Пусть небольшое тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a (рис. 14.3,а ). Выясним: 1) чему равна сила трения, если тело скользит по наклонной плоскости; 2) чему равна сила трения, если тело лежит неподвижно; 3) при каком минимальном значении угла наклона a тело начинает соскальзывать с наклонной плоскости.

а) б)

Сила трения будет препятствовать движению, следовательно, она будет направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 14.3,б ). Кроме силы трения, на тело действуют еще сила тяжести и сила нормальной реакции . Введем систему координат ХОУ , как показано на рисунке, и найдем проекции всех указанных сил на координатные оси:

Х : F трХ = –F тр, N X = 0, mg X = mg sina;

Y : F трY = 0, N Y = N , mg Y = –mg cosa.

Поскольку ускоряться тело может только по наклонной плоскости, то есть вдоль оси X , то очевидно, что проекция вектора ускорения на ось Y всегда будет равна нулю: а Y = 0, а значит, сумма проекций всех сил на ось Y также должна равняться нулю:

F трY + N Y + mg Y = 0 Þ 0 + N – mg cosa = 0 Þ

N = mg cosa. (14.4)

Тогда сила трения скольжения согласно формуле (14.3) равна:

F тр.ск = mN = mmg cosa. (14.5)

Если тело покоится , то сумма проекций всех сил, действующих на тело, на ось Х должна равняться нулю:

F трХ + N Х + mg Х = 0 Þ –F тр + 0 + mg sina = 0 Þ

F тр.п = mg sina. (14.6)

Если мы будем постепенно увеличивать угол наклона, то величина mg sina будет постепенно увеличиваться, а значит, будет увеличиваться и сила трения покоя, которая всегда «автоматически подстраивается» под внешнее воздействие и компенсирует его.

Но, как мы знаем, «возможности» силы трения покоя не безграничны. При каком-то угле a 0 весь «ресурс» силы трения покоя будет исчерпан: она достигнет своего максимального значения, равного силе трения скольжения. Тогда будет справедливо равенство:

F тр.ск = mg sina 0 .

Подставив в это равенство значение F тр.ск из формулы (14.5), получим: mmg cosa 0 = mg sina 0 .

Разделив обе части последнего равенства на mg cosa 0 , получим:

Þ a 0 = arctgm.

Итак, угол a, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости, задается формулой:

a 0 = arctgm. (14.7)

Заметим, что если a = a 0 , то тело может или лежать неподвижно (если к нему не прикасаться), или скользить с постоянной скоростью вниз по наклонной плоскости (если его чуть-чуть толкнуть). Если a < a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a > a 0 , то тело будет соскальзывать с наклонной плоскости с ускорением и безо всяких толчков.

Задача 14.1. Человек везет двое связанных между собой саней (рис. 14.4,а ), прикладывая силу F под углом a к горизонту. Массы саней одинаковы и равны т . Коэффициент трения полозьев по снегу m. Найти ускорение саней и силу натяжения Т веревки между санями, а также силу F 1 , с которой должен тянуть веревку человек для того, чтобы сани двигались равномерно.

F a m m	а)	б) Рис. 14.4
а = ? Т = ? F 1 = ?

Решение . Запишем второй закон Ньютона для каждых саней в проекциях на оси х и у (рис. 14.4,б ):

I у : N 1 + F sina – mg = 0, (1)

x : F cosa – T – mN 1 = ma ; (2)

II у : N 2 – mg = 0, (3)

x : T – mN 2 = ma . (4)

Из (1) находим N 1 = mg – F sina, из (3) и (4) находим Т = mmg+ + ma. Подставляя эти значения N 1 и Т в (2), получаем

Подставляя а в (4), получаем

T = mN 2 + ma = mmg + та =

Mmg + т .

Чтобы найти F 1 , приравняем выражение для а к нулю:

Ответ : ; ;

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В6, С3.

