ให้เราเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบและพล็อตค่าของอาร์กิวเมนต์บนแกน abscissa เอ็กซ์และบนพิกัด - ค่าของฟังก์ชัน ย = ฉ(x).
กราฟฟังก์ชัน ย = ฉ(x)คือเซตของจุดทั้งหมดที่มี abscissas อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน และพิกัดจะเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน
กล่าวอีกนัยหนึ่ง กราฟของฟังก์ชัน y = f (x) คือเซตของจุดทุกจุดของระนาบ พิกัด เอ็กซ์, ที่ซึ่งสนองความสัมพันธ์ ย = ฉ(x).
ในรูป 45 และ 46 แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = 2x + 1และ y = x 2 - 2x.
พูดอย่างเคร่งครัด เราควรแยกแยะระหว่างกราฟของฟังก์ชัน (คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนซึ่งให้ไว้ข้างต้น) และเส้นโค้งที่วาด ซึ่งมักจะให้เฉพาะภาพร่างของกราฟที่แม่นยำไม่มากก็น้อยเท่านั้น (และถึงอย่างนั้น ตามกฎแล้ว ไม่ใช่กราฟทั้งหมด แต่เป็นเพียงส่วนที่อยู่ในส่วนสุดท้ายของระนาบ) อย่างไรก็ตาม ต่อไปนี้ โดยทั่วไปเราจะพูดว่า "กราฟ" มากกว่า "ภาพร่างกราฟ"
เมื่อใช้กราฟ คุณสามารถค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งได้ กล่าวคือถ้าประเด็น x = กอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)แล้วจึงไปหาหมายเลข ฉ(ก)(เช่น ค่าฟังก์ชัน ณ จุด x = ก) คุณควรทำเช่นนี้ จำเป็นต้องผ่านจุดแอบซิสซา x = กวาดเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด เส้นนี้จะตัดกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)ณ จุดหนึ่ง; พิกัดของจุดนี้จะเท่ากับตามคำจำกัดความของกราฟ ฉ(ก)(รูปที่ 47)
ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 - 2xจากกราฟ (รูปที่ 46) เราจะพบว่า f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 เป็นต้น
กราฟฟังก์ชันแสดงให้เห็นพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันอย่างชัดเจน เช่น จากการพิจารณาตามรูป 46 ชัดเจนว่าฟังก์ชันนี้ y = x 2 - 2xยอมรับ ค่าบวกที่ เอ็กซ์< 0 และที่ x > 2, ลบ - ที่ 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xยอมรับที่ x = 1.
การสร้างกราฟฟังก์ชัน ฉ(x)คุณต้องค้นหาจุดทั้งหมดของเครื่องบินพิกัด เอ็กซ์,ที่ซึ่งเป็นไปตามสมการ ย = ฉ(x). ในกรณีส่วนใหญ่ สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ เนื่องจากมีจุดดังกล่าวจำนวนอนันต์ ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันจึงแสดงออกมาโดยประมาณ - โดยมีความแม่นยำไม่มากก็น้อย วิธีที่ง่ายที่สุดคือวิธีการพล็อตกราฟโดยใช้หลายจุด ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่โต้แย้งว่า เอ็กซ์ให้ค่าจำนวนจำกัด - พูด x 1, x 2, x 3,..., xk และสร้างตารางที่มีค่าฟังก์ชันที่เลือก
ตารางมีลักษณะดังนี้:
เมื่อรวบรวมตารางดังกล่าวแล้ว เราสามารถร่างจุดต่างๆ บนกราฟของฟังก์ชันได้ ย = ฉ(x). จากนั้นเมื่อเชื่อมต่อจุดเหล่านี้ด้วยเส้นเรียบเราจะได้มุมมองกราฟของฟังก์ชันโดยประมาณ ย = ฉ(x)
อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าวิธีการพล็อตแบบหลายจุดนั้นไม่น่าเชื่อถืออย่างมาก ในความเป็นจริง พฤติกรรมของกราฟระหว่างจุดที่ตั้งใจไว้และพฤติกรรมนอกส่วนระหว่างจุดที่สุดขั้วที่ได้มานั้นยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด
ตัวอย่างที่ 1. การสร้างกราฟฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มีคนรวบรวมตารางอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชัน:
ห้าจุดที่สอดคล้องกันจะแสดงอยู่ในรูปที่. 48.
จากตำแหน่งของจุดเหล่านี้ เขาสรุปว่ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรง (แสดงในรูปที่ 48 มีเส้นประ) ข้อสรุปนี้ถือว่าเชื่อถือได้หรือไม่? เว้นแต่จะมีข้อพิจารณาเพิ่มเติมเพื่อสนับสนุนข้อสรุปนี้ ก็แทบจะไม่ถือว่าเชื่อถือได้ เชื่อถือได้.
เพื่อยืนยันข้อความของเรา ให้พิจารณาฟังก์ชัน
.
