งาน.
ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-5; 6) รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ค้นหาระหว่างจุด x 1, x 2, ..., x 7 จุดเหล่านั้นที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับศูนย์ ในการตอบสนองให้เขียนจำนวนคะแนนที่พบ
สารละลาย:
หลักการในการแก้ปัญหานี้คือ: มีพฤติกรรมที่เป็นไปได้สามประการของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้:
1) เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (อนุพันธ์มีมากกว่าศูนย์)
2) เมื่อฟังก์ชันลดลง (โดยที่อนุพันธ์น้อยกว่าศูนย์)
3) เมื่อฟังก์ชันไม่เพิ่มหรือลดลง (โดยที่อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่)
เราสนใจตัวเลือกที่สาม
อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์โดยที่ฟังก์ชันราบรื่นและไม่มีอยู่ที่จุดพัก ลองดูที่จุดเหล่านี้ทั้งหมด
x 1 - ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f′(x) >0
x 2 - ฟังก์ชันใช้เวลาน้อยที่สุดและราบรื่น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f ′(x) = 0
x 3 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาสูงสุด แต่เมื่อถึงจุดนี้มีการหยุดพักซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ฉ ′(x) ไม่มีอยู่
x 4 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาสูงสุด แต่เมื่อถึงจุดนี้มีการหยุดพักซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ฉ ′(x) ไม่มีอยู่
x 5 - อนุพันธ์ f ′(x) = 0
x 6 - ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f'(x) >0
x 7 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาน้อยที่สุดและราบรื่นซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ f ′(x) = 0
เราเห็นแล้วว่า f ′(x) = 0 ที่จุด x 2, x 5 และ x 7 รวมเป็น 3 คะแนน
การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์งานบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการศึกษากราฟของฟังก์ชัน ในปัญหาดังกล่าว จะมีการกำหนดกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) และมีคำถามที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นค่าบวก (หรือลบ) รวมถึงคำถามอื่นๆ ด้วย จัดเป็นงานในการประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน
การแก้ปัญหาดังกล่าวและในปัญหาทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยนั้นเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีความเข้าใจอย่างถ่องแท้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอนุพันธ์เพื่อศึกษากราฟของฟังก์ชันและอนุพันธ์ ดังนั้นฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณศึกษาทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง สามารถศึกษาและดูได้ (แต่มีบทสรุปสั้นๆ)
เราจะพิจารณาปัญหาที่ให้กราฟอนุพันธ์ในบทความหน้าด้วย อย่าพลาด! ดังนั้นภารกิจ:
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (−6; 8) กำหนด:
1. จำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ
2. จำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y = 2;
1. อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นลบในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง นั่นคือ ในช่วงเวลา (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8) ประกอบด้วยจุดจำนวนเต็ม −5, −4, 1, 2, 3, 4 และ 7 เราได้ 7 คะแนน
2. โดยตรง ย= 2 ขนานกับแกนโอ้ย= 2 เฉพาะที่จุดสุดขั้วเท่านั้น (จุดที่กราฟเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือกลับกัน) มีสี่จุดดังกล่าว: –3; 0; 4.2; 6.9
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
กำหนดจำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวก
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (−5; 5) กำหนด:
2. จำนวนจุดจำนวนเต็มซึ่งแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y = 3;
3. จำนวนจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์
1. จากคุณสมบัติของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นที่ทราบกันว่าเป็นบวกในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเช่น ในช่วงเวลา (1.4; 2.5) และ (4.4; 5) มีจุดจำนวนเต็มเพียงจุดเดียว x = 2
2. โดยตรง ย= 3 ขนานกับแกนโอ้. เส้นสัมผัสจะขนานกับเส้นตรงย= 3 เฉพาะที่จุดสุดขั้วเท่านั้น ( ณ จุดที่กราฟเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือกลับกัน)
มีสี่จุดดังกล่าว: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4
3. อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่สี่จุด (ที่จุดสุดขีด) เราได้ระบุไว้แล้ว
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
กำหนดจำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นลบ
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (−2; 12) หา:
1. จำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวก
2. จำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ
3. จำนวนจุดจำนวนเต็มซึ่งแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y = 2;
4. จำนวนจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์
1. จากคุณสมบัติของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นที่ทราบกันว่าเป็นบวกในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเช่น ในช่วงเวลา (–2; 1), (2; 4), (7; 9) และ ( 10; 11) ประกอบด้วยจุดจำนวนเต็ม: –1, 0, 3, 8 มีทั้งหมดสี่จุด
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นลบในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง นั่นคือ ในช่วงเวลา (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12) มีจำนวนเต็ม 5 และ 6 เราได้ 2 คะแนน
3. โดยตรง ย= 2 ขนานกับแกนโอ้. เส้นสัมผัสจะขนานกับเส้นตรงย= 2 เฉพาะที่จุดสุดขั้วเท่านั้น (จุดที่กราฟเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือกลับกัน) มีเจ็ดประเด็นดังกล่าว: 1; 2; 4; 7; 9; 10; สิบเอ็ด
4. อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่เจ็ดจุด (ที่จุดสุดขีด) เราได้ระบุไว้แล้ว
ยิ่งกว่านั้น infinitesimal คือค่าเล็กน้อยของลำดับที่ต่ำกว่าค่า infinitesimal
คำจำกัดความ 3. ถ้าอัตราส่วนของสองตัวที่เล็กที่สุด / มีแนวโน้มที่จะรวมกัน กล่าวคือ lim / 1 แล้วพวกมันจะน้อยมากและเรียกว่าเทียบเท่า
เทปไม่มีขอบเขตและเขียน.
ตัวอย่างที่ 2.24 ให้ =x, = ln(1+ x) โดยที่ x 0 มีค่าน้อยมากและเทียบเท่า เนื่องจาก
จริง(1x) |
ln(1 x ) ลิม ln[(1 x )1/ x ]. |
|||||
x 0 x |
เรานำเสนอค่าเล็กน้อยที่เทียบเท่ากันหลายค่าโดยไม่มีการได้มา ซึ่งการใช้ค่านี้ทำให้การคำนวณขีดจำกัดง่ายขึ้นมาก:
x บาป x, x แทน x, x อาร์คซิน x, x อาร์กแทน x, x อี x 1
3. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว
3.1. คำจำกัดความของอนุพันธ์และความหมายทางเรขาคณิต
ขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน y ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ x ที่ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นนี้ที่ x 0 เช่น
ฉ(x0 |
x)ฉ(x0) |
||||
เรียกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ในรูปของตัวแปรอิสระ x
กำหนด |
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า |
|||||
ดีเอ็กซ์ |
||||||
ฉ(x) |
วายุต ความแตกต่าง
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ที่ลากไปยังเส้นโค้ง y = f (x) ที่จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
ทฤษฎีบท 2 ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของการผลิตได้
โนอาห์ เช่น ถ้า y cf (x) โดยที่ c = const แล้ว |
||||||
CF(x) . |
||||||
ทฤษฎีบท 3 อนุพันธ์ของผลรวมของอนุพันธ์จำนวนจำกัด |
||||||
ฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ |
เหล่านั้น. ถ้าคุณ (x) v (x) |
|||||
คุณ (x) โวลต์ (x) . |
||||||
ทฤษฎีบท 4 อนุพันธ์ |
ทำงาน |
สองอนุพันธ์ |
ฟังก์ชันจะเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกคูณด้วยฟังก์ชันที่สอง บวกกับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สองด้วยฟังก์ชันแรก นั่นคือ ถ้าคุณเป็นอย่างนั้น
คุณ คุณ คุณ |
ทฤษฎีบท 5 อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันจะเท่ากับเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนเท่ากับกำลังสองของตัวส่วน และตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนกับผลคูณ
ตัวส่วนน้ำถึงตัวเศษ เช่น ถ้า |
||||||
3.3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อน y=f (x) ถูกกำหนดไว้ เช่น เพื่อให้สามารถแสดงในรูปแบบต่อไปนี้: y=F (u), u =φ (x) หรือ y=F (φ (x)) ในนิพจน์ y=F (u) ตัวแปร u เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง
ทฤษฎีบท. ถ้า u=φ (x) มีอนุพันธ์ u x (x) ณ จุดใดจุดหนึ่ง x |
|||||||
ฟังก์ชัน F (u) มีที่ |
เหมาะสม |
คุณมีค่า |
อนุพันธ์ |
||||
คุณ F (u) ดังนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน y=F (φ (x)) ที่จุดที่ระบุ x ก็มีเช่นกัน |
|||||||
อนุพันธ์ซึ่งเท่ากับ |
ที่ไหนแทนคุณ |
จะต้องมี |
|||||
ใช่ x ฟู |
(ยู) x (x) |
นิพจน์ u=φ(x) จะถูกแทนที่
3.4. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน
มารวมสูตรพื้นฐานและกฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดไว้ในตารางเดียว
ใช่แล้ว |
ใช่" 0. |
|||||||||
ใช่แล้ว |
ย" นxn 1 . |
|||||||||
ใช่ |
ใช่"1. |
|||||||||
คุณบาป x |
ย " เพราะ x . |
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากในหลักสูตรของโรงเรียน ไม่ใช่ผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนจะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร
บทความนี้จะอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี. ตอนนี้เราจะไม่มุ่งมั่นเพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการนำเสนอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจความหมาย
จำคำจำกัดความ:
อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสาม คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วกว่ากัน?
คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด
นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง
Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในระหว่างปี:
กราฟแสดงทุกอย่างพร้อมกันใช่ไหม? รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าสองเท่าในช่วงหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกันแต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของ Matvey ก็ลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขการเริ่มต้นจะเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันก็คือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey โดยทั่วไปอนุพันธ์ของรายได้ของเขาจะเป็นลบ
โดยสัญชาตญาณ เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?
สิ่งที่เรากำลังดูอยู่จริงๆ คือกราฟของฟังก์ชันจะขึ้น (หรือลง) ชันแค่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x เปลี่ยน? แน่นอนว่าฟังก์ชันเดียวกันที่จุดต่างกันสามารถมีค่าอนุพันธ์ต่างกันได้ กล่าวคือ สามารถเปลี่ยนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้
อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้
เราจะแสดงวิธีค้นหาโดยใช้กราฟ
มีการวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างแล้ว มาดูประเด็นที่มีแอบซิสซากัน ให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประมาณว่ากราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นชันเพียงใด ความคุ้มค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้
โปรดทราบว่าเนื่องจากมุมเอียงของแทนเจนต์ เราจะใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน
บางครั้งนักเรียนถามว่าค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่คือเส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดเดียวกับกราฟในส่วนนี้ และดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนเส้นสัมผัสกันของวงกลม
มาหากันเถอะ เราจำได้ว่าค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด จากรูปสามเหลี่ยม:
เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ ปัญหาดังกล่าวมักพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตามหมายเลข
มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ
ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง. มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน
.
เราเข้าใจแล้ว
เรามาจำสูตรนี้กัน เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น
กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์
เราได้บอกไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างกันได้ เรามาดูกันว่าอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร
ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ปล่อยให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่และลดในบางพื้นที่และในอัตราที่ต่างกัน และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด
เมื่อถึงจุดหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุดจะสร้างมุมแหลมโดยมีทิศทางบวกของแกน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นบวก
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้ทำให้เกิดมุมป้านโดยมีทิศทางบวกของแกน เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ อนุพันธ์ ณ จุดนั้นจึงเป็นลบ
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:
หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก
ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ
จะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่จุด (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) เส้นสัมผัสกันเป็นแนวนอน ดังนั้นแทนเจนต์ของแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน
จุด - จุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จึงเปลี่ยน ณ จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"
ณ จุด - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"
สรุป: การใช้อนุพันธ์ทำให้เราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน
หากอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น
ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง
ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์จะเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ"
ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "ลบ" เป็น "บวก"
มาเขียนข้อสรุปเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:
เพิ่มขึ้น | จุดสูงสุด | ลดลง | จุดต่ำสุด | เพิ่มขึ้น | |
+ | 0 | - | 0 | + |
ขอชี้แจงเล็กๆ น้อยๆ สองเรื่อง คุณจะต้องมีหนึ่งในนั้นเมื่อแก้ไขปัญหา USE อีกอย่างคือในปีแรกที่มีการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น
เป็นไปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า :
ณ จุดหนึ่ง เส้นสัมผัสของกราฟจะเป็นแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุด ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นต่อไป เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม
นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นว่า ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์อยู่ บนกราฟ สิ่งนี้สอดคล้องกับการหักกะทันหัน เมื่อไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดที่กำหนดได้
จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่ถูกกำหนดโดยสูตร? ในกรณีนี้จะใช้ได้
ปัญหา B9 ให้กราฟของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ที่คุณต้องการหาปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อไปนี้:
- มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0
- คะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด (คะแนนสุดขีด)
- ช่วงของฟังก์ชันการเพิ่มและลด (ช่วงของความน่าเบื่อ)
ฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่นำเสนอในปัญหานี้มีความต่อเนื่องกันอยู่เสมอ ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก แม้ว่างานนี้จะอยู่ในส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่แม้แต่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุดก็สามารถทำได้ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีความรู้เชิงทฤษฎีเชิงลึกที่นี่
ในการค้นหาค่าของอนุพันธ์ จุดสุดขั้ว และช่วงความซ้ำซ้อน มีอัลกอริธึมที่ง่ายและเป็นสากล - ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงด้านล่าง
อ่านเงื่อนไขของปัญหา B9 อย่างละเอียดเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดโง่ๆ: บางครั้งคุณอาจเจอข้อความที่ค่อนข้างยาว แต่มีเงื่อนไขสำคัญบางประการที่ส่งผลต่อแนวทางการแก้ปัญหา
การคำนวณมูลค่าอนุพันธ์ วิธีสองจุด
หากปัญหาได้รับกราฟของฟังก์ชัน f(x) แทนเจนต์กับกราฟนี้ที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 และจำเป็นต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ อัลกอริทึมต่อไปนี้จะถูกนำไปใช้:
- ค้นหาจุด "เพียงพอ" สองจุดบนกราฟแทนเจนต์: พิกัดของมันต้องเป็นจำนวนเต็ม ลองแสดงจุดเหล่านี้เป็น A (x 1 ; y 1) และ B (x 2 ; y 2) จดพิกัดให้ถูกต้อง - นี่คือประเด็นสำคัญในการแก้ปัญหา และข้อผิดพลาดใดๆ ที่จะนำไปสู่คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
- เมื่อรู้พิกัดแล้ว ง่ายต่อการคำนวณการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx = x 2 − x 1 และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δy = y 2 − y 1 .
- ในที่สุด เราก็พบค่าของอนุพันธ์ D = Δy/Δx กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องหารการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ และนี่จะเป็นคำตอบ
โปรดทราบอีกครั้ง: จะต้องค้นหาจุด A และ B บนเส้นสัมผัสกันอย่างแม่นยำ ไม่ใช่บนกราฟของฟังก์ชัน f(x) ดังที่มักเกิดขึ้น เส้นสัมผัสกันจะต้องมีจุดดังกล่าวอย่างน้อยสองจุด มิฉะนั้นโจทย์จะกำหนดไม่ถูกต้อง
พิจารณาจุด A (−3; 2) และ B (−1; 6) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4
มาหาค่าของอนุพันธ์กันดีกว่า: D = Δy/Δx = 4/2 = 2
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .
พิจารณาจุด A (0; 3) และ B (3; 0) ค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3
ตอนนี้เราพบค่าของอนุพันธ์แล้ว: D = Δy/Δx = −3/3 = −1
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .
พิจารณาจุด A (0; 2) และ B (5; 2) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0
ยังคงต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = 0/5 = 0
จากตัวอย่างสุดท้าย เราสามารถกำหนดกฎได้: ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน OX อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์จะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องนับอะไรเลย เพียงแค่ดูกราฟ
การคำนวณคะแนนสูงสุดและต่ำสุด
บางครั้ง แทนที่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน ปัญหา B9 จะให้กราฟของอนุพันธ์ และจำเป็นต้องค้นหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ในสถานการณ์นี้ วิธีสองจุดไม่มีประโยชน์ แต่มีอัลกอริธึมอื่นที่ง่ายกว่าด้วยซ้ำ ขั้นแรก เรามากำหนดคำศัพท์กันก่อน:
- จุด x 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≥ f(x)
- จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≤ f(x)
หากต้องการค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดจากกราฟอนุพันธ์ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
- เขียนกราฟอนุพันธ์ใหม่ โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกทั้งหมด ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ข้อมูลที่ไม่จำเป็นจะรบกวนการตัดสินใจเท่านั้น ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์บนแกนพิกัด - เท่านี้ก็เรียบร้อย
- ค้นหาสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ ถ้าในบางจุด x 0 ทราบว่า f'(x 0) ≠ 0 แสดงว่าเป็นไปได้เพียงสองตัวเลือกเท่านั้น: f'(x 0) ≥ 0 หรือ f'(x 0) ≤ 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์คือ ระบุได้ง่ายจากภาพวาดต้นฉบับ: หากกราฟอนุพันธ์อยู่เหนือแกน OX ดังนั้น f'(x) ≥ 0 และในทางกลับกัน หากกราฟอนุพันธ์อยู่ใต้แกน OX ดังนั้น f'(x) ≤ 0
- เราตรวจสอบศูนย์และสัญญาณของอนุพันธ์อีกครั้ง โดยที่เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวกคือจุดต่ำสุด ในทางกลับกัน หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด การนับจะทำจากซ้ายไปขวาเสมอ
รูปแบบนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น - ไม่มีฟังก์ชันอื่นในปัญหา B9
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−5; 5]. ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้
กำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกไปและเหลือเพียงขอบเขต [−5; 5] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −3 และ x = 2.5 เรายังสังเกตสัญญาณ:
แน่นอนว่า ณ จุด x = −3 เครื่องหมายของอนุพันธ์จะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก นี่คือจุดต่ำสุด
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7]. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้
ลองวาดกราฟใหม่โดยเหลือเพียงขอบเขต [−3; 7] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.7 และ x = 5 ให้เราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์บนกราฟผลลัพธ์ เรามี:
เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = 5 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ - นี่คือจุดสูงสุด
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−6; 4]. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่อยู่ในเซกเมนต์ [−4; 3].
จากเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปตามว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนของกราฟที่ถูกจำกัดโดยเซ็กเมนต์ [−4; 3]. ดังนั้นเราจึงสร้างกราฟใหม่โดยทำเครื่องหมายเฉพาะขอบเขต [−4; 3] และศูนย์ของอนุพันธ์ข้างใน กล่าวคือ คะแนน x = −3.5 และ x = 2 เราได้รับ:
บนกราฟนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว x = 2 ณ จุดนี้เองที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ
หมายเหตุเล็กๆ เกี่ยวกับจุดที่มีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในโจทย์ข้อสุดท้ายถือว่าจุด x = −3.5 แต่ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราก็สามารถหา x = −3.4 ได้ หากรวบรวมปัญหาได้อย่างถูกต้องการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ควรส่งผลกระทบต่อคำตอบเนื่องจากประเด็น "ไม่มีที่อยู่อาศัยถาวร" ไม่ได้มีส่วนร่วมในการแก้ไขปัญหาโดยตรง แน่นอนว่าเคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนเต็ม
การหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง
ในปัญหาดังกล่าว เช่น จุดสูงสุดและต่ำสุด ขอเสนอให้ใช้กราฟอนุพันธ์เพื่อค้นหาพื้นที่ที่ฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลง ก่อนอื่น เรามานิยามกันว่าการเพิ่มขึ้นและลดลงคืออะไร:
- ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าอาร์กิวเมนต์มากขึ้น ค่าฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้นตามไปด้วย
- ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่ากำลังลดลงบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . เหล่านั้น. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่น้อยกว่า
ให้เรากำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง:
- เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) เพิ่มขึ้นในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นค่าบวก เช่น ฉ’(x) ≥ 0
- เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ลดลงในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นลบเช่น ฉ’(x) ≤ 0.
ให้เรายอมรับข้อความเหล่านี้โดยไม่มีหลักฐาน ดังนั้นเราจึงได้โครงร่างสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงซึ่งคล้ายกับอัลกอริทึมในการคำนวณจุดสุดขั้วหลายประการ:
- ลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นทั้งหมด ในกราฟดั้งเดิมของอนุพันธ์ เราสนใจศูนย์ของฟังก์ชันเป็นหลัก ดังนั้นเราจะเหลือไว้เพียงศูนย์เท่านั้น
- ทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ เมื่อ f’(x) ≥ 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ f’(x) ≤ 0 ฟังก์ชันจะลดลง หากปัญหาทำให้เกิดข้อจำกัดกับตัวแปร x เราจะทำเครื่องหมายตัวแปรเหล่านั้นบนกราฟใหม่เพิ่มเติม
- ตอนนี้เรารู้พฤติกรรมของฟังก์ชันและข้อจำกัดแล้ว เหลือเพียงการคำนวณปริมาณที่ต้องการในปัญหา
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7.5]. ค้นหาช่วงการลดลงของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้
ตามปกติ เราจะวาดกราฟใหม่และทำเครื่องหมายขอบเขต [−3; 7.5] เช่นเดียวกับศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.5 และ x = 5.3 จากนั้นเราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์ เรามี:
เนื่องจากอนุพันธ์เป็นลบในช่วงเวลา (− 1.5) นี่คือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงต้องรวมจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลานี้:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−10; 4]. ค้นหาช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด
มากำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นกันเถอะ ให้เราเหลือเพียงขอบเขต [−10; 4] และศูนย์ของอนุพันธ์ ซึ่งคราวนี้มีสี่ตัว: x = −8, x = −6, x = −3 และ x = 2 ลองทำเครื่องหมายเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วได้ภาพต่อไปนี้:
เราสนใจช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เช่น โดยที่ f’(x) ≥ 0 มีช่วงเวลาดังกล่าวสองช่วงบนกราฟ: (−8; −6) และ (−3; 2) มาคำนวณความยาวกัน:
ลิตร 1 = − 6 − (−8) = 2;
ลิตร 2 = 2 − (−3) = 5
เนื่องจากเราจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด เราจึงเขียนค่า l 2 = 5 เป็นคำตอบ