Определение. Определителем второго порядка

(*)

; ;

Теоретически возможны следующие три случая.

1. Если , то система (*) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам, которые называются формулами Крамера: , .

2. Если , а (тогда и ), то система (*) не имеет решений.

3. Если и (тогда и ), то система (*) имеет бесконечное множество решений (а именно, каждое решение одного уравнения системы является и решением другого ее уравнения).

Замечание . Определитель называется главным определителем системы (*). Систему можно решать по формулам Крамера только при условии . В противном случае нужно использовать другие методы, например метод Гаусса.

Определитель третьего порядка. Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными по формулам Крамера

Определение. Определителем третьего порядка называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом:

Пусть дана система уравнений вида (*)

Введем в рассмотрение следующие определители:

– главный определитель системы (*);

; ; .

При решении системы возможны следующие случаи.

1. Если , то система (*) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам, которые называются формулами Крамера: .

2. Если , то решить систему (1) методом Крамера нельзя.

Замечание 1. В случае система может не иметь решений или иметь бесконечное множество решений. Для более детального исследования и нахождения общего системы решения можно использовать, например, метод Гаусса.

Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными

Методом Гаусса

Суть метода Гаусса рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Решить систему уравнений: (*)

Прямой ход. Данная система приводится к треугольному виду поэтапно методом алгебраического сложения.

На первом этапе исключим из второго и третьего уравнений системы слагаемые, содержащие переменную . Лучше использовать в обоих случаях одно и то же уравнение (мы возьмем первое).

Получаем:

Первое уравнение системы перепишем без изменений, а второе и третье уравнения заменим полученными уравнениями.

Система примет вид:

На втором этапе исключим из третьего уравнения системы слагаемое, содержащее переменную . Используем для этого второе уравнение.

Первые два уравнения системы перепишем без изменения, а третье уравнение заменим полученным уравнением.

Получаем систему треугольного вида:

Обратный ход. Последовательно находим неизвестные, начиная с третьего уравнения.

Из третьего уравнения системы находим значение переменной : .

Подставив найденное значение во второе уравнение системы, получаем , откуда находим значение переменной : .

Подставив найденные значения и в первое уравнение системы, получаем , откуда находим значение переменной : .

Ответ: .

22. Решение линейного неравенства

	Примеры
1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то .
4. Если , , то неравенство не имеет решений.	Неравенства и не имеют решений.

23. Решение линейного неравенства

При решении неравенства возможны следующие случаи:	Примеры
1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то неравенство не имеет решений.	Неравенство не имеет решений.
4. Если , , то .

24. Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Система неравенств – это два или большее количество неравенств, для которых ищут общие решения.

Решением системы неравенств называется общее решение всех неравенств, входящих в систему.

Теоретически возможных случаев даже для системы двух неравенств очень много, поэтому рассмотрим основные случаи для системы двух простейших неравенств.

Пример 1 . Решить систему неравенств:

Ответ: .

Пример 2 . Решить систему неравенств:

Изобразим решения неравенств графически.

Ответ: .

Пример 3 . Решить систему неравенств:

Изобразим решения неравенств графически.

Ответ: .

Пример 4. Решить систему неравенств:

Изобразим решения неравенств графически.

Ответ: система не имеет решений.

25. Решение неполных квадратных уравнений , ,

Квадратным уравнением называется уравнение вида , причем.

Квадратное уравнение называется неполным , если хотя бы один из коэффициентов или равен нулю.

Каждое из неполных уравнений можно решить по общей формуле. Но удобнее использовать частные методы.

Случай 1.

Левую его часть можно разложить на множители: . Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем: или , откуда в силу условия следует, что .

Вывод: уравнение всегда имеет два действительных корня , .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение : или , .

Случай 2. Если , то уравнение принимает вид .

Тогда . Поскольку , то .

Если , это уравнение не имеет действительных корней (так как ).

Если , то уравнение имеет два действительных корня .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение : . Так как , , то данное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение : .

Случай 3. Если и , то уравнение принимает вид .

