1

Ivliev Yu.A.

Članak je posvećen opisu temeljne matematičke pogreške učinjene u procesu dokazivanja posljednjeg Fermatovog teorema na kraju dvadesetog stoljeća. Otkrivena pogreška ne samo da iskrivljuje pravo značenje teorema, već također sprječava razvoj novog aksiomatskog pristupa proučavanju potencije brojeva i prirodnog niza brojeva.

Godine 1995. objavljen je članak, po veličini sličan knjizi, koji izvještava o dokazu poznatog Fermatovog Velikog (Posljednjeg) teorema (WTF) (za povijest teorema i pokušaje njegovog dokazivanja, vidi, na primjer, ). Nakon ovog događaja pojavilo se mnogo znanstvenih članaka i znanstveno-popularnih knjiga koje promiču ovaj dokaz, ali nijedan od tih radova nije otkrio temeljnu matematičku grešku u njemu, koja se uvukla čak i ne krivnjom autora, već zbog nekog čudnog optimizma koji je obuzeo misli matematičari koji su proučavali ovaj problem i srodna pitanja. Psihološki aspekti ovog fenomena proučavani su u. Ovdje donosimo detaljnu analizu nastale pogreške, koja nije privatne naravi, već je posljedica pogrešnog razumijevanja svojstava potencija cijelih brojeva. Kao što je prikazano u, Fermatov problem je ukorijenjen u novom aksiomatskom pristupu proučavanju ovih svojstava, koji još nije primijenjen u modernoj znanosti. Ali pogrešan dokaz stao mu je na put, dajući stručnjacima za teoriju brojeva lažne smjernice i odvodeći istraživače Fermatova problema od njegova izravnog i adekvatnog rješenja. Ovaj rad je posvećen otklanjanju ove prepreke.

1. Anatomija pogreške nastale tijekom WTF dokaza

U procesu vrlo dugog i zamornog zaključivanja, Fermatova izvorna izjava preformulirana je u smislu usporedbe Diofantove jednadžbe p-tog stupnja s eliptičnim krivuljama 3. reda (vidi teoreme 0.4 i 0.5 in). Ova usporedba natjerala je autore gotovo kolektivnog dokaza da objave da njihova metoda i rezoniranje vode do konačnog rješenja Fermatova problema (podsjetimo se da WTF nije imao priznate dokaze za slučaj proizvoljnih cjelobrojnih potencija cijelih brojeva sve do 90-ih godina prošlog stoljeća stoljeća). Svrha ovog razmatranja je utvrditi matematičku netočnost gornje usporedbe i, kao rezultat analize, pronaći temeljnu pogrešku u dokazu prikazanom u.

a) Gdje je i koja je greška?

Dakle, slijedit ćemo tekst, gdje se na 448. stranici kaže da se nakon “duhovite ideje” G. Freya otvorila mogućnost dokazivanja WTF-a. Godine 1984. G. Frey je predložio i

K. Ribet je kasnije dokazao da navodna eliptična krivulja koja predstavlja hipotetsko cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe

y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)

ne može biti modularan. Međutim, A. Wiles i R. Taylor dokazali su da je svaka polustabilna eliptična krivulja definirana nad poljem racionalnih brojeva modularna. To je dovelo do zaključka o nemogućnosti cjelobrojnih rješenja Fermatove jednadžbe i, posljedično, o valjanosti Fermatove tvrdnje, koja je u notaciji A. Wilesa zapisana kao Teorem 0.5: neka postoji jednakost

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Gdje ti, v, w- racionalni brojevi, cjelobrojni eksponent p ≥ 3; tada je (2) zadovoljeno samo ako uvw = 0 .

Sada bi se, očito, trebali vratiti i kritički razmisliti o tome zašto je krivulja (1) a priori percipirana kao eliptička i koja je njena stvarna veza s Fermatovom jednadžbom. Predviđajući ovo pitanje, A. Wiles poziva se na rad Y. Hellegouarcha, u kojem je pronašao način da poveže Fermatovu jednadžbu (vjerojatno riješenu u cijelim brojevima) s hipotetskom krivuljom trećeg reda. Za razliku od G. Freya, I. Elleguarche nije povezivao svoju krivulju s modularnim oblicima, međutim, njegova metoda dobivanja jednadžbe (1) korištena je za daljnji napredak dokaza A. Wilesa.

Pogledajmo pobliže posao. Autor svoja razmišljanja izvodi u terminima projektivne geometrije. Pojednostavljujući neke od njegovih zapisa i dovodeći ih u sklad s , nalazimo da Abelova krivulja

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

uspoređuje se Diofantova jednadžba

x p+ g p+ z p = 0 (4)

Gdje x, y, z su nepoznati cijeli brojevi, p je cjelobrojni eksponent iz (2), a rješenja Diofantove jednadžbe (4) α p , β p , γ p koriste se za pisanje Abelove krivulje (3).

Da bismo bili sigurni da je ovo eliptička krivulja 3. reda, potrebno je razmotriti varijable X i Y u (3) u euklidskoj ravnini. Da bismo to učinili, koristimo dobro poznato pravilo aritmetike eliptičkih krivulja: ako postoje dvije racionalne točke na kubičnoj algebarskoj krivulji i pravac koji prolazi kroz te točke siječe ovu krivulju u drugoj točki, tada je potonja također racionalna točka . Hipotetska jednadžba (4) formalno predstavlja zakon zbrajanja točaka na pravoj liniji. Ako izvršimo promjenu varijabli x p = A, g p = B, z p = C i usmjerite rezultirajuću ravnu liniju duž X osi u (3), tada će ona presijecati krivulju 3. stupnja u tri točke: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), što se odražava u oznaci Abelove krivulje (3) i u sličnoj oznaci (1). Međutim, je li krivulja (3) ili (1) zapravo eliptična? Očito, ne, jer se segmenti euklidske linije, kada se dodaju točke na njoj, uzimaju u nelinearnom mjerilu.

