На этом уроке мы вспомним определение числовой прямой и дадим новое определение числовой окружности. Также подробно рассмотрим важное свойство числовой окружности и важные точки на окружности. Дадим определение прямой и обратной задачи для числовой окружности и решим несколько примеров подобных задач.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Числовая окружность

Для любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой , либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность .

Прямая становится числовой (координатной) прямой, если отмечено начало координат, выбраны направление и масштаб (рис. 1).

Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.

Например, берем число откладываем на координатной оси, получаем точку Возьмем число откладываем на оси, получаем точку (рис. 2).

И наоборот, если мы взяли любую точку на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).

К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.

Сначала ввели множество натуральных чисел

Затем множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида

Пример - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна (рис. 3).

Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное Нет, не найдется. Докажем этот факт.

Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.

Тогда Возведем обе части в квадрат, Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и Тогда Но тогда и А значит, Тогда получается, что дробь сократимая. Это противоречит условию, значит

Число иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.

Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.

Начало отсчета - точка A . Направление отсчета - против часовой стрелки - положительное, по часовой стрелке - отрицательное. Масштаб - длина окружности (рис. 4).

Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность . Укажем, каким образом каждому числу поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.

Задав число получаем точку на окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на окружности. А наоборот?

Точка соответствует числу . А если взять числа Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку

Например, соответствует точке B (рис. 4).

Возьмем все числа Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.

Если есть фиксированное число то ему соответствует только одна точка окружности

Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел

В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.

Рассмотрим основные точки на окружности.

Задано число Найти, какой точке на окружности оно соответствует.

Разделив дугу пополам, получаем точку (рис. 5).

Обратная задача - дана точка середина дуги Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.

Отметим на числовой окружности все дуги, кратные (рис. 6).

Важны также дуги, кратные

Дано число Нужно найти соответствующую точку.

Обратная задача - дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.

Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.

a) Найти на числовой окружности точку с координатой

Откладываем от точки A это два целых оборота и еще половина, и Получаем точку M - это середина третьей четверти (рис. 8).

Ответ. Точка M - середина третьей четверти.

b) Найти на числовой окружности точку с координатой

Откладываем от точки A полный оборот и еще получаем точку N (рис. 9).

Ответ: Точка N находится в первой четверти.

Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.

На следующем уроке мы рассмотрим числовую окружность в координатной плоскости.

Список литературы по теме "Числовая окружность", "Точка на окружности"

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Название предмета Алгебра и начала математического анализа

Класс 10

УМК Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) / [ А.Г. Мордкович и др. ]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.

Уровень обучения. Базовый

Тема урока Числовая окружность (2 часа)

Урок №1

Цель : ввести понятие числовой окружности как модели криволинейной системы координат.

Задачи : формировать умение использовать числовую окружность при решении задач.

Планируемые результаты:

Ход урока

Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания вызвавшие затруднения у учащихся

II. Устная работа.

1. Поставьте каждому промежутку на числовой прямой в соответствие неравенство и аналитическую запись интервала. Данные занесите в табличку.

А (–  ; –5] Д (–5; 5)

Б [–5; 5] Е (–  ; –5)

В [–5; +  ) Ж [–5; 5)

Г (–5; 5] З (–5; +  )

1 –5 < х < 5 5 –5  х  5

2 х  –5 6 х  –5

3 –5 < х  5 7 5  х < 5

4 х < –5 8 х > –5

а

1. В отличие от изученной числовой прямой числовая окружность является более сложной моделью. Понятие дуги, которое лежит в её основе, не является надежно отработанным в геометрии.

2 . Работа с учебником . Рассматриваем практический пример со с. 23–24 учебника (беговая дорожка стадиона). Можно попросить учащихся привести похожие примеры (движение спутника по орбите, вращение шестерни и т. п.).

3. Обосновываем удобство использования в качестве числовой именно единичной окружности.

4. Работа с учебником. Рассматриваем примеры со с. 25–31 учебника. Авторы подчеркивают, что для успешного овладения моделью числовой окружности и в учебнике, и в задачнике предусмотрена система специальных «дидактических игр». Их шесть, на этом уроке используем первые четыре.

(Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10- 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М. : Мнемози- на, 2010. - 202 с. : ил.)

1-я «игра» – вычисление длины дуги единичной окружности. Учащиеся должны привыкнуть к тому, что длина всей окружности равна 2  , половины окружности –  , четверти окружности – и т. д.

2-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа  например, точек и т. д. («хорошие» числа и точки).

3-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным не в долях числа  например, точек М (1), М (–5) и т. д. («плохие» числа и точки).

4-я «игра» – запись чисел, соответствующих данной «хорошей» точке числовой окружности, например, «хорошей» является середина первой четверти, соответствующие ей числа имеют вид

Динамическая пауза

Упражнения, решаемые на этом занятии, соответствуют четырем обозначенным дидактическим играм. Учащиеся используют макет числовой окружности с диаметрами АС (горизонтальным) и BD (вертикальным).