การคำนวณแสดงให้เห็นว่าค่าของฟังก์ชันนี้ที่จุด -2, -1, 0, 1, 2 อธิบายไว้ในตารางด้านบนทุกประการ อย่างไรก็ตาม กราฟของฟังก์ชันนี้ไม่ใช่เส้นตรงเลย (ดังแสดงในรูปที่ 49) อีกตัวอย่างหนึ่งก็คือฟังก์ชัน y = x + l + ซินπx;ความหมายของมันมีอธิบายไว้ในตารางด้านบนด้วย
ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าในรูปแบบ "บริสุทธิ์" วิธีการพล็อตกราฟโดยใช้หลายจุดนั้นไม่น่าเชื่อถือ ดังนั้น หากต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ให้ดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก มีการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้ด้วยความช่วยเหลือซึ่งคุณสามารถสร้างภาพร่างของกราฟได้ จากนั้นโดยการคำนวณค่าของฟังก์ชันในหลาย ๆ จุด (ตัวเลือกซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่กำหนดของฟังก์ชัน) จะพบจุดที่สอดคล้องกันของกราฟ และสุดท้าย เส้นโค้งจะถูกลากผ่านจุดที่สร้างขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้
เราจะดูคุณสมบัติบางอย่าง (ที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุด) ของฟังก์ชันที่ใช้ในการค้นหาภาพร่างกราฟในภายหลัง แต่ตอนนี้เราจะดูวิธีการที่ใช้ทั่วไปในการสร้างกราฟ
กราฟของฟังก์ชัน y = |f(x)|
มักจำเป็นต้องพล็อตฟังก์ชัน ย = |ฉ(x)|, ที่ไหน ฉ(เอ็กซ์) -ฟังก์ชันที่กำหนด ให้เราเตือนคุณว่าสิ่งนี้ทำอย่างไร ด้วยการกำหนดค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข เราสามารถเขียนได้
ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชัน y =|ฉ(x)|หาได้จากกราฟฟังก์ชัน ย = ฉ(x)ดังนี้ จุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)ซึ่งมีลำดับที่ไม่เป็นลบก็ควรคงไว้ไม่เปลี่ยนแปลง ยิ่งไปกว่านั้น แทนที่จะเป็นจุดของกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)หากมีพิกัดลบ คุณควรสร้างจุดที่สอดคล้องกันบนกราฟของฟังก์ชัน ย = -ฉ(x)(เช่น ส่วนหนึ่งของกราฟของฟังก์ชัน
ย = ฉ(x)ซึ่งอยู่ใต้แกน เอ็กซ์,ควรสะท้อนรอบแกนอย่างสมมาตร เอ็กซ์).
ตัวอย่างที่ 2กราฟฟังก์ชัน ย = |x|.
ลองหากราฟของฟังก์ชันกัน ย = x(รูปที่ 50, ก) และส่วนหนึ่งของกราฟนี้ที่ เอ็กซ์< 0 (นอนอยู่ใต้แกน เอ็กซ์) สะท้อนอย่างสมมาตรสัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์. ผลลัพธ์ที่ได้คือกราฟของฟังก์ชัน ย = |x|(รูปที่ 50,ข).
ตัวอย่างที่ 3. กราฟฟังก์ชัน y = |x 2 - 2x|
ก่อนอื่น เรามาพลอตฟังก์ชันกันก่อน y = x 2 - 2xกราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน จุดยอดของพาราโบลามีพิกัด (1; -1) กราฟของมันจะตัดแกน x ที่จุด 0 และ 2 ในช่วงเวลา (0; 2) ฟังก์ชั่นใช้เวลา ค่าลบดังนั้น เราจะแสดงกราฟส่วนนี้อย่างสมมาตรโดยสัมพันธ์กับแกนแอบซิสซา รูปที่ 51 แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = |x 2 -2x|ขึ้นอยู่กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 2x
กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) + g(x)
พิจารณาปัญหาของการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x)ถ้าให้กราฟฟังก์ชันมา ย = ฉ(x)และ ย = ก(x).
โปรดทราบว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = |f(x) + g(x)| คือเซตของค่าทั้งหมดของ x ที่กำหนดทั้งฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) นั่นคือ โดเมนของคำจำกัดความนี้คือจุดตัดของโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชัน f(x) และก(x)
ปล่อยให้มีจุด (x 0 , ย 1) และ (x 0, ย 2) ตามลำดับเป็นของกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)และ ย = ก(x)นั่นคือ y 1 = ฉ(x 0), y 2 = ก(x 0)จากนั้นจุด (x0;. y1 + y2) จะเป็นของกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x)(สำหรับ ฉ(x 0) + ก(x 0) = ย 1 +y2), และจุดใดๆ บนกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x)สามารถรับได้ด้วยวิธีนี้ ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) + ก(x)หาได้จากกราฟฟังก์ชัน ย = ฉ(x). และ ย = ก(x)แทนที่แต่ละจุด ( xn,y 1) ฟังก์ชั่นกราฟิก ย = ฉ(x)จุด (x n, y 1 + y 2),ที่ไหน y 2 = ก.(x n) กล่าวคือ โดยเลื่อนแต่ละจุด ( xn, y1) กราฟฟังก์ชัน ย = ฉ(x)ตามแนวแกน ที่ตามจำนวนเงิน y 1 = ก.(x n). ในกรณีนี้จะพิจารณาเฉพาะประเด็นดังกล่าวเท่านั้น เอ็กซ์ n ซึ่งทั้งสองฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ ย = ฉ(x)และ ย = ก(x).
