การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

กราฟฟังก์ชัน ฉ(x) = บาป( x) และ ก(x) = คอส( x) บนระนาบคาร์ทีเซียน

การสั่นแบบฮาร์มอนิก- การแกว่งซึ่งปริมาณทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์หรือโคไซน์ สมการจลนศาสตร์ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกดูเหมือน

,

ที่ไหน เอ็กซ์- การกระจัด (ส่วนเบี่ยงเบน) ของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลา t; ก- ความกว้างของการแกว่งเป็นค่าที่กำหนดค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ω - ความถี่ไซคลิก ค่าที่ระบุจำนวนการสั่นที่สมบูรณ์ที่เกิดขึ้นภายใน 2π วินาที - ความถี่เต็มเฟสของการสั่น - ระยะเริ่มต้นของการสั่น

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(คำตอบที่ไม่ไม่สำคัญใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือการแกว่งของฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นรอบ)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

วิวัฒนาการของเวลาของการกระจัด ความเร็ว และความเร่งในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก

• การสั่นสะเทือนฟรีมีความมุ่งมั่นภายใต้อิทธิพล กองกำลังภายในระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์โมนิค จำเป็นที่ระบบการแกว่งจะเป็นเส้นตรง (อธิบายไว้แล้ว สมการเชิงเส้นการเคลื่อนไหว) และไม่มีการสูญเสียพลังงาน (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอนลง)
• แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอก เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

แอปพลิเคชัน

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกโดดเด่นจากการสั่นสะเทือนประเภทอื่นๆ ทั้งหมดด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• ฟิสิกส์. หนังสือเรียนฟิสิกส์เบื้องต้น / อ. จี.เอส. แลนสเบิร์ก. - ฉบับที่ 3 - ม., 2505. - ต. 3.
• ไข่คิน เอส.อี. พื้นฐานทางกายภาพกลศาสตร์. - ม., 2506.
• อ. เอ็ม. อาโฟนิน.พื้นฐานทางกายภาพของกลศาสตร์ - เอ็ด ฉัน บาวแมน, 2549.
• Gorelik G. S.การสั่นและคลื่น ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอะคูสติก รังสีฟิสิกส์ และทัศนศาสตร์ - ม.: Fizmatlit, 2502. - 572 หน้า

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

สารานุกรมสมัยใหม่

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก- การสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิก การเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ปริมาณทางกายภาพเกิดขึ้นตามกฎของไซน์ กราฟิก การสั่นของฮาร์มอนิกจะแสดงด้วยเส้นโค้งไซน์ซอยด์ การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก รูปแบบที่ง่ายที่สุดการเคลื่อนไหวเป็นระยะ มีลักษณะโดย... พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

การแกว่งที่ปริมาณทางกายภาพเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ ในเชิงกราฟิก GK จะแสดงด้วยคลื่นไซน์โค้งหรือคลื่นโคไซน์ (ดูรูป) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: x ​​= Asin (ωt + φ) หรือ x... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

HARMONIC VIBRATIONS การเคลื่อนที่เป็นระยะ เช่น การเคลื่อนที่ของ PENDULUM การสั่นสะเทือนของอะตอม หรือการสั่นสะเทือนใน วงจรไฟฟ้า. ร่างกายจะทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกแบบไม่แดมป์เมื่อมันแกว่งไปตามแนวเส้น โดยเคลื่อนที่แบบเดียวกัน... ... พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

การสั่นซึ่งทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) ปริมาณเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์: x=Asin(wt+j) โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่ผันผวน ณ เวลาที่กำหนด โมเมนต์ของเวลา t (สำหรับ G.K. เชิงกล เช่น การกระจัดหรือความเร็ว สำหรับ ... ... สารานุกรมทางกายภาพ

การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก- การแกว่งทางกล ซึ่งพิกัดทั่วไปและ (หรือ) ความเร็วทั่วไปเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนของไซน์โดยอาร์กิวเมนต์เชิงเส้นขึ้นอยู่กับเวลา [รวบรวมคำศัพท์ที่แนะนำ ฉบับที่ 106 การสั่นสะเทือนทางกล สถาบันวิทยาศาสตร์… คู่มือนักแปลด้านเทคนิค