Vraćajući se na linearne koordinatne sustave euklidskog prostora, umjesto (1) i (3) dobivamo formule koje se jako razlikuju od formula za eliptične krivulje. Na primjer, (1) može biti sljedećeg oblika:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

gdje je ξ p = x, η p = y, a pozivanje na (1) u ovom slučaju za izvođenje WTF-a čini se nelegitimnim. Unatoč činjenici da (1) zadovoljava neke kriterije za klasu eliptičkih krivulja, ne zadovoljava najvažniji kriterij da bude jednadžba 3. stupnja u linearnom koordinatnom sustavu.

b) Klasifikacija pogrešaka

Dakle, vratimo se još jednom na početak razmatranja i vidimo kako se dolazi do zaključka o istinitosti WTF-a. Prvo, pretpostavlja se da postoji neko rješenje Fermatove jednadžbe u prirodnim cijelim brojevima. Drugo, to se rješenje proizvoljno ubacuje u algebarski oblik poznatog oblika (ravninska krivulja stupnja 3) pod pretpostavkom da tako dobivene eliptičke krivulje postoje (druga nepotvrđena pretpostavka). Treće, budući da druge metode dokazuju da je određena konstruirana krivulja nemodularna, to znači da ona ne postoji. To dovodi do zaključka: ne postoji cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe i stoga je WTF točan.

U tim argumentima postoji jedna slaba karika, koja se nakon detaljne provjere pokazuje kao pogreška. Ova se pogreška čini u drugoj fazi procesa dokazivanja, kada se pretpostavlja da je hipotetsko rješenje Fermatove jednadžbe također rješenje algebarske jednadžbe 3. stupnja koja opisuje eliptičku krivulju poznatog oblika. Sama po sebi, takva bi pretpostavka bila opravdana da je naznačena krivulja doista eliptična. Međutim, kao što se može vidjeti iz točke 1a), ova je krivulja prikazana u nelinearnim koordinatama, što je čini “iluzornom”, tj. zapravo ne postoje u linearnom topološkom prostoru.

Sada moramo jasno klasificirati pronađenu grešku. Ona leži u tome da se ono što treba dokazati iznosi kao argument dokaza. U klasičnoj logici ova je pogreška poznata kao "začarani krug". U ovom slučaju, cjelobrojno rješenje Fermatove jednadžbe se uspoređuje (očigledno, vjerojatno jedinstveno) s fiktivnom, nepostojećom eliptičnom krivuljom, a zatim se sav patos daljnjeg zaključivanja troši na dokazivanje da je konkretna eliptična krivulja ovog oblika, dobivena iz hipotetskih rješenja Fermatove jednadžbe, ne postoji.

Kako se dogodilo da je tako elementarna pogreška promakla u ozbiljnom matematičkom radu? To se vjerojatno dogodilo zbog činjenice da "iluzorne" geometrijske figure ove vrste nisu prethodno bile proučavane u matematici. Doista, koga bi mogao zanimati, na primjer, fiktivni krug dobiven iz Fermatove jednadžbe zamjenom varijabli x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Uostalom, njegova jednadžba C 2 = A 2 + B 2 nema cjelobrojna rješenja za cijeli broj x, y, z i n ≥ 3. U nelinearnim koordinatnim osima X i Y, takav bi krug bio opisan jednadžbom vrlo sličnog izgleda standardnom obliku:

Y 2 = - (X - A) (X + B),

gdje A i B više nisu varijable, već specifični brojevi određeni gornjom zamjenom. Ali ako se brojevima A i B da njihov izvorni oblik, koji se sastoji u njihovom karakteru snage, tada heterogenost zapisa u faktorima na desnoj strani jednadžbe odmah upada u oči. Ova značajka pomaže razlikovati iluziju od stvarnosti i prijeći s nelinearnih na linearne koordinate. S druge strane, ako brojeve smatramo operatorima kada ih uspoređujemo s varijablama, kao na primjer u (1), tada obje moraju biti homogene veličine, tj. moraju imati iste diplome.

Ovo razumijevanje potencije brojeva kao operatora također nam omogućuje da vidimo da usporedba Fermatove jednadžbe s iluzornom eliptičnom krivuljom nije jednoznačna. Uzmimo, na primjer, jedan od faktora na desnoj strani (5) i rastavimo ga na p linearnih faktora, uvodeći kompleksni broj r tako da je rp = 1 (vidi na primjer):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Tada se oblik (5) može prikazati kao dekompozicija na proste faktore kompleksnih brojeva prema tipu algebarskog identiteta (6), međutim upitna je jedinstvenost takve dekompozicije u općem slučaju, što je svojedobno pokazao Kummer .

2. Zaključci

Iz prethodne analize proizlazi da takozvana aritmetika eliptičkih krivulja nije u stanju rasvijetliti gdje tražiti dokaz WTF-a. Nakon rada, Fermatova izjava, uzgred, uzeta kao epigraf ovog članka, počela se doživljavati kao povijesna šala ili prijevara. Međutim, u stvarnosti se ispostavlja da se Fermat nije šalio, već stručnjaci koji su se 1984. okupili na matematičkom simpoziju u Oberwolfachu u Njemačkoj, na kojem je G. Frey iznio svoju duhovitu ideju. Posljedice takve neoprezne izjave dovele su matematiku u cjelini do ruba gubitka povjerenja javnosti, što je detaljno opisano u , a što nužno postavlja pitanje odgovornosti znanstvenih institucija prema društvu. Usporedba Fermatove jednadžbe s Freyevom krivuljom (1) je "katanac" cjelokupnog Wilesovog dokaza u vezi s Fermatovim teoremom, a ako ne postoji podudarnost između Fermatove krivulje i modularnih eliptičnih krivulja, onda nema ni dokaza.