วิธีการพล็อตฟังก์ชันนี้ y = ฉ(x) + ก.(x) เรียกว่า การบวกกราฟฟังก์ชัน ย = ฉ(x)และ ย = ก(x)
ตัวอย่างที่ 4. ในรูปกราฟของฟังก์ชันถูกสร้างขึ้นโดยใช้วิธีการบวกกราฟ
y = x + บาปx.
เมื่อพล็อตฟังก์ชัน y = x + บาปxเราคิดอย่างนั้น ฉ(x) = x,ก ก(x) = บาปxในการพล็อตกราฟฟังก์ชัน เราเลือกจุดที่มี abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 ค่าต่างๆ f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxมาคำนวณที่จุดที่เลือกแล้ววางผลลัพธ์ลงในตาราง
ขั้นแรก ให้ลองค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน:
คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบคำตอบ:
ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี!
ทีนี้ลองค้นหาช่วงของค่าของฟังก์ชัน:
พบ? มาเปรียบเทียบกัน:
เข้าใจแล้ว? ทำได้ดี!
มาทำงานกับกราฟอีกครั้งตอนนี้มันซับซ้อนขึ้นนิดหน่อย - ค้นหาทั้งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและช่วงของค่าของฟังก์ชัน
วิธีค้นหาทั้งโดเมนและช่วงของฟังก์ชัน (ขั้นสูง)
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:
ฉันคิดว่าคุณคงเข้าใจกราฟแล้ว ทีนี้ลองค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันตามสูตร (หากคุณไม่ทราบวิธีการทำเช่นนี้ โปรดอ่านหัวข้อเกี่ยวกับ):
คุณจัดการหรือไม่? มาตรวจสอบกัน คำตอบ:
- เนื่องจากนิพจน์รากต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
- เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์และนิพจน์รากไม่สามารถเป็นลบได้
- เนื่องจากตามลำดับสำหรับทั้งหมด
- เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
อย่างไรก็ตาม เรายังมีอีกประเด็นหนึ่งที่ยังไม่มีคำตอบ...
ฉันจะย้ำคำจำกัดความอีกครั้งและเน้นย้ำ:
คุณสังเกตเห็นไหม? คำว่าเท่านั้นก็มากมาก องค์ประกอบที่สำคัญคำจำกัดความของเรา ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟังด้วยมือของฉัน
สมมติว่าเรามีฟังก์ชันที่กำหนดโดยเส้นตรง . เมื่อเราทดแทน มูลค่าที่กำหนดเข้าสู่ "กฎ" ของเราแล้วเราก็เข้าใจสิ่งนั้น ค่าหนึ่งสอดคล้องกับค่าเดียว เรายังจัดโต๊ะได้ ความหมายที่แตกต่างกันและพล็อตฟังก์ชันนี้เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้
"ดู! - คุณพูดว่า "" เกิดขึ้นสองครั้ง!" บางทีพาราโบลาไม่ใช่ฟังก์ชันใช่ไหม? ไม่ มันเป็น!
ความจริงที่ว่า “ ” ปรากฏขึ้นสองครั้งไม่ใช่เหตุผลที่จะกล่าวหาพาราโบลาของความคลุมเครือ!
ความจริงก็คือเมื่อคำนวณเราได้รับหนึ่งเกม และเมื่อคำนวณด้วยเราก็ได้เกมหนึ่ง ถูกต้อง พาราโบลาก็คือฟังก์ชัน ดูกราฟ:
เข้าใจแล้ว? ถ้าไม่ก็ไปเถอะ ตัวอย่างชีวิตห่างไกลจากคณิตศาสตร์มาก!
สมมติว่าเรามีกลุ่มผู้สมัครที่พบกันขณะยื่นเอกสาร ซึ่งแต่ละคนเล่าในการสนทนาว่าเขาอาศัยอยู่ที่ไหน:
เห็นด้วย เป็นไปได้ทีเดียวที่ผู้ชายหลายคนจะอาศัยอยู่ในเมืองเดียว แต่เป็นไปไม่ได้ที่คนๆ เดียวจะอาศัยอยู่ในหลายเมืองพร้อมกัน นี่เป็นเหมือนการนำเสนอเชิงตรรกะของ "พาราโบลา" ของเรา - X ที่แตกต่างกันหลายอันสอดคล้องกับเกมเดียวกัน
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่การพึ่งพาไม่ใช่ฟังก์ชัน สมมติว่าคนกลุ่มเดียวกันนี้บอกเราว่าพวกเขาสมัครอะไรเป็นพิเศษ:
ที่นี่เรามีสถานการณ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: บุคคลหนึ่งสามารถส่งเอกสารสำหรับทิศทางเดียวหรือหลายทิศทางได้อย่างง่ายดาย นั่นคือ องค์ประกอบหนึ่งชุดจะถูกใส่ลงในจดหมาย องค์ประกอบหลายประการฝูงชน ตามลำดับ นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
มาทดสอบความรู้ของคุณในทางปฏิบัติ
พิจารณาจากรูปภาพว่าอะไรคือฟังก์ชันและอะไรไม่ใช่:
เข้าใจแล้ว? และนี่คือ คำตอบ:
- ฟังก์ชันคือ - B, E
- ฟังก์ชั่นนี้ไม่ใช่ - A, B, D, D
คุณถามว่าทำไม? ใช่ นี่คือเหตุผล:
ในภาพทั้งหมดยกเว้น. ใน)และ จ)มีหลายอันต่อหนึ่ง!
ฉันแน่ใจว่าตอนนี้คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันออกจากฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันได้อย่างง่ายดายพูดว่าอาร์กิวเมนต์คืออะไรและตัวแปรตามคืออะไรและยังกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของอาร์กิวเมนต์และช่วงคำจำกัดความของฟังก์ชันได้ . เรามาดูส่วนถัดไปกันดีกว่า - จะตั้งค่าฟังก์ชั่นอย่างไร?
วิธีการระบุฟังก์ชัน
คุณคิดว่าคำเหล่านี้หมายถึงอะไร? "ตั้งค่าฟังก์ชั่น"? ถูกต้อง นี่หมายถึงการอธิบายให้ทุกคนฟังว่าฟังก์ชันในกรณีนี้คืออะไร เรากำลังพูดถึง. นอกจากนี้ ให้อธิบายในลักษณะที่ทุกคนเข้าใจคุณได้อย่างถูกต้อง และกราฟฟังก์ชันที่ผู้คนวาดตามคำอธิบายของคุณก็เหมือนกัน
ฉันจะทำเช่นนั้นได้อย่างไร? จะตั้งค่าฟังก์ชั่นได้อย่างไร?วิธีที่ง่ายที่สุดซึ่งมีการใช้มากกว่าหนึ่งครั้งในบทความนี้คือ โดยใช้สูตรเราเขียนสูตร และโดยการแทนที่ค่าลงไป เราจะคำนวณค่า และอย่างที่คุณจำได้ สูตรก็คือกฎ ซึ่งเป็นกฎเกณฑ์ที่เราและอีกคนหนึ่งจะเข้าใจอย่างชัดเจนว่า X กลายเป็น Y ได้อย่างไร
โดยปกติแล้วนี่คือสิ่งที่พวกเขาทำ - ในงานเราเห็นฟังก์ชันสำเร็จรูปที่ระบุโดยสูตรอย่างไรก็ตามมีวิธีอื่นในการตั้งค่าฟังก์ชันที่ทุกคนลืมไปดังนั้นคำถาม "คุณจะตั้งค่าฟังก์ชันได้อย่างไร" แผ่นกั้น มาทำความเข้าใจทุกอย่างตามลำดับและเริ่มด้วยวิธีการวิเคราะห์กันก่อน
วิธีการวิเคราะห์การระบุฟังก์ชัน
วิธีการวิเคราะห์คือการระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตร นี่เป็นวิธีการที่เป็นสากล ครอบคลุม และไม่คลุมเครือที่สุด หากคุณมีสูตรคุณก็รู้ทุกอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชันอย่างแน่นอน - คุณสามารถสร้างตารางค่าจากนั้นคุณสามารถสร้างกราฟกำหนดตำแหน่งที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและตำแหน่งที่ลดลงโดยทั่วไปศึกษา เต็ม.
ลองพิจารณาฟังก์ชันดู ความแตกต่างคืออะไร?
"มันหมายความว่าอะไร?" - คุณถาม. ฉันจะอธิบายตอนนี้
ฉันขอเตือนคุณว่าในสัญกรณ์นิพจน์ในวงเล็บเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ และข้อโต้แย้งนี้สามารถเป็นนิพจน์ใดก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเรียบง่ายเสมอไป ดังนั้น ไม่ว่าอาร์กิวเมนต์จะเป็นเช่นไร (นิพจน์ในวงเล็บ) เราจะเขียนมันลงในนิพจน์แทน
ในตัวอย่างของเรา มันจะมีลักษณะดังนี้:
ลองพิจารณางานอื่นที่เกี่ยวข้องกับวิธีการวิเคราะห์ในการระบุฟังก์ชันที่คุณจะต้องทำในการสอบ
หาค่าของนิพจน์ได้ที่
ฉันแน่ใจว่าในตอนแรกคุณกลัวเมื่อเห็นสีหน้าแบบนั้น แต่ก็ไม่มีอะไรน่ากลัวเลย!
ทุกอย่างเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้า ไม่ว่าอาร์กิวเมนต์จะเป็นเช่นไร (นิพจน์ในวงเล็บ) เราจะเขียนมันลงในนิพจน์แทน ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน
จะต้องทำอะไรในตัวอย่างของเรา? คุณต้องเขียนแทนและแทน -:
ย่อนิพจน์ผลลัพธ์ให้สั้นลง:
นั่นคือทั้งหมด!
ทำงานอิสระ
ทีนี้ลองค้นหาความหมายของสำนวนต่อไปนี้ด้วยตัวเอง:
- , ถ้า
- , ถ้า
คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรากัน: เราคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าฟังก์ชันมีรูปแบบ
แม้แต่ในตัวอย่างของเรา เราก็กำหนดฟังก์ชันในลักษณะนี้ทุกประการ แต่ในเชิงวิเคราะห์แล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะระบุฟังก์ชันในรูปแบบโดยนัย เป็นต้น
ลองสร้างฟังก์ชั่นนี้ด้วยตัวเอง
คุณจัดการหรือไม่?
นี่คือวิธีที่ฉันสร้างมัน
ในที่สุดเราก็ได้สมการอะไรมา?
ขวา! เชิงเส้น ซึ่งหมายความว่ากราฟจะเป็นเส้นตรง มาสร้างตารางเพื่อพิจารณาว่าจุดใดเป็นของเส้นของเรา:
นั่นคือสิ่งที่เรากำลังพูดถึง... สิ่งหนึ่งสอดคล้องกับหลาย ๆ อย่าง
ลองวาดสิ่งที่เกิดขึ้น:
สิ่งที่เราได้ฟังก์ชันคืออะไร?
ถูกต้อง ไม่! ทำไม พยายามตอบคำถามนี้ด้วยความช่วยเหลือของรูปวาด คุณได้อะไร?
“เพราะว่าค่าหนึ่งสอดคล้องกับหลายค่า!”
เราจะได้ข้อสรุปอะไรจากเรื่องนี้?
ถูกต้อง ฟังก์ชันไม่สามารถแสดงออกมาอย่างชัดเจนได้เสมอไป และสิ่งที่ "ปลอมตัว" เป็นฟังก์ชันก็ไม่ใช่ฟังก์ชันเสมอไป!
วิธีการระบุฟังก์ชันแบบตาราง
ตามชื่อ วิธีนี้เป็นสัญญาณง่ายๆ ใช่ ๆ. เช่นเดียวกับที่คุณและฉันได้ทำไปแล้ว ตัวอย่างเช่น:
ที่นี่คุณสังเกตเห็นรูปแบบทันที - Y มีขนาดใหญ่กว่า X ถึงสามเท่า และตอนนี้งานที่ต้อง "คิดให้รอบคอบ": คุณคิดว่าฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบของตารางเทียบเท่ากับฟังก์ชันหรือไม่?
ไม่คุยกันนาน แต่มาวาดกันเถอะ!
ดังนั้น. เราวาดฟังก์ชั่นที่ระบุโดยวอลเปเปอร์ด้วยวิธีต่อไปนี้:
คุณเห็นความแตกต่างหรือไม่? มันไม่ได้เกี่ยวกับจุดที่ทำเครื่องหมายไว้เท่านั้น! ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น:
คุณเคยเห็นมันตอนนี้หรือไม่? เมื่อเรากำหนดฟังก์ชันในลักษณะตาราง เราจะแสดงบนกราฟเฉพาะจุดที่เรามีในตารางและเส้น (เช่นในกรณีของเรา) ผ่านไปเท่านั้น เมื่อเรากำหนดฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ เราสามารถหาจุดใดก็ได้ และฟังก์ชันของเราไม่ได้จำกัดอยู่เพียงจุดนั้น นี่คือลักษณะเฉพาะ จดจำ!
วิธีการสร้างฟังก์ชันแบบกราฟิก
วิธีการสร้างฟังก์ชันแบบกราฟิกนั้นสะดวกไม่น้อย เราวาดฟังก์ชันของเรา แล้วผู้สนใจอีกคนก็สามารถหาว่า y เท่ากับอะไรได้ที่ x ใดค่าหนึ่ง และอื่นๆ วิธีการเชิงกราฟิกและการวิเคราะห์เป็นวิธีที่พบได้บ่อยที่สุด
อย่างไรก็ตามที่นี่คุณต้องจำสิ่งที่เราพูดถึงในตอนเริ่มต้น - ไม่ใช่ทุก "squiggle" ที่วาดในระบบพิกัดจะเป็นฟังก์ชัน! คุณจำได้ไหม? ในกรณีนี้ ผมจะคัดลอกคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้มาไว้ที่นี่:
ตามกฎแล้ว ผู้คนมักจะตั้งชื่อสามวิธีในการระบุฟังก์ชันที่เราได้พูดคุยอย่างชัดเจน - เชิงวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร) แบบตารางและแบบกราฟิก โดยลืมไปเลยว่าฟังก์ชันสามารถอธิบายได้ด้วยวาจา แบบนี้? ใช่ ง่ายมาก!