การสั่นซึ่งทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) ปริมาณการเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซนูซอยด์ โดยที่ x คือค่าของปริมาณการสั่น ณ เวลา t (สำหรับระบบไฮดรอลิกเชิงกล เช่น การกระจัดและความเร็ว สำหรับแรงดันไฟฟ้าและความแรงของกระแส) ... สารานุกรมทางกายภาพ

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิก- (ดู) ซึ่งทางกายภาพ ปริมาณเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ (เช่น การเปลี่ยนแปลง (ดู) และความเร็วระหว่างการสั่น (ดู) หรือการเปลี่ยนแปลง (ดู) และความแรงของกระแสระหว่างวงจรไฟฟ้า) ... สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

มีลักษณะเฉพาะคือการเปลี่ยนแปลงค่าการสั่น x (เช่น การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล แรงดันไฟฟ้าในวงจรกระแสสลับ ฯลฯ) ในเวลา t ตามกฎหมาย: x = Asin (?t + ?) โดยที่ A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก ? มุม... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก- 19. การสั่นแบบฮาร์มอนิก การสั่นซึ่งค่าของปริมาณการสั่นเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย ที่มา ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมเกี่ยวกับเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

เป็นระยะๆ ความผันผวนซึ่งการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพของเวลา ปริมาณเกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ (ดูรูป): s = Аsin(wt+ф0) โดยที่ s คือค่าเบี่ยงเบนของปริมาณการสั่นจากค่าเฉลี่ย ค่า (สมดุล), A=แอมพลิจูด const, w= const วงกลม... พจนานุกรมโพลีเทคนิคสารานุกรมขนาดใหญ่

การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มในนาฬิกา แผ่นดินไหว กระแสสลับในวงจรไฟฟ้า กระบวนการส่งสัญญาณวิทยุและการรับสัญญาณวิทยุเป็นกระบวนการที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงและไม่เกี่ยวข้องกัน แต่ละคนมีเหตุผลพิเศษของตัวเอง แต่รวมเป็นหนึ่งเดียวซึ่งเป็นสัญญาณของลักษณะทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงปริมาณทางกายภาพเมื่อเวลาผ่านไป ในหลายกรณี ขอแนะนำให้พิจารณากระบวนการเหล่านี้และกระบวนการอื่น ๆ ที่มีลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกันเป็นกระบวนการพิเศษประเภทเดียว ปรากฏการณ์ทางกายภาพ- ความผันผวน

คุณลักษณะทั่วไปของปรากฏการณ์ทางกายภาพที่เรียกว่าการแกว่งคือการทำซ้ำได้เมื่อเวลาผ่านไป ด้วยลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน การสั่นสะเทือนจำนวนมากจึงเกิดขึ้นตามกฎเดียวกัน ซึ่งทำให้สามารถนำไปใช้ได้ วิธีการทั่วไปสำหรับคำอธิบายและการวิเคราะห์

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกจากการสั่นสะเทือนที่แตกต่างกันจำนวนมากในธรรมชาติและเทคโนโลยี การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเป็นเรื่องปกติโดยเฉพาะ การสั่นที่เกิดขึ้นตามกฎของโคไซน์หรือไซน์เรียกว่าฮาร์มอนิก:

ปริมาณที่มีความผันผวนอยู่ที่ไหน - เวลา; - ค่าคงที่ซึ่งจะมีการชี้แจงความหมายเพิ่มเติม

ค่าสูงสุดของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงตามกฎฮาร์มอนิกเรียกว่าแอมพลิจูดของการแกว่ง อาร์กิวเมนต์โคไซน์หรือไซน์สำหรับการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกเรียกว่าเฟสการสั่น

ระยะของการแกว่ง ณ ช่วงเวลาเริ่มต้นเรียกว่าระยะเริ่มต้น ระยะเริ่มต้นจะกำหนดมูลค่าของปริมาณ ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น

ค่าของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์จะถูกทำซ้ำเมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงโดย ดังนั้นด้วยการสั่นของฮาร์มอนิก ค่าของปริมาณจะถูกทำซ้ำเมื่อเฟสของการสั่นเปลี่ยนด้วย . ในทางกลับกันด้วยการสั่นแบบฮาร์มอนิกปริมาณจะต้องใช้ค่าเดียวกันหลังจากช่วงเวลาที่เรียกว่าช่วงการสั่น T ดังนั้นการเปลี่ยนเฟสจึงไม่เกิดขึ้น