1. № 4.1, № 4.3.

Решение:

№ 4.3.

2. № 4.5 (а; б) – 4.11 (а; б).

3. № 4.12.

4. № 4.13 (а; б), № 4.14.

Решение:

№ 4.13.

V. Проверочная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу:

2. Найдите все числа, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Дайте определение числовой окружности.

– Чему равна длина единичной окружности? Длины половины единичной окружности? Её четверти?

– Каким способом можно отыскать на числовой окружности точку, соответствующую числу Числу 5?

Домашнее задание:, стр. 23. № 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г), № 4.15.

Урок № 2

Цели : закрепить понятие числовой окружности как модели криволинейной системы координат.

Задачи : продолжить формирование умения находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным «хорошим» и «плохим» числам; записывать число, соответствующее точке на числовой окружности; формировать умение составлять аналитическую запись дуги числовой окружности в виде двойного неравенства.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать, понимать: - числовая окружность.

Уметь: - находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты точки, расположенной на числовой окружности.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10- 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М. : Мнемози- на, 2010. - 202 с. : ил

Ход урока

Организационный момент.

Психологический настрой учащихся.

Проверка домашнего задания № 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г),

№ 4.15. Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

Устная работа.

(на слайде)

1. Сопоставьте точки на числовой окружности и заданные числа:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Найдите на числовой окружности точки.

–2; 4; –8; 13  .

III. Объяснение нового материала.

Как уже отмечали, учащиеся осваивают систему шести дидактических «игр», обеспечивающих умение решать задачи четырех основных типов, связанных с числовой окружностью (от числа к точке; от точки к числу; от дуги к двойному неравенству; от двойного неравенства к дуге).

(Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10- 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М. : Мнемозина, 2010. - 202 с. : ил.)

На этом занятии используем последние две игры:

5-я «игра» – составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности. Например, если дана дуга, соединяющая середину первой четверти (начало дуги) и нижнюю точку из тех двух, что делят вторую четверть на три равных части (конец дуги), то соответствующая аналитическая запись имеет вид:

Если у той же дуги поменять местами начало и конец, то соответствующая аналитическая запись дуги будет иметь вид:

Авторы учебника отмечают, что термины «ядро аналитической записи дуги», «аналитическая запись дуги» не являются общепризнанными, они введены из чисто методических соображений, и использовать их или нет – дело учителя.

6-я «игра» – от данной аналитической записи дуги (двойного неравенства) перейти к её геометрическому изображению.

Объяснение следует проводить с помощью приема аналогии. Можно использовать подвижную модель числовой прямой, которую можно «свернуть» в числовую окружность.

Работа с учебником .

Рассматриваем пример 8 со с. 33 учебника.

Динамическая пауза

IV. Формирование умений и навыков.

При выполнении заданий учащиеся должны следить, чтобы при аналитической записи дуги левая часть двойного неравенства была меньше правой части. Для этого необходимо при записи двигаться в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

1-я группа . Упражнения на отыскание на числовой окружности «плохих» точек.

№ 4.16, № 4.17 (а; б).

2-я группа . Упражнения на аналитическую запись дуги и построение дуги по её аналитической записи.

№ 4.18 (а; б), № 4.19 (а; б), № 4.20 (а; б).

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

3. По аналитической модели запишите обозначение числовой дуги и постройте её геометрическую модель.

Вариант 2

1. По геометрической модели дуги числовой окружности запишите аналитическую модель в виде двойного неравенства.

2. По заданному обозначению дуги числовой окружности укажите её геометрическую и аналитическую модели.

3. По аналитической модели запишите обозначение дуги числовой окружности и постройте её геометрическую модель.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какими способами можно записать аналитически дугу числовой окружности?

– Что называется ядром аналитической записи дуги?

– Каким условиям должны отвечать числа, стоящие слева и справа в записи двойного неравенства?

Домашнее задание:

1. , стр. 23. № 4.17 (в; г), № 4.18 (в; г), № 4.19 (в; г), № 4.20 (в; г).

2. По геометрической модели дуги числовой окружности запишите её аналитическую модель в виде двойного неравенства.

3. По заданному обозначению дуги числовой окружности укажите её геометрическую и аналитическую модели.

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Числовая окружность

Наша ближайшая цель - определить тригонометрические функции: синус , косинус , тангенс , котангенс-

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с

Например, дана точка Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности .

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки - положительное направление, по часовой стрелке - отрицательное.

Типовые задачи - нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу соответствует точка А с координатой

Каждая точка В с координатой характеризуется только одним числом - расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

Дана окружность, длина окружности Если то - длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще - тоже попадем в т. В, отнимем - тоже т. В.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности - точка В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида .

Для числовой окружности верно следующее:

Если т. М числовой окружности соответствует числу то она соответствует и числу вида

Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении - точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?

Измеряем дугу .

множество всех чисел, соответствующих точке D.

Рассмотрим основные точки на числовой окружности.

Длина всей окружности.

Т.е. запись множества координат может быть различной.

Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.

1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Выделяем целую часть:

Необходимо найти т. на числовой окружности. , тогда.

В это множество входит и точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Необходимо найти т.

т.также принадлежит этому множеству.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.

Разделим дугу на три равные части и отметим точки M и N.

Найдем все координаты этих точек.

Итак, наша цель - определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи - найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли

Координаты x лежащих на окружности точек равны cos(θ), а координаты y соответствуют sin(θ), где θ - величина угла.

• Если вам сложно запомнить данное правило, просто помните, что в паре (cos; sin) "синус стоит на последнем месте".
• Это правило можно вывести, если рассмотреть прямоугольные треугольники и определение данных тригонометрических функций (синус угла равен отношению длины противолежащего, а косинус - прилежащего катета к гипотенузе).

Запишите координаты четырех точек на окружности. "Единичная окружность" - это такая окружность, радиус которой равен единице. Используйте это, чтобы определить координаты x и y в четырех точках пересечения координатных осей с окружностью. Выше мы обозначили эти точки для наглядности "востоком", "севером", "западом" и "югом", хотя они не имеют устоявшихся названий.

• "Восток" соответствует точке с координатами (1; 0) .
• "Север" соответствует точке с координатами (0; 1) .
• "Запад" соответствует точке с координатами (-1; 0) .
• "Юг" соответствует точке с координатами (0; -1) .
• Это аналогично обычному графику, поэтому нет необходимости запоминать эти значения, достаточно помнить основной принцип.

Запомните координаты точек в первом квадранте. Первый квадрант расположен в верхней правой части круга, где координаты x и y принимают положительные значения. Это единственные координаты, которые необходимо запомнить:

• точка π / 6 имеет координаты () ;
• точка π / 4 имеет координаты () ;
• точка π / 3 имеет координаты () ;
• обратите внимание, что числитель принимает лишь три значения. Если перемещаться в положительном направлении (слева направо по оси x и снизу вверх по оси y ), числитель принимает значения 1 → √2 → √3.

Проведите прямые линии и определите координаты точек их пересечения с окружностью. Если вы проведете от точек одного квадранта прямые горизонтальные и вертикальные линии, вторые точки пересечения этих линий с окружностью будут иметь координаты x и y с теми же абсолютными значениями, но другими знаками. Иными словами, можно провести горизонтальные и вертикальные линии от точек первого квадранта и подписать точки пересечения с окружностью теми же координатами, но при этом оставить слева место для правильного знака ("+" или "-").

• Например, можно провести горизонтальную линию между точками π / 3 и 2π / 3 . Поскольку первая точка имеет координаты ( 1 2 , 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ), координаты второй точки будут (? 1 2 , ? 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},?{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ), где вместо знака "+" или "-" поставлен знак вопроса.
• Используйте наиболее простой способ: обратите внимание на знаменатели координат точки в радианах. Все точки со знаменателем 3 имеют одинаковые абсолютные значения координат. То же самое относится к точкам со знаменателями 4 и 6.

Для определения знака координат используйте правила симметрии. Существует несколько способов определить, где следует поставить знак "-":

• вспомните основные правила для обычных графиков. Ось x отрицательна слева и положительна справа. Ось y отрицательна снизу и положительна сверху;
• начните с первого квадранта и проведите линии к другим точкам. Если линия пересечет ось y , координата x изменит свой знак. Если линия пересечет ось x , изменится знак у координаты y ;
• запомните, что в первом квадранте положительны все функции, во втором квадранте положителен только синус, в третьем квадранте положителен лишь тангенс, и в четвертом квадранте положителен только косинус;
• какой бы метод вы ни использовали, в первом квадранте должно получиться (+,+), во втором (-,+), в третьем (-,-) и в четвертом (+,-).

Проверьте, не ошиблись ли вы. Ниже приведен полный список координат "особых" точек (кроме четырех точек на координатных осях), если двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Помните, что для определения всех этих значений достаточно запомнить координаты точек лишь в первом квадранте:

• первый квадрант: ( 3 2 , 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} ); ( 2 2 , 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 1 2 , 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
• второй квадрант: ( − 1 2 , 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( − 2 2 , 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 3 2 , 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} );
• третий квадрант: ( − 3 2 , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ); ( − 2 2 , − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 1 2 , − 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
• четвертый квадрант: ( 1 2 , − 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( 2 2 , − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 3 2 , − 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ).