เพื่อความปลอดภัยหรือไม่? แน่นอนว่าสิ่งนี้มีประโยชน์เมื่อทดแทนได้ง่าย แต่นักคณิตศาสตร์เป็นคนมีเหตุผลและไม่ทำสิ่งที่ไม่จำเป็น มาดูกรณีต่างๆ กัน และจำไว้ว่าเมื่อใดที่จำเป็นต้องมีการยืนยันจริงๆ

1. สูตรสำเร็จรูปที่ง่ายที่สุด c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a ในกรณีที่หารากโดยใช้สูตรสำเร็จรูปที่ง่ายที่สุด ก็ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้สูตรดังกล่าว คุณควรจำเงื่อนไขที่สามารถใช้ได้ ตัวอย่างเช่น สูตร = สามารถใช้ได้ภายใต้เงื่อนไข a 0, -4ac 0 และคำตอบ x= arccos2+2 สำหรับสมการ cosx =2 ถือเป็นข้อผิดพลาดขั้นต้น เนื่องจากสูตร x= arccos a +2 สามารถทำได้เพียง ใช้สำหรับรากของสมการ cosx =a โดยที่ | ก | 1

2. การแปลง บ่อยครั้งที่เมื่อแก้สมการ คุณจะต้องทำการแปลงหลายอย่าง หากสมการถูกแทนที่ด้วยสมการใหม่ที่มีรากของสมการก่อนหน้าทั้งหมดและถูกแปลงเพื่อไม่ให้สูญเสียหรือได้มาซึ่งรากเกิดขึ้น สมการดังกล่าวจะเรียกว่าสมมูล 1. เมื่อถ่ายโอนส่วนประกอบของสมการจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง 2. เมื่อบวกเลขเท่ากันทั้งสองข้าง 3. เมื่อทั้งสองข้างของสมการคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์อันเดียวกัน 4. เมื่อใช้ข้อมูลระบุตัวตนที่ถูกต้องกับเซตของจำนวนจริงทั้งหมด อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบ!

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสมการจะสามารถแก้ไขได้ด้วยการแปลงที่เท่ากัน บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องใช้การแปลงที่ไม่เท่ากัน บ่อยครั้งที่การแปลงดังกล่าวขึ้นอยู่กับการใช้สูตรที่ไม่ถูกต้องกับค่าจริงทั้งหมด ในกรณีนี้ ขอบเขตของคำจำกัดความของสมการจะเปลี่ยนไป พบข้อผิดพลาดนี้ในโซลูชัน #4 ลองดูที่ข้อผิดพลาด แต่ก่อนอื่นเรามาดูวิธีแก้ปัญหาหมายเลข 4 อีกครั้ง sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n ข้อผิดพลาดอยู่ในสูตร sin2x= สูตรนี้สามารถใช้ได้ แต่คุณควรตรวจสอบเพิ่มเติม ว่ารากเป็นตัวเลขของรูปแบบ + ซึ่งไม่ได้กำหนด tg หรือไม่ ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาคือการสูญเสียราก มาดูกันจนจบเลย

วิธีแก้ปัญหาหมายเลข 4 i y x 0 1 ลองตรวจสอบตัวเลข = + n โดยการแทนที่: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 ดังนั้น x= +2 n คือรากของสมการ คำตอบ: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

เราพิจารณาวิธีหนึ่งในการสูญเสียราก มีหลายวิธีในคณิตศาสตร์ ดังนั้นคุณต้องแก้อย่างระมัดระวังโดยจดจำกฎทั้งหมด เช่นเดียวกับที่คุณสามารถสูญเสียรากของสมการได้ คุณยังสามารถหารากเพิ่มเติมในระหว่างการแก้สมการได้อีกด้วย ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาหมายเลข 3 ที่เกิดข้อผิดพลาดดังกล่าว

โซลูชัน # 3 ฉัน x 0 1 2 2 และรูทพิเศษ! รากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้นเมื่อทั้งสองข้างของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้จำเป็นต้องตรวจสอบ สำหรับ n=2k เรามี sin k+cos k=-1; cos k=-1 สำหรับ k=2m-1 จากนั้น n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m คำตอบ: +2 สำหรับ n=2k+1 เรามี sin +cos =- 1 บาป(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 โดยที่ k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4ม.+3)= +2 ม.=- +2 ซินx+คอสx =- 1 = x= x+ x บาป2x=0 2x= x=

ดังนั้นเราจึงพิจารณากรณีที่เป็นไปได้สองสามกรณี ซึ่งมีจำนวนมาก พยายามอย่าเสียเวลาและทำผิดพลาดโง่ ๆ