ผ่านช่วงการสั่น T สำหรับกรณีที่เราได้รับ:

จากนิพจน์ (1.2) จะได้ว่าค่าคงที่ในสมการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือจำนวนการออสซิลเลชันที่เกิดขึ้นในหน่วยวินาที ปริมาณนี้เรียกว่าความถี่ไซคลิกของการแกว่ง การใช้นิพจน์ (1.2) สมการ (1.1) สามารถแสดงในรูปของความถี่หรือคาบ T ของการแกว่ง:

นอกเหนือจากวิธีการวิเคราะห์ในการอธิบายการสั่นของฮาร์มอนิกแล้ว วิธีการแสดงแบบกราฟิกยังถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย

วิธีแรกคือการระบุกราฟของการแกว่งในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เวลา I ถูกพล็อตไปตามแกน abscissa และค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงจะถูกพล็อตไปตามแกน ordinate สำหรับการแกว่งของฮาร์มอนิก กราฟนี้เป็นคลื่นไซน์หรือคลื่นโคไซน์ (รูปที่ 1)

วิธีที่สองในการแสดงกระบวนการออสซิลลาทอรีคือสเปกตรัม แอมพลิจูดจะวัดตามแกนพิกัด และความถี่ของการสั่นฮาร์มอนิกจะวัดตามแกนแอบซิสซา กระบวนการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกที่มีความถี่และแอมพลิจูดจะแสดงในกรณีนี้โดยส่วนของเส้นตรงแนวตั้งที่ลากจากจุดที่มีพิกัดบนแกนแอบซิสซา (รูปที่ 2)

วิธีที่สามในการอธิบายการสั่นของฮาร์มอนิกคือวิธีของแผนภาพเวกเตอร์ ในวิธีนี้ จะใช้เทคนิคที่เป็นทางการเพียงอย่างเดียวต่อไปนี้เพื่อค้นหาค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงไปตามกฎฮาร์มอนิก ณ เวลาใดๆ ก็ตาม:

ให้เราเลือกทิศทางที่กำกับโดยพลการบนเครื่องบิน แกนพิกัดโดยเราจะนับปริมาณที่เราสนใจ จากจุดกำเนิดของพิกัดตามแกน เราวาดเวกเตอร์ซึ่งมีโมดูลัสเท่ากับแอมพลิจูดของการสั่นของฮาร์มอนิก xm หากตอนนี้เราจินตนาการว่าเวกเตอร์หมุนรอบจุดกำเนิดของพิกัดในระนาบด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ c ทวนเข็มนาฬิกา มุม a ระหว่างเวกเตอร์ที่หมุนกับแกน ณ เวลาใดๆ ก็ตามจะถูกกำหนดโดยนิพจน์

การสั่นเรียกว่าการเคลื่อนไหวหรือกระบวนการที่มีลักษณะการทำซ้ำเมื่อเวลาผ่านไป การสั่นนั้นแพร่หลายไปทั่วโลกและอาจมีลักษณะที่แตกต่างออกไปมาก สิ่งเหล่านี้อาจเป็นแบบกลไก (ลูกตุ้ม) แม่เหล็กไฟฟ้า (วงจรออสซิลเลเตอร์) และการสั่นสะเทือนประเภทอื่น
ฟรี, หรือ เป็นเจ้าของการสั่นเรียกว่าการสั่นที่เกิดขึ้นในระบบที่ปล่อยให้เป็นของตัวเอง หลังจากที่อิทธิพลภายนอกดึงออกจากสมดุลแล้ว ตัวอย่างคือการแกว่งของลูกบอลที่แขวนอยู่บนเส้นด้าย

บทบาทพิเศษในกระบวนการแกว่งมีรูปแบบการแกว่งที่ง่ายที่สุด - การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกการแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นแนวทางที่เป็นหนึ่งเดียวในการศึกษาการแกว่งของธรรมชาติต่างๆ เนื่องจากการแกว่งที่พบในธรรมชาติและเทคโนโลยีมักจะใกล้เคียงกับฮาร์มอนิก และกระบวนการตามคาบของรูปแบบที่แตกต่างกันสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของการแกว่งของฮาร์มอนิกได้

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก เรียกว่าการสั่นดังกล่าวซึ่งปริมาณการสั่นเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย ไซน์หรือ โคไซน์.

สมการฮาร์มอนิกมีรูปแบบ:

ที่ไหน - แอมพลิจูดการสั่นสะเทือน (ขนาดความเบี่ยงเบนสูงสุดของระบบจากตำแหน่งสมดุล); -ความถี่วงกลม (วงจร) อาร์กิวเมนต์ของโคไซน์ที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะเรียกว่า เฟสการสั่น . เฟสของการสั่นจะเป็นตัวกำหนดการเคลื่อนที่ของปริมาณการสั่นจากตำแหน่งสมดุลใน ช่วงเวลานี้เวลาที ค่าคงที่ φ แสดงถึงค่าเฟส ณ เวลา t = 0 และถูกเรียก ระยะเริ่มต้นของการสั่น . ค่าของเฟสเริ่มต้นถูกกำหนดโดยการเลือกจุดอ้างอิง ค่า x สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ -A ถึง +A

ช่วงเวลา T ซึ่งสถานะของระบบออสซิลลาทอรีเกิดซ้ำ เรียกว่าช่วงเวลาแห่งความสั่นคลอน . โคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบซึ่งมีคาบ 2π ดังนั้นในช่วงเวลา T หลังจากนั้นเฟสการสั่นจะได้รับการเพิ่มขึ้นเท่ากับ 2π สถานะของระบบที่ทำการสั่นฮาร์มอนิกจะทำซ้ำ คาบเวลานี้ T เรียกว่าคาบการสั่นฮาร์มอนิก

คาบของการสั่นฮาร์มอนิกมีค่าเท่ากับ : ต = 2π/ .

เรียกว่าจำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลา ความถี่การสั่นสะเทือน ν.
ความถี่ฮาร์มอนิก เท่ากับ: ν = 1/T หน่วยความถี่ เฮิรตซ์(Hz) - หนึ่งการสั่นต่อวินาที

ความถี่วงกลม = 2π/T = 2πν ให้จำนวนการแกว่งใน 2π วินาที

ในเชิงกราฟิก การสั่นของฮาร์มอนิกสามารถแสดงเป็นการพึ่งพาของ x บน t (รูปที่ 1.1.A) และ วิธีแอมพลิจูดแบบหมุน (วิธีไดอะแกรมเวกเตอร์)(รูปที่ 1.1.B) .

วิธีแอมพลิจูดแบบหมุนช่วยให้คุณเห็นภาพพารามิเตอร์ทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก แท้จริงแล้วถ้าเป็นเวกเตอร์แอมพลิจูด กตั้งอยู่ที่มุม φ ถึงแกน x (ดูรูปที่ 1.1 B) จากนั้นการฉายภาพบนแกน x จะเท่ากับ: x = Acos(φ) มุม φ เป็นระยะเริ่มต้น ถ้าเป็นเวกเตอร์ กนำมาหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากับความถี่วงกลมของการแกว่ง จากนั้นเส้นโครงของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเคลื่อนที่ไปตามแกน x และรับค่าตั้งแต่ -A ถึง +A และพิกัดของการฉายภาพนี้จะ เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาตามกฎหมาย:
.

ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์จึงเท่ากับแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก ทิศทางของเวกเตอร์ที่โมเมนต์เริ่มต้นทำให้เกิดมุมโดยมีแกน x เท่ากับเฟสเริ่มต้นของการออสซิลเลชัน φ และการเปลี่ยนแปลงในมุมของทิศทาง โดยเวลาจะเท่ากับเฟสของการสั่นของฮาร์มอนิก เวลาที่เวกเตอร์แอมพลิจูดทำการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้งจะเท่ากับคาบ T ของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก จำนวนการปฏิวัติเวกเตอร์ต่อวินาทีเท่ากับความถี่การสั่น ν

>>การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

§ 22 การสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิก

เมื่อรู้ว่าความเร่งและพิกัดของวัตถุที่แกว่งไปมามีความสัมพันธ์กันอย่างไร จากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ จึงสามารถค้นหาการขึ้นต่อกันของพิกัดตรงเวลาได้

ความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาความเร็วชั่วขณะของจุดหนึ่งๆ ดังที่คุณทราบจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ นั้นเป็นอนุพันธ์ของพิกัดของจุดนั้นเทียบกับเวลา ความเร่งของจุดคืออนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา หรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา ดังนั้นสมการ (3.4) สามารถเขียนได้ดังนี้