Так как , то , или , поэтому уравнение имеет два равных корня .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение : .

26. Решение приведенного квадратного уравнения

Приведенным квадратным уравнением называется квадратное уравнение , старший коэффициент которого .

Чтобы найти его корни, выделим полный квадрат с переменной x . Получим:

.

Число называется дискриминантом приведенного квадратного уравнения. От знака дискриминанта зависит количество действительных корней уравнения.

Если , то уравнение не имеет действительных корней, так как .

Если , то , , то естьданное уравнение имеет два действительных корня и .

Замечание. Формулу особенно удобно использовать, если коэффициент p является четным числом.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Так как , то , , поэтому .

Тогда , .

Ответ: , .

27. Формулы Виета для приведенного квадратного уравнения

при условии имеет два действительных корня и .

Тогда ,

Таким образом доказана теорема, которая называется теоремой Виета.

Теорема. Если и – корни приведенного квадратного уравнения , то справедливы равенства , .

Эти равенства называются формулами Виета.

Замечание. Формулы Виета справедливы и в том случае, если и уравнение имеет комплексные сопряженные корни.

Пример. В предыдущем параграфе показано, что уравнение имеет корни , . Тогда , .

Так как , , то , .

28. Решение квадратного уравнения

Так как, по определению квадратного уравнения, , то можно разделить на a обе части уравнения. Получим приведенное квадратное уравнение , в котором , . Тогда его корни можно найти по формуле . Получим:

Число называется дискриминантом квадратного уравнения (и дискриминантом квадратного трехчлена ). Дискриминант показывает, сколько действительных корней имеет данное уравнение.

Если , то уравнение имеет два неравных действительных корня и ().

Если , то уравнение имеет два равных действительных корня .

Если , то уравнение не имеет действительных корней.

Замечание. В этом случае уравнение имеет два комплексных сопряженных корня

и .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Так как , (тогда ), , то

Так как , то .

Тогда , .

Ответ: , .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Так как , , , то .

Так как , то данное уравнение не имеет действительных корней.

29. Решение квадратных неравенств

, , ,

с положительным дискриминантом

сведением к системе двух линейных неравенств

Дискриминант квадратного трехчлена -- это число .

Корнями квадратного трехчлена называются корни уравнения .

и , причем (значит ).

Тогда его можно разложить на линейные множители: .

Так как , то можно разделить на a обе части каждого из рассматриваемых неравенств (если , знак неравенства (то есть знак > или <) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: , , , . Рассмотрим решение этих неравенств.

1) Произведение двух множителей положительно, если оба множителя положительные или оба множителя отрицательные, поэтому , если или .

Решения обеих систем являются решениями данного квадратного неравенства.

Так как , то (тогда ).

Так как , то (тогда ).

Ответ: неравенство

имеет множество решений, которое можно записать в виде или или в виде .

3) Произведение двух множителей отрицательно, если один из множителей положительный, а другой отрицательный. Поэтому , если или .

Так как , то .

Эта система неравенств не имеет решений, так как число x не может быть одновременно меньше меньшего из двух чисел и , и больше большего из них.

Ответ: неравенство

2) Аналогично получаем, что неравенство имеет множество решений, которое можно записать в виде или в виде .

Пример. Решить неравенство .

Решение. Найдем корни квадратного трехчлена , то есть корни уравнения : ,

, .

Разложив левую часть данного неравенства по формуле , получаем неравенство .

Так как , то, разделив обе части последнего неравенства на 3, получаем равносильное ему неравенство .

Произведение двух множителей отрицательно, если один из множителей положительный, а другой отрицательный. Поэтому решениями последнего неравенства являются решения каждой из систем неравенств если или . Тогда или

Графическое решение систем представлено на рисунках (для первой системы рисунок слева, для второй справа). Видно, что вторая система решений не имеет, поэтому решениями данного неравенства являются только решения первой системы.

Ответ:

30. Решение квадратных неравенств

, , ,

с использованием графика квадратичной функции

Замечание. Можно считать, что во всех этих неравенствах . В противном случае, умножив обе части неравенства на и поменяв знак неравенства на противоположный, мы получим неравенство одного из указанных четырех видов, равносильное данному.

Тогда графиком функции будет парабола, ветвь которой направлена вверх. Расположение этой параболы относительно оси абсцисс зависит от знака дискриминанта квадратного трехчлена . Возможны 3 случая.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Случай 1. Если , то квадратный трехчлен имеет два действительных корня и , причем . Тогда парабола пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами и . Для строгих неравенств и числа и изображаются незакрашенными кружочками (как на рис.1). Для нестрогих неравенств и числа и изображаются закрашенными кружочками. В этом случае: и не имеет действительных корней. Тогда парабола не имеет общих точек с осью абсцисс (см. Рис. 3). В этом случае:x разбивают ось абсцисс на 3 интервала (см. рис. 1). и

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводится к решению систем линейных уравнений. Этими факторами объясняется причина создания данной статьи. Материал статьи подобран и структурирован так, что с его помощью Вы сможете

• подобрать оптимальный метод решения Вашей системы линейных алгебраических уравнений,
• изучить теорию выбранного метода,
• решить Вашу систему линейных уравнений, рассмотрев подробно разобранные решения характерных примеров и задач.

Краткое описание материала статьи.

Сначала дадим все необходимые определения, понятия и введем обозначения.

Далее рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных и которые имеют единственное решение. Во-первых, остановимся на методе Крамера, во-вторых, покажем матричный метод решения таких систем уравнений, в-третьих, разберем метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных переменных). Для закрепления теории обязательно решим несколько СЛАУ различными способами.

После этого перейдем к решению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных или основная матрица системы является вырожденной. Сформулируем теорему Кронекера - Капелли, которая позволяет установить совместность СЛАУ. Разберем решение систем (в случае их совместности) с помощью понятия базисного минора матрицы. Также рассмотрим метод Гаусса и подробно опишем решения примеров.

Обязательно остановимся на структуре общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Дадим понятие фундаментальной системы решений и покажем, как записывается общее решение СЛАУ с помощью векторов фундаментальной системы решений. Для лучшего понимания разберем несколько примеров.

В заключении рассмотрим системы уравнений, сводящиеся к линейным, а также различные задачи, при решении которых возникают СЛАУ.

Навигация по странице.

Определения, понятия, обозначения.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными (p может быть равно n ) вида

Неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной .

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид ,
где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т , а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной .

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной .

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной ; если решений больше одного, то – неопределенной .

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной , в противном случае – неоднородной .

Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.

Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными . Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.

Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, следом брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Разберем их.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, .

Пусть - определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:

При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как . Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Пример.

Методом Крамера .

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель (при необходимости смотрите статью ):

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Составим и вычислим необходимые определители (определитель получаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец свободных членов , определитель - заменив второй столбец на столбец свободных членов, - заменив третий столбец матрицы А на столбец свободных членов):

Находим неизвестные переменные по формулам :

Ответ:

Основным недостатком метода Крамера (если это можно назвать недостатком) является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Пример.

Решите систему линейных уравнений матричным методом.

Решение.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:

Так как

то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как .

Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А (при необходимости смотрите статью ):

Осталось вычислить - матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов (при необходимости смотрите статью ):

Ответ:

или в другой записи x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений с n неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находится x n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса .

Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а . Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.

Пример.

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x 1 из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на и на соответственно:

Теперь из третьего уравнения исключим x 2 , прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на :

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.

Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x 3 :

Из второго уравнения получаем .

Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса .

Ответ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

В общем случае число уравнений системы p не совпадает с числом неизвестных переменных n :

Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Это утверждение относится также к системам уравнений, основная матрица которых квадратная и вырожденная.

Теорема Кронекера – Капелли.

Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить ее совместность. Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли :
для того, чтобы система из p уравнений с n неизвестными (p может быть равно n ) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T) .

Рассмотрим на примере применение теоремы Кронекера – Капелли для определения совместности системы линейных уравнений.

Пример.

Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения.

Решение.

. Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор второго порядка отличен от нуля. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:

Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг основной матрицы равен двум.

В свою очередь ранг расширенной матрицы равен трем, так как минор третьего порядка

отличен от нуля.

Таким образом, Rang(A) , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли можно сделать вывод, что исходная система линейных уравнений несовместна.

Ответ:

Система решений не имеет.

Итак, мы научились устанавливать несовместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли.

А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?

Для этого нам потребуется понятие базисного минора матрицы и теорема о ранге матрицы.

Минор наивысшего порядка матрицы А , отличный от нуля, называется базисным .

Из определения базисного минора следует, что его порядок равен рангу матрицы. Для ненулевой матрицы А базисных миноров может быть несколько, один базисный минор есть всегда.

Для примера рассмотрим матрицу .

Все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как элементы третьей строки этой матрицы представляют собой сумму соответствующих элементов первой и второй строк.

Базисными являются следующие миноры второго порядка, так как они отличны от нуля

Миноры базисными не являются, так как равны нулю.

Теорема о ранге матрицы.

Если ранг матрицы порядка p на n равен r , то все элементы строк (и столбцов) матрицы, не образующие выбранный базисный минор, линейно выражаются через соответствующие элементы строк (и столбцов), образующих базисный минор.

Что нам дает теорема о ранге матрицы?

Если по теореме Кронекера – Капелли мы установили совместность системы, то выбираем любой базисный минор основной матрицы системы (его порядок равен r ), и исключаем из системы все уравнения, которые не образуют выбранный базисный минор. Полученная таким образом СЛАУ будет эквивалентна исходной, так как отброшенные уравнения все равно излишни (они согласно теореме о ранге матрицы являются линейной комбинацией оставшихся уравнений).

В итоге, после отбрасывания излишних уравнений системы, возможны два случая.

Если число уравнений r в полученной системе будет равно числу неизвестных переменных, то она будет определенной и единственное решение можно будет найти методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Пример.

.

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен двум, так как минор второго порядка отличен от нуля. Ранг расширенной матрицы также равен двум, так как единственный минор третьего порядка равен нулю

а рассмотренный выше минор второго порядка отличен от нуля. На основании теоремы Кронекера – Капелли можно утверждать совместность исходной системы линейных уравнений, так как Rank(A)=Rank(T)=2 .

В качестве базисного минора возьмем . Его образуют коэффициенты первого и второго уравнений:


Третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, поэтому исключим его из системы на основании теоремы о ранге матрицы:


Так мы получили элементарную систему линейных алгебраических уравнений. Решим ее методом Крамера:


Ответ:

x 1 = 1, x 2 = 2 .

Если число уравнений r в полученной СЛАУ меньше числа неизвестных переменных n , то в левых частях уравнений оставляем слагаемые, образующие базисный минор, остальные слагаемые переносим в правые части уравнений системы с противоположным знаком.

Неизвестные переменные (их r штук), оставшиеся в левых частях уравнений, называются основными .

Неизвестные переменные (их n - r штук), которые оказались в правых частях, называются свободными .

Теперь считаем, что свободные неизвестные переменные могут принимать произвольные значения, при этом r основных неизвестных переменных будут выражаться через свободные неизвестные переменные единственным образом. Их выражение можно найти решая полученную СЛАУ методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Разберем на примере.

Пример.

Решите систему линейных алгебраических уравнений .

Решение.

Найдем ранг основной матрицы системы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем a 1 1 = 1 . Начнем поиск ненулевого минора второго порядка, окаймляющего данный минор:


Так мы нашли ненулевой минор второго порядка. Начнем поиск ненулевого окаймляющего минора третьего порядка:


Таким образом, ранг основной матрицы равен трем. Ранг расширенной матрицы также равен трем, то есть, система совместна.

Найденный ненулевой минор третьего порядка возьмем в качестве базисного.