Nedavno su se na Internetu pojavili različiti izvještaji da su neki istaknuti matematičari konačno shvatili Wilesov dokaz Fermatovog teorema, smislivši za to opravdanje u obliku “minimalnog” preračunavanja cjelobrojnih točaka u Euklidskom prostoru. Međutim, nikakve inovacije ne mogu poništiti klasične rezultate koje je čovječanstvo već postiglo u matematici, posebice činjenicu da, iako se bilo koji redni broj podudara sa svojim kvantitativnim analogom, ne može biti zamjena za njega u operacijama međusobnog uspoređivanja brojeva, pa stoga s neizbježnim zaključkom slijedi da Freyeva krivulja (1) u početku nije eliptična, tj. nije li po definiciji.

BIBLIOGRAFIJA:

1. Ivliev Yu.A. Rekonstrukcija izvornog dokaza Fermatovog posljednjeg teorema - United Scientific Journal (sekcija "Matematika"). Travanj 2006. br. 7 (167) str. 3-9, vidi također Praci Lugansk ogranak Međunarodne akademije za informatizaciju. Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ukrajine. Nacionalno sveučilište Skhidnoukransky nazvano po. V.Dal. 2006 br. 2 (13) str.19-25.
2. Ivliev Yu.A. Najveća znanstvena prijevara 20. stoljeća: “dokaz” posljednjeg Fermatovog teorema - Prirodne i tehničke znanosti (odjeljak “Povijest i metodologija matematike”). kolovoz 2007 br. 4 (30) str.34-48.
3. Edwards G. (Edwards H.M.) Fermatov posljednji teorem. Genetski uvod u algebarsku teoriju brojeva. Po. iz engleskog uredio B.F.Skubenko. M.: Mir 1980, 484 str.
4. Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI str.253-263.
5. Wiles A. Modularne eliptične krivulje i Fermatov posljednji teorem - Annals of Mathematics. Svibanj 1995. v.141 Druga serija br. 3 str.443-551.

Bibliografska poveznica

Ivliev Yu.A. WILLESOV LAŽNI DOKAZ FERMINOG POSLJEDNJEG TEOREMA // Fundamentalna istraživanja. – 2008. – br. 3. – str. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (datum pristupa: 25.09.2019.). Predstavljamo vam časopise izdavačke kuće "Akademija prirodnih znanosti" n > 2 (\displaystyle n>2) jednadžba:

nema rješenja u cijelim brojevima različitim od nule.

Postoji uža verzija formulacije, koja kaže da ova jednadžba nema prirodnih rješenja. Međutim, očito je da ako postoji rješenje za cijele brojeve, onda postoji i rješenje u prirodnim brojevima. Zapravo, neka a , b , c (\displaystyle a,b,c)- cijeli brojevi koji daju rješenje Fermatove jednadžbe. Ako n (\displaystyle n)čak i onda | a | , | b | , | c | (\displaystyle |a|,|b|,|c|) također će biti rješenje, a ako je neparno, tada ćemo sve potencije negativnih vrijednosti prenijeti na drugi dio jednadžbe, mijenjajući predznak. Na primjer, ako postoji rješenje jednadžbe a 3 + b 3 = c 3 (\displaystyle a^(3)+b^(3)=c^(3)) i pri čemu a (\displaystyle a) negativni, a drugi su pozitivni, dakle b 3 = c 3 + | a | 3 (\displaystyle b^(3)=c^(3)+|a|^(3)), a mi dobivamo prirodna rješenja c , | a | , b . (\displaystyle c,|a|,b.) Stoga su obje formulacije ekvivalentne.

Generalizacije tvrdnje Fermatova teorema su opovrgnuta Eulerova pretpostavka i otvorena Lander–Parkin–Selfridgeova pretpostavka.

Priča

Za ovaj slučaj, al-Khojandi je pokušao dokazati ovaj teorem u 10. stoljeću, ali njegov dokaz nije preživio.

Općenito, teorem je formulirao Pierre Fermat 1637. godine na marginama Diofantove Aritmetike. Činjenica je da je Fermat bilježio na marginama matematičkih rasprava koje je čitao i tamo formulirao probleme i teoreme koji su mu padali na pamet. Zapisao je predmetni teorem uz napomenu da je genijalni dokaz ovog teorema koji je pronašao predugačak da bi se stavio na margine knjige:

Naprotiv, nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke, bikvadrat na dva bikvadrata i uopće svaku potenciju veću od kvadrata na dvije potencije s istim eksponentom. Pronašao sam doista prekrasan dokaz za to, ali su margine knjige preuske za to.

Izvorni tekst (latinica)

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Fermat daje samo dokaz kao rješenje problema koji se može svesti na četvrtu potenciju teorema n = 4 (\displaystyle n=4), u 45. komentaru Diofantove aritmetike i u pismu Karkaviju (kolovoz 1659.). Osim toga, Fermat je uključio i slučaj n = 3 (\displaystyle n=3) na popis problema riješenih metodom beskonačnog spuštanja.

Mnogi izvanredni matematičari i mnogi amateri amateri radili su na potpunom dokazu Velikog teorema; smatra se da je teorem na prvom mjestu po broju netočnih “dokaza”. Ipak, ti ​​su napori doveli do mnogih važnih rezultata u modernoj teoriji brojeva. David Hilbert je u svom izvješću “Matematički problemi” na II. međunarodnom kongresu matematičara (1900.) primijetio da je potraga za dokazom za ovaj naizgled beznačajni teorem dovela do dubokih rezultata u teoriji brojeva. Godine 1908. njemački zaljubljenik u matematiku Wolfskehl ostavio je 100 tisuća njemačkih maraka onome tko će dokazati Fermatov teorem. No, nakon Prvog svjetskog rata nagrada je postala bezvrijedna.