คำอธิบายด้วยวาจาของฟังก์ชัน
จะอธิบายฟังก์ชั่นด้วยวาจาได้อย่างไร? ลองใช้ตัวอย่างล่าสุดของเรา - . ฟังก์ชันนี้สามารถอธิบายได้ว่า “ค่าจริงทุกค่าของ x สอดคล้องกับค่าสามเท่าของมัน” นั่นคือทั้งหมดที่ ไม่มีอะไรซับซ้อน แน่นอนว่าคุณจะคัดค้าน -“ มีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจนไม่สามารถระบุด้วยวาจาได้!” ใช่ มีฟังก์ชันดังกล่าว แต่มีฟังก์ชันที่อธิบายด้วยวาจาได้ง่ายกว่าการกำหนดด้วยสูตร ตัวอย่างเช่น: “ทุกคน คุณค่าทางธรรมชาติ x สอดคล้องกับความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่ประกอบด้วย ในขณะที่เครื่องหมายลบถือเป็นหลักที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ในบันทึกของตัวเลข” ตอนนี้เรามาดูกันว่าคำอธิบายฟังก์ชั่นด้วยวาจาของเราถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติอย่างไร:
หลักที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนที่กำหนดคือเครื่องหมายลบ จากนั้น:
ประเภทของฟังก์ชันหลัก
ตอนนี้เรามาดูส่วนที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - เรามาดูฟังก์ชันประเภทหลักที่คุณเคยทำงาน/กำลังทำงานอยู่และจะทำงานในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและวิทยาลัยนั่นคือมาทำความรู้จักกับพวกมันกันดีกว่า และให้พวกเขา คำอธิบายสั้น ๆ. อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับแต่ละฟังก์ชันในส่วนที่เกี่ยวข้อง
ฟังก์ชันเชิงเส้น
หน้าที่ของแบบฟอร์ม โดยที่ - ตัวเลขจริง.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง ดังนั้นการสร้างฟังก์ชันเชิงเส้นจึงต้องลงมาเพื่อหาพิกัดของจุดสองจุด
ตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม
ขอบเขตของฟังก์ชัน (หรือที่เรียกว่าขอบเขตของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง) คือ
ช่วงของค่า - .
ฟังก์ชันกำลังสอง
หน้าที่ของแบบฟอร์มอยู่ที่ไหน
กราฟของฟังก์ชันจะเป็นพาราโบลา เมื่อกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง เมื่อกิ่งก้านชี้ขึ้น
คุณสมบัติมากมาย ฟังก์ชันกำลังสองขึ้นอยู่กับมูลค่าของผู้เลือกปฏิบัติ การแบ่งแยกจะคำนวณโดยใช้สูตร
ตำแหน่งของพาราโบลาบนระนาบพิกัดสัมพันธ์กับค่าและสัมประสิทธิ์แสดงในรูป:
โดเมน
ช่วงของค่าขึ้นอยู่กับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันที่กำหนด (จุดยอดของพาราโบลา) และค่าสัมประสิทธิ์ (ทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา)
สัดส่วนผกผัน
ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร โดยที่
ตัวเลขนี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนผกผัน กิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในสี่เหลี่ยมที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่า:
โดเมน - .
ช่วงของค่า - .
สรุปและสูตรพื้นฐาน
1. ฟังก์ชันคือกฎเกณฑ์ที่แต่ละองค์ประกอบของเซตเชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวของเซต
- - นี่คือสูตรที่แสดงถึงฟังก์ชันนั่นคือการพึ่งพาตัวแปรหนึ่งไปยังอีกตัวแปรหนึ่ง
- - ค่าตัวแปรหรืออาร์กิวเมนต์
- - ปริมาณขึ้นอยู่กับ - เปลี่ยนแปลงเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนแปลงนั่นคือตามสูตรเฉพาะใด ๆ ที่สะท้อนถึงการพึ่งพาปริมาณหนึ่งกับอีกปริมาณหนึ่ง
2. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องหรือโดเมนของฟังก์ชัน คือสิ่งที่เชื่อมโยงกับความเป็นไปได้ที่ฟังก์ชันนั้นสมเหตุสมผล
3. ช่วงฟังก์ชัน- นี่คือค่าที่ต้องการ โดยพิจารณาจากค่าที่ยอมรับได้
4. การตั้งค่าฟังก์ชั่นมี 4 วิธี:
- วิเคราะห์ (ใช้สูตร);
- ตาราง;
- กราฟิก
- คำอธิบายด้วยวาจา
5. ประเภทฟังก์ชันหลัก:
- : , โดยที่ เป็นจำนวนจริง;
- : , ที่ไหน;
- : , ที่ไหน.
สร้างฟังก์ชัน
เราขอเสนอบริการสร้างกราฟของฟังก์ชันออนไลน์แก่คุณ ซึ่งสิทธิ์ทั้งหมดที่เป็นของบริษัท เดสมอส. ใช้คอลัมน์ด้านซ้ายเพื่อเข้าสู่ฟังก์ชัน คุณสามารถป้อนด้วยตนเองหรือใช้แป้นพิมพ์เสมือนที่ด้านล่างของหน้าต่าง หากต้องการขยายหน้าต่างด้วยกราฟ คุณสามารถซ่อนทั้งคอลัมน์ด้านซ้ายและแป้นพิมพ์เสมือนได้
ประโยชน์ของการสร้างแผนภูมิออนไลน์
- การแสดงฟังก์ชั่นที่ป้อนด้วยสายตา
- การสร้างกราฟที่ซับซ้อนมาก
- การสร้างกราฟที่ระบุโดยปริยาย (เช่น วงรี x^2/9+y^2/16=1)
- ความสามารถในการบันทึกแผนภูมิและรับลิงก์ไปยังแผนภูมิเหล่านั้นซึ่งทุกคนบนอินเทอร์เน็ตสามารถใช้ได้
- การควบคุมมาตราส่วน, สีของเส้น
- ความเป็นไปได้ของการวาดกราฟตามจุดโดยใช้ค่าคงที่
- การพล็อตกราฟฟังก์ชันหลายกราฟพร้อมกัน
- การลงจุดในพิกัดเชิงขั้ว (ใช้ r และ θ(\theta))
กับเราการสร้างแผนภูมิที่มีความซับซ้อนหลากหลายทางออนไลน์เป็นเรื่องง่าย การก่อสร้างเสร็จสิ้นทันที บริการนี้เป็นที่ต้องการในการค้นหาจุดตัดกันของฟังก์ชันเพื่อแสดงกราฟเพื่อย้ายไปยังเอกสาร Word เพื่อเป็นภาพประกอบในการแก้ปัญหาและเพื่อวิเคราะห์คุณลักษณะเชิงพฤติกรรมของกราฟฟังก์ชัน เบราว์เซอร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการทำงานกับแผนภูมิในหน้านี้ของเว็บไซต์คือ Google Chrome. ไม่รับประกันการทำงานที่ถูกต้องเมื่อใช้เบราว์เซอร์อื่น
กราฟฟังก์ชันคือการแสดงพฤติกรรมของฟังก์ชันบนระนาบพิกัดด้วยภาพ กราฟช่วยให้คุณเข้าใจแง่มุมต่างๆ ของฟังก์ชันที่ไม่สามารถระบุได้จากตัวฟังก์ชันเอง คุณสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันต่างๆ ได้มากมาย และแต่ละฟังก์ชันจะได้รับสูตรเฉพาะ กราฟของฟังก์ชันใดๆ สร้างขึ้นโดยใช้อัลกอริธึมเฉพาะ (หากคุณลืมขั้นตอนที่แน่นอนในการสร้างกราฟฟังก์ชันเฉพาะ)
ขั้นตอน
การสร้างกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น
- หากความชันเป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง
-
จากจุดที่เส้นตรงตัดแกน Y ให้วาดจุดที่สองโดยใช้ระยะห่างในแนวตั้งและแนวนอน ฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถเขียนกราฟได้โดยใช้จุดสองจุด ในตัวอย่างของเรา จุดตัดกับแกน Y มีพิกัด (0.5) จากจุดนี้ ให้เลื่อนขึ้นไป 2 ช่องแล้วไปทางขวา 1 ช่อง ทำเครื่องหมายจุด; ก็จะมีพิกัด (1,7) ตอนนี้คุณสามารถวาดเส้นตรงได้แล้ว
ใช้ไม้บรรทัดลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ให้ค้นหาจุดที่สาม แต่ในกรณีส่วนใหญ่ กราฟสามารถพล็อตได้โดยใช้จุดสองจุด ดังนั้น คุณได้พลอตฟังก์ชันเชิงเส้นแล้ว
การพล็อตจุดบนระนาบพิกัด
-
กำหนดฟังก์ชันฟังก์ชันนี้แสดงเป็น f(x) ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร "y" เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน และค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร "x" เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาฟังก์ชัน y = x+2 ซึ่งก็คือ f(x) = x+2
วาดเส้นตั้งฉากตัดกันสองเส้นเส้นแนวนอนคือแกน X เส้นแนวตั้งคือแกน Y
ติดป้ายกำกับแกนพิกัดแบ่งแต่ละแกนออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน แล้วกำหนดหมายเลข จุดตัดของแกนคือ 0 สำหรับแกน X: ตัวเลขบวกจะถูกพล็อตไปทางขวา (จาก 0) และตัวเลขลบไปทางซ้าย สำหรับแกน Y: ตัวเลขบวกจะถูกพล็อตไว้ด้านบน (ตั้งแต่ 0) และตัวเลขลบจะอยู่ด้านล่าง
ค้นหาค่าของ "y" จากค่าของ "x"ในตัวอย่างของเรา f(x) = x+2 แทนค่า x เฉพาะลงในสูตรนี้เพื่อคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน หากได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้ลดความซับซ้อนโดยการแยกตัว "y" ออกจากด้านหนึ่งของสมการ
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
พล็อตจุดบนระนาบพิกัดสำหรับพิกัดแต่ละคู่ ให้ทำดังนี้: ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันบนแกน X และวาดเส้นแนวตั้ง (เส้นประ) ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันบนแกน Y แล้ววาด เส้นแนวนอน(จุดไข่ปลา). ทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นประสองเส้น ดังนั้นคุณได้พล็อตจุดบนกราฟแล้ว
ลบเส้นประทำสิ่งนี้หลังจากพล็อตจุดทั้งหมดบนกราฟบนระนาบพิกัดแล้ว หมายเหตุ: กราฟของฟังก์ชัน f(x) = x เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางพิกัด [จุดที่มีพิกัด (0,0)] กราฟ f(x) = x + 2 เป็นเส้นขนานกับเส้น f(x) = x แต่เลื่อนขึ้นสองหน่วยจึงผ่านจุดที่มีพิกัด (0,2) (เพราะค่าคงที่คือ 2) .
การสร้างกราฟฟังก์ชันที่ซับซ้อน
ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของตัวแปร x โดยที่ y = 0 นั่นคือจุดที่กราฟตัดกับแกน X โปรดจำไว้ว่าไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีศูนย์ แต่เป็นฟังก์ชันแรก ขั้นตอนในกระบวนการสร้างกราฟฟังก์ชันใดๆ หากต้องการค้นหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน ให้จัดให้เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:
ค้นหาและทำเครื่องหมายเส้นกำกับแนวนอนเส้นกำกับคือเส้นตรงที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้แต่ไม่เคยตัดกัน (นั่นคือ ในภูมิภาคนี้ ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ เช่น เมื่อหารด้วย 0) ทำเครื่องหมายเส้นกำกับด้วยเส้นประ หากตัวแปร "x" อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน (เช่น y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))) ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์แล้วหา "x" ในค่าที่ได้รับของตัวแปร “x” ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (ในตัวอย่างของเรา ให้วาดเส้นประผ่าน x = 2 และ x = -2) เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ แต่เส้นกำกับไม่เพียงแต่ในกรณีที่ฟังก์ชันมีนิพจน์เศษส่วนเท่านั้น ดังนั้นจึงแนะนำให้ใช้สามัญสำนึก:
-
ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสูตรของแบบฟอร์ม F (x) = k x + b (\รูปแบบการแสดงผล F(x)=kx+b)หรือ y = kx + b (\displaystyle y=kx+b)(เช่น ) และกราฟเป็นเส้นตรง ดังนั้น สูตรจึงรวมหนึ่งตัวแปรและหนึ่งค่าคงที่ (ค่าคงที่) โดยไม่มีเลขยกกำลัง เครื่องหมายราก หรือสิ่งที่คล้ายกัน หากมีการกำหนดฟังก์ชันประเภทเดียวกัน การพล็อตกราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจะค่อนข้างง่าย นี่คือตัวอย่างอื่นๆ ของฟังก์ชันเชิงเส้น:
ใช้ค่าคงที่เพื่อทำเครื่องหมายจุดบนแกน Yค่าคงที่ (b) คือพิกัด “y” ของจุดที่กราฟตัดกับแกน Y นั่นคือเป็นจุดที่พิกัด “x” เท่ากับ 0 ดังนั้น หาก x = 0 ถูกแทนที่ด้วยสูตร แล้ว y = b (ค่าคงที่) ในตัวอย่างของเรา y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)ค่าคงที่เท่ากับ 5 นั่นคือจุดตัดกับแกน Y มีพิกัด (0.5) พล็อตจุดนี้บนระนาบพิกัด
หาความชันของเส้นตรง.มันเท่ากับตัวคูณของตัวแปร ในตัวอย่างของเรา y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)ด้วยตัวแปร “x” จะมีตัวประกอบเป็น 2; ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ความชันจะเท่ากับ 2 ค่าสัมประสิทธิ์ความชันจะกำหนดมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน X กล่าวคือ ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันยิ่งมาก ฟังก์ชันก็จะยิ่งเพิ่มหรือลดลงเร็วขึ้นเท่านั้น
เขียนความชันเป็นเศษส่วน.ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียง นั่นคืออัตราส่วนของระยะทางแนวตั้ง (ระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรง) กับระยะทางแนวนอน (ระหว่างจุดเดียวกัน) ในตัวอย่างของเรา ความชันคือ 2 ดังนั้นเราจึงระบุได้ว่าระยะในแนวตั้งคือ 2 และระยะแนวนอนคือ 1 เขียนนี่เป็นเศษส่วน: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).