Для наглядности покажем элементы, образующие базисный минор:


Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, участвующие в базисном миноре, остальные переносим с противоположными знаками в правые части:


Придадим свободным неизвестным переменным x 2 и x 5 произвольные значения, то есть, примем , где - произвольные числа. При этом СЛАУ примет вид


Полученную элементарную систему линейных алгебраических уравнений решим методом Крамера:


Следовательно, .

В ответе не забываем указать свободные неизвестные переменные.

Ответ:

Где - произвольные числа.

Подведем итог.

Чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений общего вида, сначала выясняем ее совместность, используя теорему Кронекера – Капелли. Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то делаем вывод о несовместности системы.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то выбираем базисный минор и отбрасываем уравнения системы, которые не участвуют в образовании выбранного базисного минора.

Если порядок базисного минора равен числу неизвестных переменных, то СЛАУ имеет единственное решение, которое находим любым известным нам методом.

Если порядок базисного минора меньше числа неизвестных переменных, то в левой части уравнений системы оставляем слагаемые с основными неизвестными переменными, остальные слагаемые переносим в правые части и придаем свободным неизвестным переменным произвольные значения. Из полученной системы линейных уравнений находим основные неизвестные переменные методом Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Методом Гаусса можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого вида без предварительного их исследования на совместность. Процесс последовательного исключения неизвестных переменных позволяет сделать вывод как о совместности, так и о несовместности СЛАУ, а в случае существования решения дает возможность отыскать его.

С точки зрения вычислительной работы метод Гаусса является предпочтительным.

Смотрите его подробное описание и разобранные примеры в статье метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида .

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

В этом разделе речь пойдет о совместных однородных и неоднородных системах линейных алгебраических уравнений, имеющих бесконечное множество решений.

Разберемся сначала с однородными системами.

Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность (n – r) линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы.

Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – это матрицы столбцы размерности n на 1 ), то общее решение этой однородной системы представляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами С 1 , С 2 , …, С (n-r) , то есть, .

Что обозначает термин общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау)?

Смысл прост: формула задает все возможные решения исходной СЛАУ, другими словами, взяв любой набор значений произвольных постоянных С 1 , С 2 , …, С (n-r) , по формуле мы получим одно из решений исходной однородной СЛАУ.

Таким образом, если мы найдем фундаментальную систему решений, то мы сможем задать все решения этой однородной СЛАУ как .

Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.

Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1,0,0,…,0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет получено X (1) - первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0,1,0,0,…,0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X (2) . И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения 0,0,…,0,1 и вычислим основные неизвестные, то получим X (n-r) . Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде .

Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде , где - общее решение соответствующей однородной системы, а - частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0,0,…,0 и вычислив значения основных неизвестных.

Разберем на примерах.

Пример.

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решение.

Ранг основной матрицы однородных систем линейных уравнений всегда равен рангу расширенной матрицы. Найдем ранг основной матрицы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем элемент a 1 1 = 9 основной матрицы системы. Найдем окаймляющий ненулевой минор второго порядка:

Минор второго порядка, отличный от нуля, найден. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка в поисках ненулевого:

Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг основной и расширенной матрицы равен двум. Базисным минором возьмем . Отметим для наглядности элементы системы, которые его образуют:

Третье уравнение исходной СЛАУ не участвует в образовании базисного минора, поэтому, может быть исключено:

Оставляем в правых частях уравнений слагаемые, содержащие основные неизвестные, а в правые части переносим слагаемые со свободными неизвестными:

Построим фундаментальную систему решений исходной однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений данной СЛАУ состоит из двух решений, так как исходная СЛАУ содержит четыре неизвестных переменных, а порядок ее базисного минора равен двум. Для нахождения X (1) придадим свободным неизвестным переменным значения x 2 = 1, x 4 = 0 , тогда основные неизвестные найдем из системы уравнений
.

Большинство реальных систем нелинейны, т.е. поведение системы описывается уравнениями:

Часто на практике нелинейные системы можно аппроксимировать линейной в некоторой ограниченной области.

Предположим, что
для уравнения (1) известно. Заменим систему (1,2) подставив начальные условия

Предполагаем, что начальные состояния и входная переменная изменены так, что новое состояние и входная переменная имеет следующий вид.

Выход
найдем в результате решения возмущенных уравнений.

Разложим правую часть в ряд Тейлора.

-остаточный член погрешности второго порядка малости.

Вычитая исходное решение из разложений, получаем следующие линеаризованные уравнения:

.

Частные производные обозначим как коэффициенты зависящие от времени

Эти выражения можно переписать в виде

Получим линеаризованные уравнения в точках равновесия
.

. В точке

Решение этого уравнения

Продифференцируем правую часть исходного уравнения по x , получим

.

Выполним линеаризацию уравнения для произвольного начального значения
.

Получаем линеаризованную систему в виде нестационарного уравнения

Решение линеаризованной системы имеет вид:

.

1.7. Типовые возмущающие воздействия

Внешние возмущающие воздействия могут иметь различный характер:

мгновенного действия виде импульса и постоянного действия.

Если продифференцировать во времени
, то
, следовательно(t)- функция представляет собой производную во времени единичного ступенчатого воздействия.

(t)- функция при интегрировании обладает следующими фильтрующими свойствами:

Интегрируемое произведение произвольной функции
и(t)- функции отфильтровывает из всех значений
только то, которое соответствует моменту приложение мгновенного единичного импульса.

Линейное возмущение

Гармоническое возмущение

2 U. Системы второго порядка

2.1.Приведение уравнений второго порядка к системам уравнений первого порядка

Пример линейной стационарной системы.

Другое описание этой же системы второго порядка дается парой связанных дифференциальных уравнений первого порядка

(2)

где связь между коэффициентами этих уравнений определяется следующими соотношениями

2.2. Решение уравнений второго порядка

Применяя дифференциальный оператор
уравнение можно представить в более компактном виде

Решается уравнение (1) в 3 этапа:

1) находим общее решение однородного уравнения;

2) находим частное решение ;

3) полное решение есть сумма этих двух решений
.

Рассматриваем однородное уравнение

будем искать решение в форме

(5)

где
действительная или комплексная величина. При подстановке (5) в (4) получаем

(6)

Это выражение является решением однородного уравнения, если s удовлетворяет характеристическому уравнению

При s 1  s 2 решение однородного уравнения имеет вид

Тогда ищем решение в виде
и подставляя его в исходное уравнение

Откуда следует, что
.

Если выбрать

. (8)

Частное решение исходного уравнения (1) ищем методом вариации
в форме

исходя из (11), (13) получаем систему

Полное решение уравнения.

Заменой переменных получим уравнение второго порядка:

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

Двумерным пространственным состоянием или фазовой плоскостью называется плоскость, в которой две переменные состояния рассматриваются в прямоугольной системе координат

- эти переменные состояния образуют вектор
.

График изменения
образует траекторию движения. Необходимо указать направление движения траектории.

Состояние равновесия называется такое состояние , в котором система остается при условии, что
Состояние равновесия можно определить (если оно существует) из соотношений

при любом t .

Состояния равновесия иногда называются критическими, основными или нулевыми точками.

Траектории системы не могут пересекаться друг с другом в пространстве, что вытекает и единственности решения дифференциального уравнения.

Ни одна траектория не проходит через состояние равновесия хотя и могут сколь угодно близко приближаться к особым точкам (при
) .

Типы точек

1 Регулярная точка есть любая точка, через которую может проходить траектория, точка равновесия не является регулярной.

2.Точка равновесия изолирована, если в ее малой окрестности содержатся только регулярные точки.

Рассмотрим систему

Для определения состояния равновесия решим следующую систему уравнений

.

Получаем зависимость между переменными состояния
.

любая точка которой есть состояние равновесия. Эти точки не является изолированными.

Заметим, что для линейной стационарной системы

начальное состояние оказывается состоянием равновесия и изолированным, если детерминант матрицы коэффициентов
, тогда
есть состояние равновесия.

Для нелинейной системы второго порядка состояние равновесия называется простым , если соответствующая матрица Якоби не равна 0.