Osamdesetih godina prošlog stoljeća pojavio se novi pristup rješavanju problema. Iz Mordellove pretpostavke, koju je dokazao Faltings 1983., slijedi da je jednadžba a n + b n = c n (\displaystyle a^(n)+b^(n)=c^(n)) na n > 3 (\displaystyle n>3) može imati samo konačan broj relativno jednostavnih rješenja.

njemački matematičar Gerhard Frei predložio da je Fermatov posljednji teorem posljedica Taniyama–Shimurine pretpostavke. Ova pretpostavka je dokazana autora Kena Ribeta .

Posljednji važan korak u dokazivanju teorema Wiles je napravio u rujnu 1994. Njegov dokaz na 130 stranica objavljen je u Annals of Mathematics.

Wiles je objavio prvu verziju svog dokaza 1993. (nakon sedam godina rada), ali ozbiljan [ Koji?] jaz koji je, uz pomoć Richarda Lawrencea Taylora, brzo otklonjen. Konačna verzija objavljena je 1995. Godine 2016. Andrew Wiles dobio je Abelovu nagradu za svoj dokaz Fermatovog posljednjeg teorema.

Colin McLarty primijetio je da bi se Wilesov dokaz možda mogao pojednostaviti tako da se ne pretpostavlja postojanje takozvanih "velikih kardinala".

Fermatov teorem također trivijalno slijedi iz abc pretpostavke, čiji je dokaz potvrdio japanski matematičar Shinichi Mochizuki; njegov dokaz je izuzetno složen. Trenutno ne postoji jasan konsenzus o njegovom radu u matematičkoj zajednici.

Neke varijacije i generalizacije

2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4 . (\displaystyle 2682440^(4)+15365639^(4)+18796760^(4)=20615673^(4).)

Kasnije su pronađena druga rješenja; najjednostavniji od njih:

95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4. (\displaystyle 95800^(4)+217519^(4)+414560^(4)=422481^(4).)

Još jedna popularna generalizacija Fermatovog teorema je Bealeova pretpostavka, koju je 1993. formulirao američki matematičar amater koji je obećao milijun dolara za njezin dokaz ili opovrgavanje.

"Fermatičari"

Jednostavnost formulacije Fermatova teorema (razumljiva i školarcu), kao i složenost jedinog poznatog dokaza (ili neznanje o njegovom postojanju), nadahnjuje mnoge da pokušaju pronaći drugi, jednostavniji dokaz. Ljudi koji pokušavaju dokazati Fermatov teorem koristeći elementarne metode nazivaju se " fermatičari"ili "farmatika". Fermatisti često nisu profesionalci i griješe u aritmetičkim operacijama ili logičkim dedukcijama, iako neki iznose vrlo sofisticirane “dokaze” u kojima je teško naći pogrešku.

Dokazivanje Fermatova teorema bilo je toliko popularno među matematičkim entuzijastima da je 1972. godine časopis “Quantum”, objavljujući članak o Fermatovom teoremu, popratio sljedeću napomenu: “Urednici “Quantuma” sa svoje strane smatraju potrebnim obavijestiti čitatelje da pisma s nacrtima dokaza teorema Farma neće biti razmatrana (i vraćena)."

Njemačkom matematičaru Edmundu Landauu jako su smetali “fermatisti”. Kako ga ne bi ometao njegov glavni posao, naručio je nekoliko stotina obrazaca s tekstom predloška koji je označavao da postoji pogreška u određenom retku na određenoj stranici, a svojim je diplomcima dao upute da pronađu pogrešku i popune praznine u oblik.

Značajno je da pojedini fermatisti svoje (netočne) “dokaze” objavljuju u neznanstvenim tiskovima, čime njihov značaj prerastaju u znanstvenu senzaciju. Međutim, ponekad se takve publikacije pojave u uglednim znanstvenim publikacijama, obično uz naknadna opovrgavanja. Ostali primjeri uključuju:

Fermatov teorem u kulturi i umjetnosti

Fermatov posljednji teorem postao je simbol najtežeg znanstvenog problema i kao takav se često spominje u književnosti. Slijede neka djela u kojima se teorem ne spominje samo, već je bitan dio zapleta ili ideologije djela.

• U priči Arthura Porgesa "Simon Flagg i đavo" Profesor Simon Flagg obraća se vragu kako bi dokazao svoj teorem. Po ovoj priči snimljen je znanstveno-fantastični popularni film. "Matematičar i đavo"(SSSR, produkcija Tsentrnauchfilm, kreativna udruga "Rainbow", redatelj Raitburt).
  • Filmska adaptacija: kratki film "Matematičar i đavo" (1972).
• A. P. Kazantsev u svom romanu "Oštriji od mača" 1983. predložio je originalnu verziju nedostatka dokaza samog Pierrea Fermata.
• U televizijskoj seriji Zvjezdane staze, kapetan svemirskog broda Jean-Luc Picard bio je zbunjen rješenjem Fermatovog posljednjeg teorema u drugoj polovici 24. stoljeća. Stoga su filmaši pretpostavili da Fermatov posljednji teorem neće imati rješenja sljedećih 400 godina. Serija Royale s ovom epizodom snimljena je 1989. godine, kada je Andrew Wiles bio na samom početku svog rada. Zapravo, samo pet godina kasnije pronađeno je rješenje.
• U epizodi Simpsona za Noć vještica iz 1995., dvodimenzionalni Homer Simpson slučajno završi u trećoj dimenziji. Tijekom njegovog putovanja kroz ovaj čudni svijet, geometrijska tijela i matematičke formule lebde u zraku, uključujući i netočnu jednadžbu. 1782 12 + 1841 12 = 1922 12 (\displaystyle 1782^(12)+1841^(12)=1922^(12)). Kalkulator potvrđuje ovu jednakost s točnošću od najviše 10 značajnih znamenki: 1782 12 + 1841 12 = 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39, 1922 12 = 2 541 210 25 9 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39 . (\displaystyle (\begin(array)(cl)1782^(12)+1841^(12)&=2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669 \,958\,142\,428\,526\,657\približno 2(,)541\,210\,259\cdot 10^(39),\\1922^(12)&=2\,541\ ,210\,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616\približno 2(,)541\,210\,259\cdot 10^(39).\kraj(niza)))

Međutim, čak i bez izračunavanja točnih vrijednosti, lako je vidjeti da jednakost nije istinita: lijeva strana je neparan broj, a desna strana je paran broj.