ที่ไหน x " - อนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา ตามสมการ (3.11) ในระหว่างการแกว่งอิสระ พิกัด x เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพิกัดนั้นเองและอยู่ตรงข้ามในเครื่องหมาย

จากหลักสูตรคณิตศาสตร์เป็นที่ทราบกันดีว่าอนุพันธ์อันดับสองของไซน์และโคไซน์ที่เกี่ยวข้องกับการโต้แย้งนั้นเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันของตัวเองโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชันอื่นที่มีคุณสมบัตินี้ ทั้งหมดนี้ช่วยให้เรายืนยันได้อย่างถูกกฎหมายว่าพิกัดของร่างกายที่ทำการแกว่งอย่างอิสระเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือปาไซน์ รูปที่ 3.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงพิกัดของจุดในช่วงเวลาตามกฎโคไซน์

การเปลี่ยนแปลงปริมาณทางกายภาพเป็นระยะๆ ขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งเกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ เรียกว่าการแกว่งของฮาร์มอนิก

แอมพลิจูดของการสั่นแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกคือโมดูลัสของการกระจัดที่ใหญ่ที่สุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล

แอมพลิจูดอาจมี ความหมายที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าเราเคลื่อนร่างกายออกจากตำแหน่งสมดุลในช่วงเวลาเริ่มต้นมากน้อยเพียงใด หรือความเร็วที่ให้กับร่างกาย แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยสภาวะเริ่มต้น หรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยพลังงานที่ส่งให้กับร่างกาย แต่ค่าสูงสุดของโมดูลัสไซน์และโมดูลัสโคไซน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นการแก้สมการ (3.11) จึงไม่สามารถแสดงเป็นไซน์หรือโคไซน์ได้ง่ายๆ ควรอยู่ในรูปของผลิตภัณฑ์ของแอมพลิจูดการสั่น x m โดยไซน์หรือโคไซน์

การแก้สมการที่อธิบายการสั่นสะเทือนอิสระให้เราเขียนคำตอบของสมการ (3.11) ในรูปแบบต่อไปนี้:

และอนุพันธ์อันดับสองจะเท่ากับ:

เราได้รับสมการ (3.11) ดังนั้น ฟังก์ชัน (3.12) จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม (3.11) การแก้สมการนี้ก็คือฟังก์ชันเช่นกัน

กราฟของพิกัดของร่างกายเทียบกับเวลาตาม (3.14) เป็นคลื่นโคไซน์ (ดูรูปที่ 3.6)

คาบและความถี่ของการสั่นฮาร์มอนิก. เมื่อสั่น การเคลื่อนไหวของร่างกายจะเกิดซ้ำเป็นระยะๆ ช่วงเวลา T ในระหว่างที่ระบบสร้างขึ้น เต็มรอบการสั่นเรียกว่าคาบของการสั่น

เมื่อทราบระยะเวลา คุณสามารถกำหนดความถี่ของการแกว่งได้ เช่น จำนวนการแกว่งต่อหน่วยเวลา เช่น ต่อวินาที หากการสั่นหนึ่งครั้งเกิดขึ้นในเวลา T แล้วจำนวนการสั่นต่อวินาที

ใน ระบบสากลหน่วย (SI) ความถี่ของการสั่นจะเท่ากับ 1 ถ้าเกิดการสั่นหนึ่งครั้งต่อวินาที หน่วยความถี่เรียกว่าเฮิรตซ์ (ตัวย่อ: Hz) เพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน G. Hertz

จำนวนการสั่นใน 2 วินาทีเท่ากับ:

ปริมาณคือความถี่ของการแกว่งแบบวนหรือแบบวงกลม หากในสมการ (3.14) เวลา t เท่ากับหนึ่งช่วง ดังนั้น T = 2 ดังนั้น หาก ณ เวลา t = 0 x = x m ดังนั้น ณ เวลา t = T x = x m เช่น ผ่านช่วงระยะเวลาหนึ่งเท่ากับหนึ่ง การสั่นจะเกิดขึ้นซ้ำๆ

ความถี่ของการสั่นสะเทือนอิสระถูกกำหนดโดยความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลเลเตอร์ 1

การขึ้นอยู่กับความถี่และระยะเวลาของการแกว่งอิสระกับคุณสมบัติของระบบความถี่ธรรมชาติของการสั่นสะเทือนของร่างกายที่ติดกับสปริงตามสมการ (3.13) เท่ากับ:

ยิ่งความแข็งของสปริง k ยิ่งมาก ยิ่งมีมาก และยิ่งน้อย มวลตัว m ก็จะยิ่งมากขึ้น สิ่งนี้เข้าใจได้ง่าย: สปริงที่แข็งช่วยให้ร่างกายเร่งความเร็วได้มากขึ้นและเปลี่ยนความเร็วของร่างกายได้เร็วขึ้น และยิ่งร่างกายมีขนาดใหญ่เท่าใด ความเร็วก็จะยิ่งช้าลงภายใต้อิทธิพลของแรงเท่านั้น ระยะเวลาการสั่นเท่ากับ:

การมีชุดสปริงที่มีความแข็งต่างกันและมีมวลต่างกัน จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบจากประสบการณ์ว่าสูตร (3.13) และ (3.18) อธิบายธรรมชาติของการพึ่งพาของ และ T บน k และ m ได้อย่างถูกต้อง

เป็นที่น่าสังเกตว่าคาบการแกว่งของวัตถุบนสปริงและคาบการสั่นของลูกตุ้มที่มุมโก่งเล็ก ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

โมดูลัสของสัมประสิทธิ์สัดส่วนระหว่างความเร่ง t และการกระจัด x ในสมการ (3.10) ซึ่งอธิบายการแกว่งของลูกตุ้ม ดังในสมการ (3.11) คือกำลังสองของความถี่ไซคลิก ดังนั้น ความถี่ธรรมชาติของการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มุมเล็กๆ ของการเบี่ยงเบนของเกลียวจากแนวตั้ง ขึ้นอยู่กับความยาวของลูกตุ้มและความเร่งของแรงโน้มถ่วง:

สูตรนี้ได้รับและทดสอบครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ G. Huygens ซึ่งเป็นผู้ร่วมสมัยของ I. Newton ใช้ได้เฉพาะกับมุมโก่งเกลียวเล็กๆ เท่านั้น

1 บ่อยครั้งต่อไปนี้ เพื่อความกระชับ เราจะเรียกความถี่ไซคลิกว่าเป็นความถี่ คุณสามารถแยกแยะความถี่ไซคลิกจากความถี่ปกติได้ด้วยสัญลักษณ์

คาบการสั่นจะเพิ่มขึ้นตามความยาวของลูกตุ้มที่เพิ่มขึ้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายด้วยการทดลองด้วยลูกตุ้มต่างๆ นอกจากนี้ยังสามารถตรวจจับการขึ้นต่อกันของคาบการสั่นกับความเร่งของแรงโน้มถ่วงได้ด้วย ยิ่ง g มีค่าน้อย ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มก็จะนานขึ้น ดังนั้น นาฬิกาลูกตุ้มจะเดินช้าลงเท่านั้น ดังนั้นนาฬิกาที่มีลูกตุ้มอยู่ในรูปของน้ำหนักบนไม้เรียวจะตกไปเกือบ 3 วินาทีต่อวันหากยกจากห้องใต้ดินขึ้นไปชั้นบนสุดของมหาวิทยาลัยมอสโก (สูง 200 ม.) และนี่เป็นเพียงเพราะความเร่งของการตกอย่างอิสระที่ลดลงตามความสูง

ในทางปฏิบัติการพึ่งพาคาบการแกว่งของลูกตุ้มกับค่า g ด้วยการวัดคาบการสั่น ทำให้สามารถกำหนด g ได้แม่นยำมาก ความเร่งของแรงโน้มถ่วงเปลี่ยนแปลงไปตามละติจูดทางภูมิศาสตร์ แต่ถึงแม้ในละติจูดที่กำหนด มันก็ไม่เหมือนกันทุกที่ ท้ายที่สุดแล้วความหนาแน่น เปลือกโลกไม่เหมือนกันทุกที่ ในบริเวณที่มีหินหนาแน่นเกิดขึ้น ความเร่ง g จะมากกว่าเล็กน้อย สิ่งนี้จะถูกนำมาพิจารณาเมื่อค้นหาแร่ธาตุ