В противном случае состояние не будет простым. Если точка равновесия является простой, то она изолирована. Обратное утверждение не обязательно верно (за исключением случая линейных стационарных систем) .

Рассмотрим решение уравнения состояния для линейной системи второго порядка:
.

Эту систему можно представить двумя уравнениями первого порядка,

обозначим
,

Характеристическое уравнение
и решение будет следующим:

Решение уравнения записывается в виде

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел а 1 , а 2 , b 1 , b 2:

Число а 1 b 2 - а 2 b 1 называется определителем второго порядка, соответствующим таблице (1). Этот опредеяитель обозначается символом соответственно имеем:

Числа а 1 , а 2 , b 1 , b 2 называются элементами определителя. Говорят, что элементы а 1 , b 2 лежат на главной диагонали определителя, а 2 , b 1 - на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

Рассмотрим систему двух уравнений

с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты а 1 , b 1 , а 2 , b 2 и свободные члены hXi h2 предположим данными.) Введем обозначения

Определитель Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель Δ x получается путем замены элементов первого столбца определителя Δ свободными членами системы (3); определитель Δ y получается из определителя Δ при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если Δ ≠ 0, то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

x = Δ x /Δ , y = Δ y /Δ (5)

Если Δ = 0 и при этом хотя бы один из определителей Δ x , Δ y отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместимы).

Если же Δ = 0, но также Δ x = Δ y = 0, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3)h 1 = h 2 = 0; тогда система (3) будет иметь вид:

a 1 x + b 1 y = 0, a 2 x + b 2 y = 0. (6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение: x= 0, у = 0. Если Δ ≠ О, то это решение является единственным если же Δ = 0, то система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.

1204. Вычислить определители:

1205. Решить уравнения:

1206. Решить неравенства:

1207. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений:

1208. Определить, при каких значениях а и b система уравнений Зх - ау = 1, 6х + 4у = b 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений.

1209. Определить, при каком значении а система однородных уравнений 13x + 2у = 0, 5x + ау = 0 имеет ненулевое решение.

Системой дифференциальных уравнений называется система вида

где x - независимый аргумент,

y i - зависимая функция, ,

y i | x=x0 =y i0 - начальные условия.

Функции y i (x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системой дифференциальных уравнений .

Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения .

Численно ищется частное решение уравнения (2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.

Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводится к машинному виду (3). Для этого вводится новая неизвестная функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

.

(3)

Функция f 2 (x, y 1 , y) в систему (3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:

1. Метод Эйлера .

   у 1,i+1 =у 1,i +hf 1 (x i , y 1,i , y i),

   у i+1 =у i +hf 2 (x i , y 1,i , y i),

2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка .

   у 1,i+1 =у 1,i +(m 1 +2m 2 +2m 3 +m 4)/6,

   у i+1 =у i +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,

   m 1 =hf 1 (x i , y 1,i , y i),

   k 1 =hf 2 (x i , y 1,i , y i),

   m 2 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),

   k 2 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),

   m 3 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),

   k 3 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),

   m 4 =hf 1 (x i +h, y 1,i +m 3 , y i +k 3),

   k 4 =hf 2 (x i +h, y 1,i +m 3 , y i +k 3),

   где h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x 0 , y 1 =y 10 , y=y 0 .

Контрольное задание по зачетной работе.

Колебания с одной степенью свободы

Цель. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Задание. Численно и аналитически найти:

1. закон движения материальной точки на пружинке х(t),
2. закон изменения силы тока I(t) в колебательном контуре (RLC - цепи) для заданных в табл.1,2 режимов. Построить графики искомых функций.

Варианты заданий.

Таблица режимов

Варианты заданий и номера режимов:

1. движение точки
2. RLC - цепь

Рассмотрим более подробно порядок составления дифференциальных уравнений и приведения их к машинному виду для описания движения тела на пружинке и RLC-цепи.

1. Название, цель работы и задание.
2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
3. Шесть графиков зависимости (три точные и три приближенные) x(t) или I(t), выводы по работе.