Задача 14.2. Два тела массами т и М связаны нитью, как показано на рис. 14.5,а . С каким ускорением движется тело М , если коэффициент трения о поверхность стола m. Каково натяжение нити Т ? Какова сила давления на ось блока?

т М m	Решение. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х 1 и х 2 (рис. 14.5,б ), учитывая, что : х 1: Т – mMg = Ма , (1) х 2: mg – T = ma . (2) Решая систему уравнений (1) и (2), находим:
а = ? Т = ? R = ?

Если грузы не движутся, то .

Ответ : 1) если т < mМ , то а = 0, Т = mg , ; 2) если т ³ mМ , то , , .

СТОП! Решите самостоятельно: В9–В11, С5.

Задача 15.3. Два тела массами т 1 и т 2 связаны нитью, перекинутой через блок (рис. 14.6). Тело т 1 находится на наклонной плоскости с углом наклона a. Коэффициент трения о плоскость m. Тело массой т 2 висит на нити. Найти ускорение тел, силу натяжения нити и силу давления блока на ось при условии, когда т 2 < т 1 . Считать tga > m.

Рис. 14.7

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х 1 и х 2 , учитывая, что и :

х 1: т 1 g sina – Т – mm 1 g cosa = m 1 a ,

х 2: T – m 2 g = m 2 a .

, .

Так как а >0, то

Если неравенство (1) не выполняется, то груз т 2 точно не движется вверх! Тогда возможны еще два варианта: 1) система неподвижна; 2) груз т 2 движется вниз (а груз т 1 , соответственно, вверх).

Предположим, что груз т 2 движется вниз (рис. 14.8).

Рис. 14.8

Тогда уравнения второго закона Ньютона на оси х 1 и х 2 будут иметь вид:

х 1: Т – т 1 g sina – mm 1 g cosa = m 1 a ,

х 2: m 2 g – Т = m 2 a .

Решая эту систему уравнений, находим:

, .

Так как а >0, то

Итак, если выполняется неравенство (1), то груз т 2 едет вверх, а если выполняется неравенство (2), то – вниз. Следовательно, если не выполняется ни одно из этих условий, т.е.

система неподвижна.

Осталось найти силу давления на ось блока (рис. 14.9). Силу давления на ось блока R в данном случае можно найти как диагональ ромба АВСD . Так как

ÐADC = 180° – 2 ,

где b = 90°– a, то по теореме косинусов

R 2 = .

Отсюда .

Ответ :

1) если , то , ;

2) если , то , ;

3) если , то а = 0; Т = т 2 g .

Во всех случаях .

СТОП! Решите самостоятельно: В13, В15.

Задача 14.4. На тележку массой М действует горизонтальная сила F (рис. 14.10,а ). Коэффициент трения между грузом т и тележкой равен m. Определить ускорение грузов. Какой должна быть минимальная сила F 0 , чтобы груз т начал скользить по тележке?

M , т F m	а)	б) Рис. 14.10
а 1 = ? а 2 = ? F 0 = ?

Решение . Сначала заметим, что сила, приводящая груз т в движение, – это сила трения покоя , с которой тележка действует на груз. Максимально возможное значение этой силы равно mmg .

По третьему закону Ньютона груз действует на тележку с такой же по величине силой – (рис. 14.10,б ). Проскальзывание начинается в тот момент, когда уже достигла своего максимального значения , но система еще движется как одно тело массой т +М с ускорением . Тогда по второму закону Ньютона

В. М. Зражевский

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №

СКАТЫВАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости.

Оборудование: наклонная плоскость, электронный секундомер, цилиндры разной массы.

Теоретические сведения

Пусть цилиндр радиуса R и массой m скатывается с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести P = mg , сила нормального давления плоскости на цилиндр N и сила трения цилиндра о плоскость F тр. , лежащая в этой плоскости.

Цилиндр участвует одновременно в двух видах движения: поступательном движении центра масс O и вращательном движении относительно оси, проходящей через центр масс.

Так как цилиндр во время движения остается на плоскости, то ускорение центра масс в направлении нормали к наклонной плоскости равно нулю, следовательно

P ∙cosα − N = 0. (1)

Уравнение динамики поступательного движения вдоль наклонной плоскости определяется силой трения F тр. и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости mg ∙sinα:

ma = mg ∙sinα − F тр. , (2)

где a – ускорение центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости.

Уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс имеет вид

I ε = F тр. R , (3)

где I – момент инерции, ε – угловое ускорение. Момент силы тяжести и относительно этой оси равен нулю.

Уравнения (2) и (3) справедливы всегда, вне зависимости от того, движется цилиндр по плоскости со скольжением или без скольжения. Но из этих уравнений нельзя определить три неизвестные величины: F тр. , a и ε, необходимо еще одно дополнительное условие.

Если сила трения имеет достаточную величину, то качение цилиндра по наклонной происходит без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра должны проходить ту же длину пути, что и центр масс цилиндра. В этом случае линейное ускорение a и угловое ускорение ε связаны соотношением

a = R ε. (4)

Из уравнения (4) ε = a /R . После подстановки в (3) получаем

. (5)

Заменив в (2) F тр. на (5), получаем

. (6)

Из последнего соотношения определяем линейное ускорение

. (7)

Из уравнений (5) и (7) можно вычислить силу трения:

. (8)

Сила трения зависит от угла наклона α, силы тяжести P = mg и от отношения I /mR 2 . Без силы трения качения не будет.

При качении без скольжения играет роль сила трения покоя. Сила трения при качении, как и сила трения покоя, имеет максимальное значение, равное μN . Тогда условия для качения без скольжения будут выполняться в том случае, если

F тр. ≤ μN . (9)

Учитывая (1) и (8), получим

, (10)

или, окончательно

. (11)

В общем случае момент инерции однородных симметричных тел вращения относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать как

I = kmR 2 , (12)

где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара.

После подстановки (12) в (11) получаем окончательный критерий скатывания твердого тела с наклонной плоскости без проскальзывания:

. (13)

Поскольку при качении твердого тела по твердой поверхности сила трения качения мала, то полная механическая энергия скатывающегося тела постоянна. В начальный момент времени, когда тело находится в верхней точке наклонной плоскости на высоте h , его полная механическая энергия равна потенциальной:

W п = mgh = mgs ∙sinα, (14)

где s – путь, пройденный центром масс.

Кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс со скоростью υ и вращательного движения со скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс:

. (15)

При качении без скольжения линейная и угловая скорости связаны соотношением

υ = R ω. (16)

Преобразуем выражение для кинетической энергии (15), подставив в него (16) и (12):

Движение по наклонной плоскости является равноускоренным:

. (18)

Преобразуем (18) с учетом (4):

. (19)

Решая совместно (17) и (19), получим окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:

. (20)

Описание установки и метода измерений

Исследовать качение тела по наклонной плоскости можно с помощью узла «плоскость» и электронного секундомера СЭ1, входящих в состав модульного учебного комплекса МУК-М2.

У
становка представляет собой наклонную плоскость 1, которую с помощью винта 2 можно устанавливать под разными углами α к горизонту (рис. 2). Угол α измеряется с помощью шкалы 3. На плоскость может быть помещен цилиндр 4 массой m . Предусмотрено использование двух роликов разной массы. Ролики закрепляются в верхней точке наклонной плоскости с помощью электромагнита 5, управление которым осуществляется с помощью

электронного секундомера СЭ1. Пройденное цилиндром расстояние измеряется линейкой 6, закрепленной вдоль плоскости. Время скатывания цилиндра измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания роликом финишной точки.

Порядок выполнения работы

1. Ослабив винт 2 (рис. 2), установите плоскость под некоторым углом α к горизонту. Поместите ролик 4 на наклонную плоскость.

2. Переключите тумблер управления электромагнитами механического блока в положение «плоскость».

3. Переведите секундомер СЭ1 в положение режим 1.

4. Нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Измерьте время скатывания.