ดังนั้นแร่เหล็กจึงมีความหนาแน่นสูงกว่าเมื่อเทียบกับหินธรรมดา การวัดความเร่งของแรงโน้มถ่วงใกล้เคิร์สต์ดำเนินการภายใต้การนำของนักวิชาการ A. A. Mikhailov ทำให้สามารถชี้แจงตำแหน่งของแร่เหล็กได้ พวกมันถูกค้นพบครั้งแรกผ่านการวัดทางแม่เหล็ก

คุณสมบัติของการสั่นสะเทือนทางกลนั้นใช้ในอุปกรณ์ของเครื่องชั่งอิเล็กทรอนิกส์ส่วนใหญ่ ร่างกายที่จะชั่งน้ำหนักจะวางอยู่บนแท่นซึ่งมีสปริงแข็งติดตั้งอยู่ เป็นผลให้เกิดการสั่นสะเทือนทางกลขึ้นความถี่ที่วัดโดยเซ็นเซอร์ที่เกี่ยวข้อง ไมโครโปรเซสเซอร์ที่เกี่ยวข้องกับเซ็นเซอร์นี้จะแปลงความถี่การสั่นเป็นมวลของร่างกายที่ชั่งน้ำหนัก เนื่องจากความถี่นี้ขึ้นอยู่กับมวล

สูตรผลลัพธ์ (3.18) และ (3.20) สำหรับคาบการสั่นบ่งชี้ว่าคาบการสั่นฮาร์มอนิกขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของระบบ (ความแข็งของสปริง ความยาวของเกลียว ฯลฯ)

Myakishev G. Ya. ฟิสิกส์ เกรด 11: ทางการศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; แก้ไขโดย V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva - ฉบับที่ 17 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - อ.: การศึกษา, 2551. - 399 หน้า: ป่วย.

รายการหัวข้อทั้งหมดตามเกรด แผนปฏิทินตาม หลักสูตรของโรงเรียนในวิชาฟิสิกส์ออนไลน์ เนื้อหาวิดีโอเกี่ยวกับฟิสิกส์สำหรับการดาวน์โหลดเกรด 11

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการอัปเดตส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน การแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี หลักเกณฑ์โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

การแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของปริมาณใด ๆ ซึ่งการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์มีลักษณะเป็นฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณจะผันผวนอย่างกลมกลืนและเปลี่ยนแปลงตามเวลาดังนี้

โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลง t คือเวลา พารามิเตอร์ที่เหลือจะเป็นค่าคงที่: A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน ω คือความถี่ไซคลิกของการออสซิลเลชัน คือเฟสเต็มของการออสซิลเลชัน คือเฟสเริ่มต้นของการออสซิลเลชัน

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(คำตอบที่ไม่ไม่สำคัญใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือการแกว่งของฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นรอบ)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์มอนิก จำเป็นที่ระบบออสซิลลาทอรีจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และไม่มีการกระจายพลังงานไปในตัว (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอน)

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกเป็นระยะ เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

สมการฮาร์มอนิก

สมการ (1)

ให้การพึ่งพาค่าที่ผันผวน S ตรงเวลา t; นี่คือสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้วสมการการสั่นสะเทือนจะเข้าใจว่าเป็นตัวแทนของสมการนี้ในรูปแบบที่แตกต่างกัน เพื่อความแน่นอน ขอให้เราใช้สมการ (1) ในรูปแบบ

มาแยกความแตกต่างสองครั้งตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง จึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ การหาค่าคงที่ A และ   ที่รวมอยู่ในสมการ (1) เช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบออสซิลลาทอรีที่ t = 0

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่ตั้งอยู่บนเกลียวที่ไม่สามารถยืดออกได้แบบไร้น้ำหนัก หรือบนแท่งไร้น้ำหนักในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ คาบของการสั่นตามธรรมชาติเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ความยาว l ซึ่งแขวนลอยอย่างไม่มีการเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอโดยมีความเร่งการตกอย่างอิสระ g เท่ากับ

และไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางกายภาพคือออสซิลเลเตอร์ซึ่งเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งไปแกว่งมาในสนามที่มีแรงใดๆ สัมพันธ์กับจุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ หรือแกนคงที่ตั้งฉากกับทิศทางการกระทำของแรงและไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายนี้