ระดับแรก
การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน คู่มือภาพ (2019)
งานหลายอย่างที่เราใช้ในการคำนวณพีชคณิตล้วนๆสามารถแก้ไขได้ง่ายและรวดเร็วยิ่งขึ้น การใช้กราฟฟังก์ชันจะช่วยเราในเรื่องนี้ คุณพูดว่า “เป็นยังไงบ้าง” วาดอะไรบางอย่างและจะวาดอะไร? เชื่อฉันเถอะว่าบางครั้งมันก็สะดวกและง่ายกว่า เรามาเริ่มต้นกันดีไหม? เริ่มจากสมการกันก่อน!
การแก้สมการเชิงกราฟิก
ผลเฉลยกราฟิกของสมการเชิงเส้น
ดังที่คุณทราบแล้วว่ากราฟของสมการเชิงเส้นเป็นเส้นตรง จึงเป็นที่มาของชื่อประเภทนี้ สมการเชิงเส้นค่อนข้างง่ายในการแก้พีชคณิต - เราถ่ายโอนสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดไปยังด้านหนึ่งของสมการ ทุกสิ่งที่เรารู้ไปยังอีกด้านหนึ่ง และว้าว! เราพบต้นตอแล้ว ตอนนี้ฉันจะแสดงวิธีการทำ แบบกราฟิก
ดังนั้นคุณจะได้สมการ:
วิธีแก้ปัญหา?
ตัวเลือกที่ 1และสิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการย้ายสิ่งที่ไม่รู้ไปด้านหนึ่งและสิ่งที่รู้ไปอีกด้านหนึ่ง เราจะได้:
ตอนนี้เรามาสร้างกัน คุณได้อะไร?
คุณคิดว่าอะไรคือรากของสมการของเรา? ถูกต้องแล้ว พิกัดของจุดตัดของกราฟคือ:
คำตอบของเราคือ
นั่นคือภูมิปัญญาทั้งหมดของโซลูชันกราฟิก อย่างที่คุณสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ รากของสมการของเราคือตัวเลข!
อย่างที่ผมบอกไปข้างต้น นี่เป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด ใกล้เคียงกับคำตอบพีชคณิต แต่คุณสามารถแก้มันด้วยวิธีอื่นได้ เพื่อประกอบการพิจารณา ทางเลือกอื่นกลับไปที่สมการของเรา:
ครั้งนี้เราจะไม่ย้ายอะไรจากด้านหนึ่งไปอีกด้าน แต่จะสร้างกราฟโดยตรงดังที่เป็นอยู่ตอนนี้:
สร้าง? มาดูกัน!
แนวทางแก้ไขในครั้งนี้คืออะไร? ถูกตัอง. สิ่งเดียวกัน - พิกัดของจุดตัดของกราฟ:
และอีกครั้งคำตอบของเราคือ
อย่างที่คุณเห็น ด้วยสมการเชิงเส้น ทุกอย่างง่ายมาก ถึงเวลาดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้แล้ว... ตัวอย่างเช่น คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง
คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง
ทีนี้มาเริ่มแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า สมมติว่าคุณต้องค้นหารากของสมการนี้:
แน่นอน ตอนนี้คุณสามารถเริ่มนับผ่านการแบ่งแยกหรือตามทฤษฎีบทของ Vieta ได้แล้ว แต่หลายๆ คนกลับรู้สึกกังวลใจเมื่อคูณหรือยกกำลังสองผิดพลาด โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากตัวอย่างมี จำนวนมากและอย่างที่คุณทราบ คุณจะไม่มีเครื่องคิดเลขสำหรับการสอบ... ดังนั้น เรามาลองผ่อนคลายสักหน่อยแล้ววาดขณะแก้สมการนี้กันดีกว่า
คุณสามารถหาคำตอบของสมการนี้ได้แบบกราฟิก วิธีทางที่แตกต่าง. ลองพิจารณาดู ตัวเลือกต่างๆและคุณสามารถเลือกอันที่คุณชอบที่สุดได้
วิธีที่ 1. โดยตรง
เราเพียงแค่สร้างพาราโบลาโดยใช้สมการนี้:
เพื่อให้ดำเนินการได้รวดเร็ว ฉันจะให้คำแนะนำเล็กๆ น้อยๆ แก่คุณ: สะดวกในการเริ่มการก่อสร้างโดยการกำหนดจุดยอดของพาราโบลาสูตรต่อไปนี้จะช่วยกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา:
คุณจะพูดว่า “หยุด! สูตรสำหรับนั้นคล้ายกันมากกับสูตรในการค้นหาตัวแบ่งแยก" ใช่แล้ว และนี่คือข้อเสียอย่างมากของการสร้างพาราโบลา "โดยตรง" เพื่อค้นหารากของมัน อย่างไรก็ตาม มานับจนจบกันดีกว่า แล้วฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าต้องทำอย่างไรให้ง่ายขึ้นมาก (มาก!)!
คุณนับไหม? คุณได้พิกัดอะไรสำหรับจุดยอดของพาราโบลา? ลองคิดดูด้วยกัน:
คำตอบเดียวกันเป๊ะเลยเหรอ? ทำได้ดี! และตอนนี้เรารู้พิกัดของจุดยอดแล้ว แต่เพื่อสร้างพาราโบลา เราจำเป็นต้องมี... จุดมากกว่านี้ คุณคิดว่าเราต้องการคะแนนขั้นต่ำกี่คะแนน? ขวา, .
คุณรู้ไหมว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดยอดของมัน ตัวอย่างเช่น
ดังนั้นเราจึงต้องการอีกสองจุดบนกิ่งซ้ายหรือขวาของพาราโบลา และในอนาคต เราจะสะท้อนจุดเหล่านี้ทางฝั่งตรงข้ามอย่างสมมาตร:
ลองกลับไปที่พาราโบลาของเราอีกครั้ง สำหรับกรณีของเราช่วงเวลา เราต้องการอีกสองแต้ม เพื่อเราจะได้แต้มบวก หรือแต้มลบ? จุดไหนสะดวกสำหรับคุณมากกว่ากัน? มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะทำงานกับสิ่งที่เป็นบวก ดังนั้นฉันจะคำนวณที่ และ
ตอนนี้เรามีจุดสามจุดแล้ว เราสามารถสร้างพาราโบลาได้อย่างง่ายดายโดยสะท้อนจุดสองจุดสุดท้ายที่สัมพันธ์กับจุดยอดของมัน:
คุณคิดว่าอะไรคือคำตอบของสมการ? ถูกต้องจุดที่นั่นคือและ เพราะ.
และถ้าเราพูดอย่างนั้นก็หมายความว่ามันจะต้องเท่ากันด้วยหรือ.
แค่? เราแก้สมการกับคุณในรูปแบบกราฟิกที่ซับซ้อนเสร็จแล้วหรือจะมีมากกว่านี้!
แน่นอน คุณสามารถตรวจสอบคำตอบของเราในเชิงพีชคณิตได้ โดยคุณสามารถคำนวณรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta หรือ Discriminant คุณได้อะไร? เหมือน? นี่คุณเห็นแล้ว! ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหากราฟิกง่ายๆ กัน ฉันแน่ใจว่าคุณจะต้องชอบมันมาก!
วิธีที่ 2. แบ่งออกเป็นหลายฟังก์ชั่น
ลองใช้สมการเดียวกัน: แต่เราจะเขียนให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย กล่าวคือ:
เราเขียนแบบนี้ได้ไหม? เราทำได้ เนื่องจากการแปลงเทียบเท่ากัน มาดูกันต่อ
มาสร้างสองฟังก์ชันแยกกัน:
- - กราฟเป็นพาราโบลาธรรมดา ซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องกำหนดจุดยอดโดยใช้สูตรและวาดตารางเพื่อกำหนดจุดอื่นๆ
- - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
สร้าง? มาเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันได้รับ:
คุณคิดว่ารากของสมการในกรณีนี้คืออะไร? ขวา! พิกัดที่ได้รับจากจุดตัดของกราฟทั้งสองและนั่นคือ:
ดังนั้นคำตอบของสมการนี้คือ:
พูดว่าอะไรนะ? เห็นด้วยวิธีการแก้ปัญหานี้ง่ายกว่าวิธีก่อนหน้ามากและง่ายกว่าการค้นหารากผ่านการแยกแยะ! หากเป็นเช่นนั้น ให้ลองแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีนี้:
คุณได้อะไร? ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:
กราฟแสดงว่าคำตอบคือ:
คุณจัดการหรือไม่? ทำได้ดี! ทีนี้มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้อีกหน่อยนั่นคือการแก้สมการแบบผสมนั่นคือสมการที่มีฟังก์ชันประเภทต่างๆ
ผลเฉลยกราฟิกของสมการผสม
ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้:
แน่นอน คุณสามารถนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม ค้นหารากของสมการผลลัพธ์ได้ โดยไม่ลืมคำนึงถึง ODZ แต่อีกครั้ง เราจะพยายามแก้มันแบบกราฟิกเหมือนที่เราทำในกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมด
คราวนี้เรามาสร้างกราฟ 2 อันต่อไปนี้:
- - กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา
- - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
เข้าใจไหม? ตอนนี้เริ่มสร้าง
นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:
มองภาพนี้ บอกฉันหน่อยว่ารากของสมการของเราคืออะไร?
ถูกต้องและ. นี่คือการยืนยัน:
ลองแทนรากของเราเข้ากับสมการ เกิดขึ้น?
ถูกตัอง! เห็นด้วยการแก้สมการดังกล่าวแบบกราฟิกเป็นเรื่องที่น่ายินดี!
ลองแก้สมการแบบกราฟิกด้วยตัวเอง:
ฉันจะให้คำแนะนำแก่คุณ: ย้ายส่วนหนึ่งของสมการไปที่ ด้านขวาเพื่อให้ทั้งสองด้านมีฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการสร้าง คุณได้รับคำใบ้หรือไม่? เริ่มปฏิบัติ!
มาดูกันว่าคุณได้อะไรบ้าง:
ตามลำดับ:
- - ลูกบาศก์พาราโบลา
- - เส้นตรงธรรมดา
มาสร้างกันดีกว่า:
ดังที่คุณเขียนไว้นานแล้ว รากของสมการนี้คือ -
ตัดสินใจเรื่องนี้แล้ว จำนวนมากตัวอย่าง ฉันแน่ใจว่าคุณรู้แล้วว่าคุณสามารถแก้สมการแบบกราฟิกได้ง่ายและรวดเร็วเพียงใด ถึงเวลาหาวิธีแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีนี้
โซลูชั่นกราฟิกของระบบ
ระบบการแก้แบบกราฟิกโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากการแก้สมการแบบกราฟิก เราจะสร้างกราฟขึ้นมาสองกราฟด้วย และจุดตัดกันของพวกมันจะเป็นรากของระบบนี้ กราฟหนึ่งคือสมการหนึ่ง กราฟที่สองคืออีกสมการหนึ่ง ทุกอย่างง่ายมาก!
เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - การแก้ระบบสมการเชิงเส้น
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น
สมมติว่าเรามีระบบดังต่อไปนี้:
ก่อนอื่นเรามาแปลงมันเพื่อให้ทุกสิ่งที่เชื่อมโยงอยู่ทางด้านซ้ายและทางขวา - ทุกสิ่งที่เชื่อมต่อด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียนสมการเหล่านี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบปกติของเรา:
ตอนนี้เราแค่สร้างเส้นตรงสองเส้น วิธีแก้ปัญหาในกรณีของเราคืออะไร? ขวา! จุดตัดของพวกเขา! และที่นี่คุณต้องระวังให้มาก! ลองคิดดูว่าทำไม? ผมขอบอกใบ้หน่อยนะครับ เรากำลังจัดการกับระบบ ในระบบก็มีทั้งสองอย่าง และ... รู้คำใบ้ไหม?
ถูกตัอง! เมื่อแก้ระบบ เราต้องดูทั้งสองพิกัด ไม่ใช่แค่แก้สมการเท่านั้น! อื่น จุดสำคัญ- เขียนให้ถูกต้องและไม่สับสนว่าเรามีความหมายตรงไหนและความหมายอยู่ที่ไหน! คุณเขียนมันลงไปหรือเปล่า? ทีนี้ลองเปรียบเทียบทุกอย่างตามลำดับ:
และคำตอบ: และ. ทำการตรวจสอบ - แทนที่รูทที่พบเข้าสู่ระบบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราแก้ไขมันอย่างถูกต้องหรือไม่?
การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีแทนที่จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียว สมการกำลังสอง? ใช้ได้! คุณแค่สร้างพาราโบลาแทนที่จะเป็นเส้นตรง! ไม่เชื่อ? ลองแก้ไขระบบต่อไปนี้:
ขั้นตอนต่อไปของเราคืออะไร? ถูกต้อง จดบันทึกไว้เพื่อให้เราสร้างกราฟได้สะดวก:
และตอนนี้มันเป็นเรื่องเล็กๆ น้อยๆ - สร้างมันขึ้นมาอย่างรวดเร็วและนี่คือวิธีแก้ปัญหาของคุณ! เรากำลังสร้าง:
กราฟออกมาเหมือนเดิมหรือเปล่า? ตอนนี้ทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาของระบบในรูปและจดคำตอบที่ระบุให้ถูกต้อง!
ฉันทำทุกอย่างแล้วเหรอ? เปรียบเทียบกับบันทึกย่อของฉัน:
ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี! คุณกำลังแคร็กงานประเภทนี้เหมือนถั่วอยู่แล้ว! ถ้าเป็นเช่นนั้น เราจะให้ระบบที่ซับซ้อนกว่านี้แก่คุณ:
เรากำลังทำอะไรอยู่? ขวา! เราเขียนระบบเพื่อให้สะดวกในการสร้าง:
ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อย เนื่องจากระบบดูซับซ้อนมาก! เมื่อสร้างกราฟ ให้สร้างกราฟให้ "มากขึ้น" และที่สำคัญที่สุด ไม่ต้องแปลกใจกับจำนวนจุดตัดกัน
งั้นไปกัน! หายใจออกเหรอ? ตอนนี้เริ่มสร้าง!
ดังนั้นวิธีการที่? สวย? คุณได้จุดตัดกี่จุด? ฉันมีสาม! ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:
อีกด้วย? ตอนนี้เขียนโซลูชันทั้งหมดของระบบของเราอย่างระมัดระวัง:
ตอนนี้ดูที่ระบบอีกครั้ง:
คุณนึกภาพออกไหมว่าคุณแก้ไขปัญหานี้ได้ภายในเวลาเพียง 15 นาที? เห็นด้วย คณิตศาสตร์ยังคงง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดูสำนวน คุณไม่กลัวที่จะทำผิด แต่เพียงแค่รับมันและแก้ไขมัน! คุณเป็นเด็กใหญ่!
คำตอบแบบกราฟิกของอสมการ
คำตอบเชิงกราฟิกของอสมการเชิงเส้น
หลังจากตัวอย่างที่แล้วจะทำอะไรก็ได้! ตอนนี้หายใจออก - เปรียบเทียบกับ ส่วนก่อนหน้าอันนี้จะง่ายมาก!
เราจะเริ่มต้นด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกตามปกติ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น. ตัวอย่างเช่นอันนี้:
ขั้นแรก เรามาดำเนินการแปลงที่ง่ายที่สุด - เปิดวงเล็บของกำลังสองสมบูรณ์แล้วนำเสนอคำที่คล้ายกัน:
อสมการไม่ได้เข้มงวด ดังนั้นจึงไม่รวมไว้ในช่วงเวลา และคำตอบจะเป็นจุดทั้งหมดที่อยู่ทางขวา เนื่องจากมากขึ้น มากขึ้น และอื่นๆ:
คำตอบ:
นั่นคือทั้งหมด! อย่างง่ายดาย? มาแก้อสมการง่ายๆ ด้วยตัวแปรสองตัวกัน:
ลองวาดฟังก์ชันในระบบพิกัดกัน
คุณได้รับกำหนดการดังกล่าวหรือไม่? ทีนี้เรามาดูอย่างละเอียดกันดีกว่าว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันอะไรบ้าง? น้อย? ซึ่งหมายความว่าเราทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านซ้ายของเส้นตรง ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? ถูกต้อง จากนั้นเราจะทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเส้นตรง มันง่ายมาก
แนวทางแก้ไขทั้งหมดสำหรับความไม่เท่าเทียมกันนี้ถูก “ปกปิด” ส้ม. เพียงเท่านี้ความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัวก็ได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ จากพื้นที่แรเงาคือคำตอบ
คำตอบแบบกราฟิกของอสมการกำลังสอง
ตอนนี้เราจะเข้าใจวิธีการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก
แต่ก่อนที่เราจะพูดถึงเรื่องนั้น เรามาทบทวนเนื้อหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองกันก่อน
ผู้เลือกปฏิบัติต้องรับผิดชอบอะไร? ถูกต้องแล้ว สำหรับตำแหน่งของกราฟที่สัมพันธ์กับแกน (หากคุณจำสิ่งนี้ไม่ได้ ให้อ่านทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองอย่างแน่นอน)
ไม่ว่าในกรณีใด ต่อไปนี้เป็นคำเตือนเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:
ตอนนี้เราได้รีเฟรชเนื้อหาทั้งหมดในหน่วยความจำของเราแล้ว มาเริ่มธุรกิจกันดีกว่า - แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก
ฉันจะบอกคุณทันทีว่ามีสองทางเลือกในการแก้ปัญหา
ตัวเลือกที่ 1
เราเขียนพาราโบลาเป็นฟังก์ชัน:
เมื่อใช้สูตรเราจะกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา (เหมือนกับเมื่อแก้สมการกำลังสอง):
คุณนับไหม? คุณได้อะไร?
ทีนี้ลองหาจุดที่แตกต่างกันอีกสองจุดแล้วคำนวณหามัน:
มาเริ่มสร้างพาราโบลาสาขาหนึ่งกันดีกว่า:
เราสะท้อนจุดของเราอย่างสมมาตรไปยังกิ่งอื่นของพาราโบลา:
ทีนี้ กลับมาที่อสมการของเรากัน.
เราต้องการให้มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ตามลำดับ:
เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันของเราเครื่องหมายจึงน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดเราจึงแยกจุดสิ้นสุดออก - "การเจาะออก"
คำตอบ:
ทางยาวใช่ไหม? ตอนนี้ ฉันจะแสดงเวอร์ชันที่เรียบง่ายของโซลูชันกราฟิกให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันแบบเดียวกัน:
ตัวเลือกที่ 2
เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่เราต้องการ:
เห็นด้วยมันเร็วกว่ามาก
ตอนนี้ให้เราเขียนคำตอบ:
ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาอื่นที่ทำให้ส่วนพีชคณิตง่ายขึ้น แต่สิ่งสำคัญคืออย่าสับสน
คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:
พยายามแก้อสมการกำลังสองต่อไปนี้ด้วยตัวเองด้วยวิธีใดก็ได้:
คุณจัดการหรือไม่?
ดูว่ากราฟของฉันเป็นอย่างไร:
คำตอบ: .
คำตอบแบบกราฟิกของอสมการแบบผสม
ทีนี้เรามาดูอสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า!
คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร:
มันน่าขนลุกใช่มั้ย? จริงๆ แล้ว ฉันไม่รู้ว่าจะแก้พีชคณิตนี้อย่างไร... แต่ก็ไม่จำเป็น กราฟิกไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้! ตากลัวแต่มือทำ!
สิ่งแรกที่เราจะเริ่มต้นด้วยการสร้างกราฟสองอัน:
ฉันจะไม่เขียนตารางสำหรับแต่ละคน - ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถทำได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยตัวเอง (ว้าว มีตัวอย่างมากมายให้แก้!)
คุณทาสีมันเหรอ? ตอนนี้สร้างกราฟสองอัน
มาเปรียบเทียบภาพวาดของเรากัน?
มันเหมือนกันกับคุณหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! ตอนนี้เรามาจัดเรียงจุดตัดกันและใช้สีเพื่อกำหนดว่ากราฟใดที่เราควรมีให้ใหญ่กว่าในทางทฤษฎี นั่นก็คือ ดูสิ่งที่เกิดขึ้นในท้ายที่สุด:
ตอนนี้เรามาดูกันว่ากราฟที่เราเลือกอยู่ตรงไหนสูงกว่ากราฟ? อย่าลังเลที่จะใช้ดินสอและทาสีบริเวณนี้! เธอจะเป็นทางออกของความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของเรา!
เราอยู่สูงกว่าช่วงใดของแกน? ขวา, . นี่คือคำตอบ!
ตอนนี้คุณสามารถจัดการกับสมการ ระบบใดก็ได้ และยิ่งกว่านั้น อสมการใดๆ ก็ตาม!
สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการโดยใช้กราฟฟังก์ชัน:
- มาแสดงออกผ่าน
- มากำหนดประเภทของฟังก์ชันกันดีกว่า
- มาสร้างกราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์กัน
- ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน
- มาเขียนคำตอบให้ถูกต้อง (โดยคำนึงถึง ODZ และสัญญาณความไม่เท่าเทียมกัน)
- ลองตรวจสอบคำตอบกัน (แทนรากลงในสมการหรือระบบ)
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างกราฟฟังก์ชัน โปรดดูหัวข้อ “”
กลับไปข้างหน้า
ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ ถ้าคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม
เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- ดำเนินการพัฒนาทักษะในการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีกราฟิกต่อไป
- ดำเนินการวิจัยและสรุปเกี่ยวกับจำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองอัน
- พัฒนาความสนใจในเรื่องผ่านการเล่น
ระหว่างชั้นเรียน
1. เวลาจัดงาน(การประชุมวางแผน)- 2 นาที.
- สวัสดีตอนบ่าย! เรากำลังเริ่มการประชุมการวางแผนแบบดั้งเดิมของเรา เรามีความยินดีที่จะต้อนรับทุกคนที่มาเยี่ยมชมเราในวันนี้ในห้องปฏิบัติการของเรา (ฉันเป็นตัวแทนของแขก) ห้องปฏิบัติการของเราชื่อ: “ทำงานด้วยความสนใจและความยินดี”(กำลังแสดงสไลด์ที่ 2) ชื่อนี้ทำหน้าที่เป็นคำขวัญในการทำงานของเรา “สร้างสรรค์ ตัดสินใจ เรียนรู้ บรรลุผลด้วยความสนใจและความสุข" เรียนแขกทุกท่าน ฉันขอนำเสนอหัวหน้าห้องปฏิบัติการของเรา (สไลด์ 3)
ห้องปฏิบัติการของเรามีส่วนร่วมในการศึกษาผลงานทางวิทยาศาสตร์ การวิจัย การตรวจสอบ และการสร้างสรรค์โครงการสร้างสรรค์
วันนี้หัวข้อสนทนาของเราคือ “คำตอบเชิงกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น” (ฉันแนะนำให้เขียนหัวข้อของบทเรียน)
โปรแกรมประจำวัน:(สไลด์ 4)
1. การประชุมวางแผน
2. ขยายสภาวิชาการ:
- สุนทรพจน์ในหัวข้อ
- การอนุญาตให้ทำงาน
3. ความเชี่ยวชาญ
4. การวิจัยและการค้นพบ
5. โครงการสร้างสรรค์
6. รายงาน
7. การวางแผน
2. การซักถามและงานปากเปล่า (ขยายสภาวิชาการ)- 10 นาที
– วันนี้เรากำลังจัดสภาวิทยาศาสตร์ที่ขยายออกไป ซึ่งไม่เพียงแต่มีหัวหน้าแผนกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมาชิกทุกคนในทีมของเราด้วย ห้องปฏิบัติการเพิ่งเริ่มทำงานในหัวข้อ: “คำตอบเชิงกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น” เราต้องพยายามบรรลุความสำเร็จสูงสุดในเรื่องนี้ ห้องปฏิบัติการของเราควรมีชื่อเสียงในด้านคุณภาพของการวิจัยในหัวข้อนี้ ในฐานะนักวิจัยอาวุโส ฉันขอให้ทุกคนโชคดี!
ผลการวิจัยจะถูกรายงานต่อหัวหน้าห้องปฏิบัติการ
พื้นรายงานการแก้ระบบสมการคือ... (ผมเรียกนักเรียนไปที่กระดาน) ฉันให้งาน (การ์ด 1)
และผู้ช่วยห้องปฏิบัติการ... (ฉันบอกนามสกุล) จะเตือนคุณถึงวิธีสร้างกราฟฟังก์ชันด้วยโมดูลัส ผมให้ใบที่ 2 ครับ
การ์ด 1(วิธีแก้ปัญหาสำหรับงานในสไลด์ 7)
แก้ระบบสมการ:
การ์ด 2(วิธีแก้ปัญหาสำหรับงานในสไลด์ 9)
สร้างกราฟฟังก์ชัน: y = | 1.5x – 3 |
ขณะที่เจ้าหน้าที่กำลังเตรียมรายงาน ฉันจะตรวจสอบว่าคุณพร้อมแค่ไหนในการทำวิจัยให้เสร็จ คุณแต่ละคนจะต้องได้รับอนุญาตในการทำงาน (เราเริ่มนับปากเปล่าโดยจดคำตอบลงในสมุดบันทึก)
การอนุญาตให้ทำงาน(งานในสไลด์ 5 และ 6)
1) ด่วน ที่ผ่าน เอ็กซ์:
3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)
2) แก้สมการ:
5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)
3) กำหนดระบบสมการ:
คู่ตัวเลขใด (– 1; 1) หรือ (1; – 1) คือคำตอบของระบบสมการนี้
คำตอบ: (1; – 1)
ทันทีหลังจากการคำนวณแบบปากเปล่าแต่ละส่วน นักเรียนแลกเปลี่ยนสมุดบันทึก (โดยมีนักเรียนนั่งถัดจากพวกเขาในส่วนเดียวกัน) คำตอบที่ถูกต้องจะปรากฏบนสไลด์ กรรมการให้บวกหรือลบ เมื่อสิ้นสุดงาน หัวหน้าแผนกจะป้อนผลลัพธ์ลงในตารางสรุป (ดูด้านล่าง) แต่ละตัวอย่างให้ 1 คะแนน (สามารถรับได้ 9 คะแนน)
ผู้ที่ได้รับคะแนนตั้งแต่ 5 คะแนนขึ้นไปจะได้รับอนุญาตให้ทำงานได้ ส่วนที่เหลือจะได้รับการรับเข้าเรียนแบบมีเงื่อนไขเช่น จะต้องทำงานภายใต้การดูแลของหัวหน้าแผนก
ตาราง (กรอกโดยเจ้านาย)
(ตารางจะออกก่อนเริ่มบทเรียน)
หลังจากรับเข้าเรียนแล้ว เราก็ฟังคำตอบของนักเรียนบนกระดานดำ ในส่วนของคำตอบ นักเรียนจะได้รับ 9 คะแนน หากตอบได้ครบถ้วน (จำนวนสูงสุดในการรับสมัคร) จะได้รับ 4 คะแนน หากตอบไม่ครบ คะแนนจะถูกป้อนลงในคอลัมน์ "การรับเข้าเรียน"
ถ้าอยู่บนกระดาน. วิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องจากนั้นสไลด์ 7 และ 9 อาจไม่แสดง หากวิธีแก้ปัญหาถูกต้องแต่ไม่ได้ดำเนินการอย่างชัดเจน หรือวิธีแก้ปัญหาไม่ถูกต้อง จะต้องแสดงสไลด์พร้อมคำอธิบาย
ฉันจะแสดงสไลด์ 8 ต่อจากคำตอบของนักเรียนบนการ์ด 1 เสมอ ในสไลด์นี้ ข้อสรุปมีความสำคัญสำหรับบทเรียน
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิก:
- แสดง y ในรูปของ x ในแต่ละสมการของระบบ
- วาดกราฟแต่ละสมการของระบบ
- ค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของกราฟ
- ดำเนินการตรวจสอบ (ฉันดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าวิธีกราฟิกมักจะให้คำตอบโดยประมาณ แต่หากจุดตัดของกราฟถึงจุดที่มีพิกัดทั้งหมด คุณสามารถตรวจสอบและรับคำตอบที่แน่นอนได้)
- เขียนคำตอบ.
3. แบบฝึกหัด (สอบ)- 5 นาที.
เมื่อวานนี้มีข้อผิดพลาดร้ายแรงเกิดขึ้นในการทำงานของพนักงานบางคน วันนี้คุณมีความสามารถมากขึ้นในเรื่องของโซลูชั่นกราฟิกแล้ว คุณได้รับเชิญให้ทำการตรวจสอบแนวทางแก้ไขที่เสนอ ได้แก่ ค้นหาข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา สไลด์ที่ 10 แสดงขึ้นมา
งานกำลังดำเนินอยู่ในแผนกต่างๆ (แจกสำเนางานที่มีข้อผิดพลาดให้แต่ละโต๊ะ ในแต่ละแผนก พนักงานจะต้องค้นหาข้อผิดพลาดและเน้นหรือแก้ไข; สำเนาจะต้องส่งมอบให้กับนักวิจัยอาวุโส ได้แก่ ครู) เจ้านายเพิ่ม 2 คะแนนให้กับผู้ที่พบและแก้ไขข้อผิดพลาด จากนั้นเราจะหารือเกี่ยวกับข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นและระบุไว้ในสไลด์ที่ 10
ข้อผิดพลาด 1
แก้ระบบสมการ:
คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
นักเรียนจะต้องลากเส้นต่อไปจนกว่าจะตัดกันและได้รับคำตอบ: (– 2; 1)
ข้อผิดพลาด 2
แก้ระบบสมการ:
คำตอบ: (1; 4)
นักเรียนจะต้องค้นหาข้อผิดพลาดในการแปลงสมการแรกและแก้ไขให้ถูกต้องเมื่อวาดเสร็จแล้ว รับคำตอบอื่น: (2; 5)
4. การอธิบายเนื้อหาใหม่ (การวิจัยและการค้นพบ)– 12 นาที
ฉันแนะนำให้นักเรียนแก้สามระบบแบบกราฟิก นักเรียนแต่ละคนแก้ปัญหาอย่างอิสระในสมุดบันทึก เฉพาะผู้ที่มีเงื่อนไขเคลียร์เท่านั้นที่สามารถปรึกษาได้
สารละลาย
หากไม่มีการวาดกราฟจะเห็นได้ชัดว่าเส้นตรงจะตรงกัน
สไลด์ 11 แสดงโซลูชันระบบ คาดว่านักเรียนจะมีปัญหาในการเขียนคำตอบตามตัวอย่างที่ 3 หลังจากทำงานในแผนกแล้วเราจะตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา (เจ้านายบวก 2 คะแนนหากตอบถูก) ตอนนี้ถึงเวลามาคุยกันว่าระบบสมการเชิงเส้นสองสมการจะมีคำตอบได้กี่ข้อ
นักเรียนจะต้องสรุปด้วยตนเองและอธิบายโดยระบุกรณีของตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นบนเครื่องบิน (สไลด์ 12)
5. โครงการสร้างสรรค์ (แบบฝึกหัด)– 12 นาที
งานที่ได้รับมอบหมายสำหรับแผนก เจ้านายมอบส่วนหนึ่งของผลงานให้กับผู้ช่วยห้องปฏิบัติการแต่ละคนตามความสามารถของเขา
แก้ระบบสมการแบบกราฟิก:
หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว นักศึกษาจะได้รับระบบ:
หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว สมการแรกจะมีลักษณะดังนี้: y = 2/3x + 4
6. รายงาน (ตรวจสอบความสมบูรณ์ของงาน)- 2 นาที.
หลังจากเสร็จสิ้นโครงงานสร้างสรรค์ นักเรียนส่งสมุดบันทึก ในสไลด์ที่ 13 ฉันแสดงให้เห็นว่าควรเกิดอะไรขึ้น ผู้บังคับบัญชายื่นโต๊ะให้ ครูกรอกคอลัมน์สุดท้ายและทำเครื่องหมาย (คะแนนสามารถสื่อสารกับนักเรียนในบทเรียนถัดไป) ในโครงการนี้ การแก้ปัญหาของระบบแรกจะได้รับการประเมินด้วยสามคะแนน และครั้งที่สอง - ด้วยสี่คะแนน
7. การวางแผน (สรุปและทำการบ้าน)- 2 นาที.
มาสรุปผลงานของเรากันดีกว่า เราทำผลงานได้ดี เราจะพูดคุยเฉพาะเกี่ยวกับผลลัพธ์ในวันพรุ่งนี้ในการประชุมการวางแผน แน่นอนว่าผู้ช่วยในห้องปฏิบัติการทุกคนเชี่ยวชาญวิธีการแก้ระบบสมการแบบกราฟิกและเรียนรู้ว่าระบบสามารถมีวิธีแก้ปัญหาได้กี่ข้อ พรุ่งนี้พวกคุณแต่ละคนจะมีโปรเจ็กต์ส่วนตัว สำหรับการเตรียมการเพิ่มเติม: ย่อหน้าที่ 36; 647-649(2); ทำซ้ำวิธีวิเคราะห์เพื่อแก้ระบบ 649(2) และแก้เชิงวิเคราะห์
งานของเราได้รับการดูแลตลอดทั้งวันโดย Nouman Nou Manovich ผู้อำนวยการห้องปฏิบัติการ เขามีพื้น (แสดงสไลด์สุดท้าย)
ระดับการให้คะแนนโดยประมาณ
| เครื่องหมาย | ความอดทน | ความเชี่ยวชาญ | ศึกษา | โครงการ | ทั้งหมด |
| 3 | 5 | 2 | 2 | 2 | 11 |
| 4 | 7 | 2 | 4 | 3 | 16 |
| 5 | 9 | 3 | 5 | 4 | 21 |
บทเรียนวิดีโอ “วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการ” นำเสนอ สื่อการศึกษาเพื่อเชี่ยวชาญหัวข้อนี้ วัสดุประกอบด้วย แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการพร้อมทั้งคำอธิบายโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่างวิธีการแก้ระบบสมการแบบกราฟิก
เครื่องช่วยการมองเห็นใช้แอนิเมชั่นเพื่อทำให้ใช้งานง่ายขึ้นและ การดำเนินการที่ชัดเจนการก่อสร้างอีกด้วย วิธีทางที่แตกต่างเน้นแนวคิดและรายละเอียดที่สำคัญเพื่อความเข้าใจเนื้อหาในเชิงลึกและการท่องจำที่ดีขึ้น
บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อ นักเรียนจะได้รับการเตือนว่าระบบสมการคืออะไร และระบบสมการใดที่พวกเขาคุ้นเคยอยู่แล้วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ก่อนหน้านี้ นักเรียนต้องแก้ระบบสมการในรูป ax+by=c เพิ่มแนวคิดของการแก้ระบบสมการให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นและเพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้สมการ บทเรียนวิดีโอนี้จะตรวจสอบการแก้ของระบบที่ประกอบด้วยสมการสองสมการของดีกรีที่สอง รวมถึงสมการหนึ่งของดีกรีที่สองและสมการที่สอง ระดับแรก เรานึกถึงสิ่งที่การแก้ระบบสมการคืออะไร คำจำกัดความของการแก้ปัญหาของระบบเป็นคู่ของค่าของตัวแปรที่กลับสมการของมันเมื่อแทนที่เป็นความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องจะแสดงบนหน้าจอ ตามคำจำกัดความของโซลูชันระบบ มีการระบุงาน มันแสดงบนหน้าจอเพื่อจำไว้ว่าการแก้ระบบหมายถึงการค้นหา โซลูชั่นที่เหมาะสมหรือพิสูจน์การไม่มีตัวตนของพวกเขา
มีการเสนอให้เชี่ยวชาญวิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการบางอย่าง แอปพลิเคชัน วิธีนี้ถือว่าใช้ตัวอย่างการแก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการ x 2 +y 2 =16 และ y=-x 2 +2x+4 คำตอบแบบกราฟิกของระบบเริ่มต้นด้วยการวางแผนแต่ละสมการเหล่านี้ แน่นอนว่ากราฟของสมการ x 2 + y 2 = 16 จะเป็นวงกลม จุดที่อยู่ในวงกลมที่กำหนดคือคำตอบของสมการ ถัดจากสมการ วงกลมรัศมี 4 ที่มีศูนย์กลาง O ที่จุดกำเนิดจะถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัด กราฟของสมการที่สองคือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านลดลง พาราโบลาที่สอดคล้องกับกราฟของสมการนี้สร้างขึ้นบนระนาบพิกัด จุดใดๆ ที่เป็นของพาราโบลาแทนการแก้สมการ y = -x 2 + 2x + 4 อธิบายว่าคำตอบของระบบสมการคือจุดบนกราฟที่อยู่ในกราฟของทั้งสองสมการพร้อมกัน ซึ่งหมายความว่าจุดตัดของกราฟที่สร้างขึ้นจะเป็นคำตอบของระบบสมการ
สังเกตว่าวิธีการแบบกราฟิกประกอบด้วยการค้นหาค่าโดยประมาณของพิกัดของจุดที่อยู่ที่จุดตัดของกราฟสองกราฟ ซึ่งสะท้อนถึงชุดคำตอบของสมการแต่ละสมการของระบบ รูปนี้แสดงพิกัดของจุดตัดที่พบของกราฟทั้งสอง: A, B, C, D[-2;-3.5] จุดเหล่านี้เป็นคำตอบของระบบสมการที่พบเป็นภาพกราฟิก คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้โดยการแทนที่พวกมันลงในสมการและรับความเท่าเทียมกันที่ยุติธรรม หลังจากแทนจุดต่างๆ ลงในสมการแล้ว ก็ชัดเจนว่าบางจุดให้ค่าที่แน่นอนของการแก้ปัญหา และบางจุดแทนค่าโดยประมาณของคำตอบในสมการ: x 1 = 0, y 1 = 4; x 2 =2, และ 2 µ3.5; x 3 µ3.5, y 3 = -2; x 4 = -2, y 4 µ-3.5
วิดีโอสอนจะอธิบายรายละเอียดสาระสำคัญและการประยุกต์วิธีการแก้ระบบสมการแบบกราฟิก ทำให้สามารถใช้เป็นวิดีโอสอนในบทเรียนพีชคณิตที่โรงเรียนเมื่อศึกษาหัวข้อนี้ เนื้อหานี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนในการศึกษาอย่างอิสระและสามารถช่วยอธิบายหัวข้อระหว่างการเรียนทางไกล