5. Повторите опыт пять раз. Результаты измерений запишите в табл. 1.

6. Вычислите значение механической энергии до, и после скатывания. Сделайте вывод.

7. Повторите п. 1-6 для других углов наклона плоскости.

Таблица 1

	t i , c	(t i − <t >) 2	пути s , м	Угол наклона	ролика, кг	W п, Дж	W к, Дж





t (a,n )	<t >	å(t i – <t >) 2	Δs , м		Δm , кг

8. Повторите опыт п. 1-7 для второго ролика. Результаты запишите в табл. 2, аналогичную табл. 1.

9. Сделайте выводы по всем результатам работы.

Контрольные вопросы

1. Назовите виды сил в механике.

2. Объяснить физическую природу сил трения.

3. Что называется коэффициентом трения? Его размерность?

4. Какие факторы влияют на величину коэффициента трения покоя, скольжения, качения?

5. Описать общий характер движения твердого тела при качении.

6. Как направлен момент силы трения при качении по наклонной плоскости?

7. Записать систему уравнений динамики при качении цилиндра (шара) по наклонной плоскости.

8. Вывести формулу (13).

9. Вывести формулу (20).

10. Шар и цилиндр с одинаковыми массами m и равными радиусами R одновременно начинают скатываться по наклонной плоскости с высоты h . Одновременно ли они достигнут нижней точки (h = 0)?

11. Объяснить причину торможения катящегося тела.

Библиографический список

1. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 41–43.

2. Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М: Наука, 1971. – § 97.

3. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16–19.

Движение. Теплота Китайгородский Александр Исаакович

Наклонная плоскость

Крутой подъем труднее преодолеть, чем отлогий. Легче вкатить тело на высоту по наклонной плоскости, чем поднимать его по вертикали. Почему так и насколько легче? Закон сложения сил позволяет нам разобраться в этих вопросах.

На рис. 12 показана тележка на колесах, которая натяжением веревки удерживается на наклонной плоскости. Кроме тяги на тележку действуют еще две силы – вес и сила реакции опоры, действующая всегда по нормали к поверхности, вне зависимости от того, горизонтальная поверхность опоры или наклонная.

Как уже говорилось, если тело давит на опору, то опора противодействует давлению или, как говорят, создает силу реакции.

Нас интересует, в какой степени тащить тележку вверх легче по наклонной плоскости, чем поднимать вертикально.

Разложим силы так, чтобы одна была направлена вдоль, а другая – перпендикулярно к поверхности, по которой движется тело. Для того чтобы тело покоилось на наклонной плоскости, сила натяжения веревки должна уравновешивать лишь продольную составляющую. Что же касается второй составляющей, то она уравновешивается реакцией опоры.

Найти интересующую нас силу натяжения каната T можно или геометрическим построением или при помощи тригонометрии. Геометрическое построение состоит в проведении из конца вектора веса P перпендикуляра к плоскости.

На рисунке можно отыскать два подобных треугольника. Отношение длины наклонной плоскости l к высоте h равно отношению соответствующих сторон в треугольнике сил. Итак,

Чем более отлога наклонная плоскость (h /l невелико), тем, разумеется, легче тащить тело вверх.

А теперь для тех, кто знает тригонометрию: так как угол между поперечной составляющей веса и вектором веса равен углу? наклонной плоскости (это углы со взаимно перпендикулярными сторонами), то

Итак, вкатить тележку по наклонной плоскости с углом? в sin ? раз легче, чем поднять ее вертикально.

Полезно помнить значения тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60°. Зная эти цифры для синуса (sin 30° = 1/2; sin 45° = sqrt(2)/2;*5 sin 60° = sqrt(3)/2), мы получим хорошее представление о выигрыше в силе при движении по наклонной плоскости.

Из формул видно, что при угле наклонной плоскости в 30° наши усилия составят половину веса: T = P ·(1/2). При углах 45° и 60° придется тянуть канат с силами, равными примерно 0,7 и 0,9 от веса тележки. Как видим, такие крутые наклонные плоскости мало облегчают дело.

В данной статье рассказывается о том, как решать задачи про движение по наклонной плоскости. Рассмотрено подробное решение задачи о движении связанных тел по наклонной плоскости из ЕГЭ по физике.

Решение задачи о движении по наклонной плоскости

Прежде чем перейти непосредственно к решению задачи, как репетитор по математике и физике, рекомендую тщательно проанализировать ее условие. Начать нужно с изображения сил, которые действуют на связанные тела:

Здесь и — силы натяжения нити, действующие на левое и правое тело, соответственно, — сила реакции опоры, действующая на левое тело, и — силы тяжести, действующие на левое и правое тело, соответственно. С направлением этих сил все понятно. Сила натяжения направлена вдоль нити, сила тяжести вертикально вниз, а сила реакции опоры перпендикулярно наклонной плоскости.

А вот с направлением силы трения придется разбираться отдельно. Поэтому на рисунке она изображена пунктирной линией и подписана со знаком вопроса. Интуитивно понятно, что если правый груз будет «перевешивать» левый, то сила трения будет направлена противоположно вектору . Наоборот, если левый груз будет «перевешивать» правый, то сила трения будет сонаправлена с вектором .

Правый груз тянет вниз сила Н. Здесь мы взяли ускорение свободного падения м/с 2 . Левый груз вниз тоже тянет сила тяжести, но не вся целиком, а только ее «часть», поскольку груз лежит на наклонной плоскости. Эта «часть» равна проекции силы тяжести на наклонную плоскости, то есть катету в прямоугольном треугольнике , изображенном на рисунке, то есть равна Н.

То есть «перевешивает» все-таки правый груз. Следовательно, сила трения направлена так, как показано на рисунке (мы ее нарисовали от центра масс тела, что возможно в случае, когда тело можно моделировать материальной точкой):

Второй важный вопрос, с которым нужно разобраться, будет ли вообще двигаться эта связанная система? Вдруг окажется так, что сила трения между левым грузом и наклонной плоскостью будет настолько велика, что не даст ему сдвинуться с места?

Такая ситуация будет возможна в том случае, когда максимальная сила трения, модуль которой определяется по формуле (здесь — коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью, — сила реакции опоры, действующая на груз со стороны наклонной плоскости), окажется больше той силы, которая старается привести систему с движение. То есть той самой «перевешивающей» силы, которая равна Н.

Модуль силы реакции опоры равен длине катета в треугольнике по 3-музакону Ньютона (с какой по величине силой груз давит на наклонную плоскость, с такой же по величине силой наклонная плоскость действует на груз). То есть сила реакции опоры равна Н. Тогда максимальная величина силы трения составляет Н, что меньше, чем величина «перевешивающей силы».

Следовательно, система будет двигаться, причем двигаться с ускорением. Изобразим на рисунке эти ускорения и оси координат, которые нам понадобятся далее при решении задачи:

Теперь, после тщательного анализа условия задачи, мы готовы приступить к ее решению.

Запишем 2-ой закон Ньютона для левого тела:

А в проекции на оси координатной системы получаем:

Здесь с минусом взяты проекции, векторы которых направлен против направления соответствующей оси координат. С плюсом взяты проекции, векторы которых сонаправлен с соответствующей осью координат.

Еще раз подробно объясним, как находить проекции и . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник , изображенный на рисунке. В этом треугольнике и . Также известно, что в этом прямоугольном треугольнике . Тогда и .

Вектор ускорения целиком лежит на оси , поэтому и . Как мы уже вспоминали выше, по определению модуль силы трения равен произведению коэффициента трения на модуль силы реакции опоры. Следовательно, . Тогда исходная система уравнений принимает вид:

Запишем теперь 2-ой закон Ньютона для правого тела:

В проекции на ось получаем.

Несмотря на другие условия движения принципиально решение задачи 8 ничем не отличается от решения задачи 7. Отличие состоит лишь в том, что в задаче 8 действующие на тело силы не лежат вдоль одной прямой, поэтому проекции необходимо взять на две оси.

Задача 8. Лошадь везет сани массой 230 кг, действуя на них с силой 250 Н. Какое расстояние пройдут сани, пока достигнут скорости 5,5 м/с, двигаясь из состояния покоя. Коэффициент трения скольжения саней о снег равен 0,1, а оглобли расположены под углом 20° к горизонту.

На сани действуют четыре силы: сила тяги (натяжения), направленная под углом 20° к горизонту; сила тяжести, направленная вертикально вниз (всегда); сила реакции опоры, направленная перпендикулярно опоре от нее, т. е. вертикально вверх (в данной задаче); сила трения скольжения, направленная против движения. Поскольку сани будут двигаться поступательно, все приложенные силы можно параллельно перенести в одну точку – в центр масс движущегося тела (саней). Через эту же точку проведем и оси координат (рис. 8).

На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :

Направим ось Ox горизонтально вдоль направления движения (см. рис. 8), а ось Oy – вертикально вверх. Возьмем проекции векторов, входящих в уравнение, на координатные оси, добавим выражение для силы трения скольжения и получим систему уравнений:

Решим систему уравнений. (Схема решения системы уравнений, подобных системе, обычно одинакова: из второго уравнения выражают силу реакции опоры и подставляют ее в третье уравнение, а затем выражение для силы трения подставляют в первое уравнение.) В результате получим:

Перегруппируем слагаемые в формуле и разделим ее правую и левую части на массу:

Поскольку ускорение не зависит от времени, выберем формулу кинематики равноускоренного движения, содержащую скорость, ускорение и перемещение:

Учитывая, что начальная скорость равна нулю, а скалярное произведение одинаково направленных векторов равно произведению их модулей, подставим ускорение и выразим модуль перемещения:

;

Полученное значение и есть ответ задачи, поскольку при прямолинейном движении пройденный путь и модуль перемещения совпадают.

Ответ : сани пройдут 195 м.

Движение по наклонной плоскости

Описание движения небольших тел по наклонной плоскости принципиально не отличается от описания движения тел по вертикали и по горизонтали, поэтому при решении задач на этот вид движения, как и в задачах 7, 8, также необходимо записать уравнение движения и взять проекции векторов на координатные оси. Разбирая решение задачи 9, необходимо обратить внимание на схожесть подхода к описанию различных видов движения и на нюансы, которые отличают решение этого типа задач от решения задач, рассмотренных выше.

Задача 9. Лыжник соскальзывает с длинной ровной заснеженной горки, угол наклона к горизонту которой составляет 30°, а длина равна 140 м. Сколько времени будет длиться спуск, если коэффициент трения скольжения лыж о рыхлый снег равен 0,21?

Дано:

Решение.

Движение лыжника по нак-лонной плоскости происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз; силы реакции опоры, направленной перпендикулярно к опоре; силы трения скольжения, направленной против движения тела. Пренебрегая размерами лыжника по сравнению с длиной горки, на основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения лыжника:

Выберем ось Ox вниз вдоль наклонной плоскости (рис. 9), а ось Oy – перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Возьмем проекции векторов уравнения на выбранные координатные оси с учетом того, что ускорение направлено вдоль наклонной плоскости вниз, и добавим к ним выражение, определяющее силу трения скольжения. Получим систему уравнений:

Решим систему уравнений относительно ускорения. Для этого из второго уравнения системы выразим силу реакции опоры и подставим полученную формулу в третье уравнение, а выражение для силы трения – в первое. После сокращения массы имеем формулу:

Ускорение не зависит от времени, значит, можно воспользоваться формулой кинематики равноускоренного движения, содержащей перемещение, ускорение и время:

С учетом того, что начальная скорость лыжника равна нулю, а модуль перемещения равен длине горки, выразим из формулы время и, подставляя в полученную формулу ускорение, получим:

;