• U prvom izdanju Umijeća programiranja Donalda Knutha, Fermatov teorem dan je kao matematička vježba na samom početku knjige i dodijeljen mu je najveći broj (50) bodova kao “istraživački problem koji (koliko je autoru bilo poznato u vrijeme pisanja) još nije dobio zadovoljavajuće rješenje. Ako čitatelj nađe rješenje za ovaj problem, poziva se da ga objavi; osim toga, autor ove knjige bio bi vrlo zahvalan kada bi mu se rješenje priopćilo što je prije moguće (pod uvjetom da je točno)." U trećem izdanju knjige ova vježba već zahtijeva poznavanje više matematike i vrijedi samo 45 bodova.
• U knjizi “Djevojka koja se igrala vatrom” Stiega Larssona, glavna junakinja Lisbeth Salander, koja ima rijetke analitičke sposobnosti i fotografsko pamćenje, iz hobija se bavi dokazivanjem Posljednjeg Fermatovog teorema na koji je slučajno naišla čitajući temeljno djelo “Mjerenja u matematici”, u kojoj se nalazi i dokaz Andrewa Wilesa. Lisbeth ne želi proučavati gotov dokaz, a njen glavni interes postaje pronalaženje vlastitog rješenja. Stoga sve svoje slobodno vrijeme posvećuje samostalnoj potrazi za "izvanrednim dokazom" teorema velikog Francuza, ali s vremena na vrijeme dolazi u slijepu ulicu. Na kraju knjige Lisbeth pronalazi dokaz koji ne samo da je potpuno drugačiji od onoga koji je predložio Wiles, već je i toliko jednostavan da ga je mogao pronaći i sam Fermat. Međutim, nakon što je pogođena u glavu, ona ga zaboravlja, a Larsson ne daje nikakve detalje o tom dokazu.
• Mjuzikl "The Farm's Last Tango", objavljen 2000. godine, kreirao je Joshua Rosenblum. Joshua Rosenblum) i Joan Lessner, temeljen na istinitoj priči Andrewa Wilesa. Glavni lik, po imenu Daniel Keane, dovršava dokaz teorema, a sam duh Fermata pokušava ga spriječiti.
• Nekoliko dana prije smrti Arthur C. Clarke uspio je pregledati rukopis romana “Posljednji teorem” na kojem je radio u suradnji s Frederikom Pohlom. Knjiga je objavljena nakon Clarkove smrti.

Bilješke

1. Fermatov teorem // Matematička enciklopedija (u 5 svezaka). - M.: Sovjetska enciklopedija, 1985. - T. 5.
2. Diofant iz Aleksandrije. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670., str. 338-339 (prikaz, ostalo).
3. Fermat a Carcavi. Iz 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Pariz: Tannery & Henry, 1904., str. 431-436 (prikaz, ostalo).
4. Yu. Yu. Machis. O Eulerovom navodnom dokazu // Mathematical Notes. - 2007. - T. 82, br. 3. - str. 395-400. Engleski prijevod: J. J. Mačys. O Eulerovom hipotetskom dokazu (engleski) // Mathematical Notes: časopis. - 2007. - Vol. 82, br. 3-4. - Str. 352-356. - DOI:10.1134/S0001434607090088.
5. David Gilbert. Matematički problemi:

   Problem dokazivanja te neodlučnosti daje upečatljiv primjer poticajnog utjecaja koji poseban i naizgled beznačajan problem može imati na znanost. Jer, ponukan Fermatovim problemom, Kummer je došao do uvođenja idealnih brojeva i do otkrića teorema o jedinstvenoj dekompoziciji brojeva u ciklotomskim poljima na idealne proste faktore - teorema koji je, zahvaljujući generalizacijama na bilo koju domenu algebarskih brojeva dobio Dedekinda i Kroneckera, danas je središnje mjesto u modernoj teoriji brojeva i čije značenje daleko nadilazi teoriju brojeva u polje algebre i teorije funkcija.

6. Solovjev Yu.P. Taniyamina pretpostavka i Fermatov posljednji teorem // Soros Educational Journal. - ISSEP, 1998. - T. 4, br. 2. - str. 135-138.
7. Wiles, Andrew. Modularne eliptične krivulje i Fermatov posljednji teorem (engleski) // Annals of Mathematics: časopis. - 1995. - Vol. 141, br. 3. - Str. 443-551.(Engleski)

Pierre Fermat, čitajući “Aritmetiku” Diofanta Aleksandrijskog i razmišljajući o njenim problemima, imao je naviku zapisati rezultate svojih razmišljanja u obliku kratkih komentara na marginama knjige. Protiv osmog Diofantovog problema na marginama knjige, Fermat je napisao: " Naprotiv, nemoguće je rastaviti ni kocku na dvije kocke, ni bikvadrat na dva bikvadrata, i, općenito, nijednu potenciju veću od kvadrata na dvije potencije s istim eksponentom. Otkrio sam zaista prekrasan dokaz za to, ali ova polja su preuska za to» / E.T. Bell "Tvorci matematike". M., 1979, str.69/. Predstavljam vam elementarni dokaz Fermatovog teorema, koji može razumjeti svaki srednjoškolac koji se zanima za matematiku.

Usporedimo Fermatov komentar Diofantovog problema sa suvremenom formulacijom posljednjeg Fermatovog teorema, koji ima oblik jednadžbe.
« Jednadžba

x n + y n = z n(gdje je n cijeli broj veći od dva)

nema rješenja u prirodnim brojevima»

Komentar je u logičkoj vezi sa zadatkom, slično logičkoj vezi predikata sa subjektom. Ono što tvrdi Diofantov problem, naprotiv, tvrdi Fermatov komentar.

Fermatov komentar može se protumačiti na sljedeći način: ako kvadratna jednadžba s tri nepoznanice ima beskonačan broj rješenja na skupu svih tripleta Pitagorinih brojeva, tada, naprotiv, jednadžba s tri nepoznanice na potenciju veću od kvadrata

U jednadžbi nema čak ni naznake njegove povezanosti s Diofantovim problemom. Njegova tvrdnja zahtijeva dokaz, ali ne postoji uvjet iz kojeg slijedi da nema rješenja u prirodnim brojevima.

Meni poznate opcije za dokazivanje jednadžbe svode se na sljedeći algoritam.

1. Kao njegov zaključak uzima se jednadžba Fermatovog teorema čija se valjanost provjerava kroz dokaz.
2. Ova ista jednadžba se zove izvornik jednadžba iz koje mora poći njegov dokaz.

Kao rezultat toga nastala je tautologija: “ Ako jednadžba nema rješenja u prirodnim brojevima, onda nema rješenja u prirodnim brojevima“Dokaz tautologije očito je netočan i lišen svakog smisla. Ali to je dokazano kontradikcijom.

• Iznesena je pretpostavka koja je suprotna onome što je navedeno u jednadžbi koju treba dokazati. Ne bi trebalo proturječiti izvornoj jednadžbi, ali jest. Nema smisla bez dokaza dokazivati ​​ono što je prihvaćeno, a bez dokaza prihvaćati ono što treba dokazati.
• Na temelju prihvaćene pretpostavke izvode se apsolutno ispravne matematičke operacije i radnje kako bi se dokazalo da je proturječna izvornoj jednadžbi i da je netočna.

Stoga je već 370 godina dokazivanje jednadžbe Fermatovog posljednjeg teorema ostalo neostvariv san za stručnjake i matematičke entuzijaste.

Jednadžbu sam uzeo kao zaključak teoreme, a Diofantov osmi problem i njegovu jednadžbu kao uvjet teoreme.

„Ako jednadžba x 2 + y 2 = z 2 (1) ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, tada, obrnuto, jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 (2) nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva.”

Dokaz.

A) Svi znaju da jednadžba (1) ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva. Dokažimo da niti jedna trojka Pitagorinih brojeva koja je rješenje jednadžbe (1) nije rješenje jednadžbe (2).

Na temelju zakona reverzibilnosti jednakosti mijenjamo strane jednadžbe (1). Pitagorini brojevi (z, x, y) mogu se tumačiti kao duljine stranica pravokutnog trokuta, a kvadrati (x 2, y 2, z 2) može se tumačiti kao površina kvadrata izgrađenih na njegovoj hipotenuzi i katetama.

Pomnožimo površine kvadrata jednadžbe (1) s proizvoljnom visinom h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Jednadžbu (3) možemo protumačiti kao jednakost obujma paralelopipeda zbroju obujma dvaju paralelopipeda.

Neka je visina tri paralelopipeda h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Volumen kocke rastavljen je na dva volumena dva paralelopipeda. Volumen kocke ostavit ćemo nepromijenjen, a visinu prvog paralelopipeda smanjiti na x a visinu drugog paralelopipeda smanjiti na g . Volumen kocke je veći od zbroja volumena dviju kocki:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ( x, y, z ) na n=3 ne može postojati nikakvo rješenje jednadžbe (2). Posljedično, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke.

Neka je u jednadžbi (3) visina triju paralelopipeda h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Volumen paralelopipeda rastavlja se na zbroj volumena dvaju paralelopipeda.
Lijevu stranu jednadžbe (6) ostavljamo nepromijenjenom. S njegove desne strane vis z 2 smanjiti na x u prvom mandatu i prije u 2 u drugom mandatu.

Jednadžba (6) se pretvorila u nejednadžbu:

Volumen paralelopipeda rastavljamo na dva volumena po dva paralelopipeda.

Lijevu stranu jednadžbe (8) ostavljamo nepromijenjenom.
S desne strane vis zn-2 smanjiti na xn-2 u prvom članu i svesti na y n-2 u drugom mandatu. Jednadžba (8) postaje nejednadžba:

z n > x n + y n

(9)

Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ne može postojati jedno rješenje jednadžbe (2).

Posljedično, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva za sve n > 2 jednadžba (2) nema rješenja.

Dobiven je “zaista čudesan dokaz”, ali samo za trojke Pitagorini brojevi. Ovo je nedostatak dokaza i razlog odbijanja P. Fermata od njega.

B) Dokažimo da jednadžba (2) nema rješenja na skupu trojki nepitagorinih brojeva, koji predstavlja obitelj proizvoljne trojke pitagorinih brojeva z = 13, x = 12, y = 5 i obitelj proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva z = 21, x = 19, y = 16

Obje trojke brojeva članovi su svojih obitelji:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Broj članova obitelji (10) i (11) jednak je polovici umnoška 13 sa 12 i 21 sa 20, tj. 78 i 210.

Svaki član obitelji (10) sadrži z = 13 i varijable x I na 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Svaki član obitelji (11) sadrži z = 21 i varijable x I na , koji uzimaju cjelobrojne vrijednosti 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Varijable se sukcesivno smanjuju za 1 .

Trojke brojeva niza (10) i (11) mogu se prikazati kao niz nejednakosti trećeg stupnja:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

i to u obliku nejednakosti četvrtog stupnja:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Točnost svake nejednakosti provjerava se dizanjem brojeva na treću i četvrtu potenciju.

Kocka većeg broja ne može se rastaviti na dvije kocke manjih brojeva. On je manji ili veći od zbroja kubova dvaju manjih brojeva.

Bikvadrat većeg broja ne može se rastaviti na dva bikvadrata manjih brojeva. On je manji ili veći od zbroja bikvadrata manjih brojeva.

Kako eksponent raste, sve nejednakosti, osim lijeve krajnje nejednakosti, imaju isto značenje:

Svi imaju isto značenje: potencija većeg broja veća je od zbroja potencija manja dva broja s istim eksponentom:

	13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n	(12)
	21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n	(13)

Lijevi ekstremni član nizova (12) (13) predstavlja najslabiju nejednadžbu. Njegova ispravnost određuje ispravnost svih sljedećih nejednakosti niza (12) za n > 8 i niz (13) na n > 14 .

Među njima ne može biti jednakosti. Proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (21,19,16) nije rješenje jednadžbe (2) posljednjeg Fermatovog teorema. Ako proizvoljna trojka prirodnih brojeva nije rješenje jednadžbe, onda jednadžba nema rješenja na skupu prirodnih brojeva, što je trebalo dokazati.

S) Fermatov komentar Diofantovog problema kaže da ga je nemoguće rastaviti " općenito, nema veće potencije od kvadrata, dvije potencije s istim eksponentom».

Poljubac stupanj veći od kvadrata zapravo se ne može rastaviti na dva stupnja s istim eksponentom. Bez poljubaca stupanj veći od kvadrata može se rastaviti na dvije potencije s istim eksponentom.

Bilo koja proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) mogu pripadati obitelji čiji se svaki član sastoji od stalnog broja z i dva broja manji z . Svaki član obitelji može se prikazati u obliku nejednakosti, a sve rezultirajuće nejednakosti mogu se prikazati u obliku niza nejednakosti:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

Niz nejednadžbi (14) počinje nejednadžbama kod kojih je lijeva strana manja od desne, a završava nejednadžbama kod kojih je desna strana manja od lijeve strane. Uz rastući eksponent n > 2 povećava se broj nejednakosti na desnoj strani niza (14). Uz eksponent n = k sve nejednakosti na lijevoj strani niza mijenjaju svoje značenje i poprimaju značenje nejednakosti na desnoj strani nejednakosti niza (14). Kao rezultat povećanja eksponenta svih nejednakosti, lijeva strana ispada da je veća od desne strane:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k

(15)

Daljnjim povećanjem eksponenta n>k nijedna od nejednakosti ne mijenja svoje značenje i pretvara se u jednakost. Na temelju toga može se tvrditi da svaka proizvoljno odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) na n > 2 , z > x , z > y

U proizvoljno odabranoj trojci cijelih pozitivnih brojeva z može biti proizvoljno velik prirodan broj. Za sve prirodne brojeve koji nisu veći od z , Fermatov posljednji teorem je dokazan.

D) Bez obzira koliko velik broj bio z , u prirodnom nizu brojeva prije njega postoji velik, ali konačan skup cijelih brojeva, a nakon njega postoji beskonačan skup cijelih brojeva.

Dokažimo da je cijeli beskonačni skup prirodnih brojeva velik z tvore trojke brojeva koji nisu rješenja jednadžbe Fermatovog posljednjeg teorema, na primjer, proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x,y) , pri čemu z + 1 > x I z + 1 > y za sve vrijednosti eksponenta n > 2 nije rješenje jednadžbe posljednjeg Fermatovog teorema.

Nasumično odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) može pripadati obitelji trojki brojeva, čiji se svaki član sastoji od konstantnog broja z+1 i dva broja x I na , poprimajući različite vrijednosti, manji z+1 . Članovi obitelji mogu se prikazati u obliku nejednakosti u kojima je konstantna lijeva strana manja ili veća od desne strane. Nejednadžbe se mogu poredati u obliku niza nejednakosti:

Daljnjim povećanjem eksponenta n>k do beskonačnosti niti jedna od nejednakosti niza (17) ne mijenja svoje značenje i ne prelazi u jednakost. U nizu (16) nejednadžba je nastala od proizvoljno odabrane trojke prirodnih brojeva (z + 1, x, y) , može se nalaziti na desnoj strani obrasca (z + 1) n > x n + y n ili biti na njegovoj lijevoj strani u obliku (z+1)n< x n + y n .

U svakom slučaju, trojka prirodnih brojeva (z + 1, x, y) na n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y u nizu (16) predstavlja nejednadžbu i ne može predstavljati jednakost, odnosno ne može predstavljati rješenje jednadžbe zadnjeg Fermatovog teorema.

Lako je i jednostavno razumjeti podrijetlo niza nejednakosti snaga (16), u kojem su posljednja nejednakost na lijevoj strani i prva nejednakost na desnoj strani nejednakosti suprotnog značenja. Naprotiv, školarcima, srednjoškolcima i srednjoškolcima nije lako i teško shvatiti kako od niza nejednakosti (17) nastaje niz nejednakosti (16) u kojem sve nejednakosti imaju isto značenje. .

U nizu (16) povećavanje cjelobrojnog stupnja nejednakosti za 1 jedinicu pretvara posljednju nejednadžbu na lijevoj strani u prvu nejednadžbu suprotnog smisla na desnoj strani. Tako se broj nejednakosti na lijevoj strani niza smanjuje, a broj nejednakosti na desnoj strani raste. Između posljednje i prve nejednakosti snaga suprotnog značenja nužno postoji jednakost snaga. Njegov stupanj ne može biti cijeli broj, jer samo necijeli brojevi leže između dva uzastopna prirodna broja. Jednakost potencije necijelog stupnja, prema uvjetima teorema, ne može se smatrati rješenjem jednadžbe (1).

Ako u nizu (16) nastavimo povećavati stupanj za 1 jedinicu, tada će se posljednja nejednadžba njegove lijeve strane pretvoriti u prvu nejednadžbu suprotnog značenja desne strane. Kao rezultat toga, neće preostati lijeve nejednakosti i ostat će samo desne nejednakosti, koje će biti slijed rastućih nejednakosti snaga (17). Daljnji porast njihove cjelobrojne snage za 1 jedinicu samo pojačava njezine nejednakosti snaga i kategorički isključuje mogućnost jednakosti u cjelobrojnoj potenciji.

Slijedom toga, općenito, nijedna cjelobrojna potencija prirodnog broja (z+1) niza potencijskih nejednadžbi (17) ne može se rastaviti na dvije cjelobrojne potence s istim eksponentom. Dakle, jednadžba (1) nema rješenja na beskonačnom skupu prirodnih brojeva, što je trebalo i dokazati.

Posljedično, posljednji Fermatov teorem je dokazan u cijelosti:

• u odjeljku A) za sve trojke (z, x, y) Pitagorini brojevi (Fermatovo otkriće je doista prekrasan dokaz),
• u odjeljku B) za sve članove obitelji bilo kojeg trojca (z, x, y) Pitagorini brojevi,
• u odjeljku C) za sve trojke brojeva (z, x, y) , ne velike brojke z
• u odjeljku D) za sve trojke brojeva (z, x, y) prirodni niz brojeva.

Izmjene napravljene 05.09.2010

Koji se teoremi mogu, a koji ne mogu dokazati kontradikcijom?

Objašnjavajući rječnik matematičkih pojmova definira dokaz kontradikcijom teorema, suprotno od obrnutog teorema.

„Dokaz kontradikcijom je metoda dokazivanja teoreme (propozicije), koja se sastoji u dokazivanju ne samog teoreme, već njemu ekvivalentnog (ekvivalentnog) teoreme. Dokaz kontradikcijom koristi se kad god je direktni teorem teško dokazati, ali je suprotni teorem lakše dokazati. U dokazu kontradikcijom zaključak teorema zamjenjuje se njegovom negacijom, a zaključivanjem se dolazi do negacije uvjeta, tj. na kontradikciju, na suprotno (suprotno od onoga što je dano; ovo svođenje na apsurd dokazuje teorem."

Dokaz kontradikcijom vrlo se često koristi u matematici. Dokaz kontradikcijom temelji se na zakonu isključene sredine koji se sastoji u tome da je od dva iskaza (iskaza) A i A (negacija A) jedan od njih istinit, a drugi netočan.”/Tumačni rječnik matematičkih pojmova: priručnik za učitelje/O. V. Manturov [etc.]; uredio V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.112/.

Ne bi bilo bolje otvoreno izjaviti da metoda dokaza kontradikcijom nije matematička metoda, iako se koristi u matematici, da je ona logična metoda i da pripada logici. Je li prihvatljivo reći da se dokaz kontradikcijom “koristi kad god je izravan teorem teško dokazati,” kada se zapravo koristi kada, i samo kada, nema zamjene.

Karakterizacija međusobnog odnosa izravnih i inverznih teorema također zaslužuje posebnu pozornost. „Obrnuti teorem za dani teorem (ili dani teorem) je teorem u kojem je uvjet zaključak, a zaključak je uvjet danog teorema. Ovaj teorem u odnosu na obrnuti teorem naziva se izravni teorem (izvorni). U isto vrijeme, obrnuti teorem obrnutom teoremu bit će dani teorem; stoga se direktni i obratni teorem nazivaju međusobno inverznim. Ako je izravni (zadani) teorem istinit, onda obrnuti teorem nije uvijek istinit. Na primjer, ako je četverokut romb, onda su njegove dijagonale međusobno okomite (direktni teorem). Ako su u četverokutu dijagonale međusobno okomite, onda je četverokut romb – to je netočno, tj. obrnuti teorem je netočan.”/Tumačni rječnik matematičkih pojmova: priručnik za učitelje/O. V. Manturov [etc.]; uredio V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.261 /.

Ova karakteristika odnosa između izravnog i inverznog teorema ne uzima u obzir činjenicu da se uvjet izravnog teorema prihvaća kao dan, bez dokaza, tako da njegova ispravnost nije zajamčena. Uvjet obrnutog teorema ne prihvaća se kao dan, jer je to zaključak dokazanog izravnog teorema. Njegovu ispravnost potvrđuje dokaz izravnog teorema. Ova bitna logička razlika u uvjetima izravnih i inverznih teorema pokazuje se odlučujućom u pitanju koji se teoremi mogu, a koji ne mogu dokazati logičkom metodom kontradikcijom.

Pretpostavimo da je na umu izravan teorem koji se može dokazati uobičajenom matematičkom metodom, ali je to teško. Formulirajmo ga općenito i ukratko na sljedeći način: iz A trebao bi E . Simbol A ima značenje zadanog uvjeta teorema, prihvaćenog bez dokaza. Simbol E bitan je zaključak teorema koji treba dokazati.

Dokazat ćemo izravni teorem kontradikcijom, logično metoda. Logičkom se metodom dokazuje teorem koji ima ne matematički stanje, i logično stanje. Može se dobiti ako se matematički uvjet teorema iz A trebao bi E , nadopunite upravo suprotnim stanjem iz A nemoj to učiniti E .

Rezultat je bio logički kontradiktorni uvjet novog teorema, koji je sadržavao dva dijela: iz A trebao bi E I iz A nemoj to učiniti E . Rezultirajući uvjet novog teorema odgovara logičkom zakonu isključene sredine i odgovara dokazu teorema kontradikcijom.

Prema zakonu, jedan dio proturječnog uvjeta je neistinit, drugi dio istinit, a treći je isključen. Dokaz kontradikcijom ima zadaću i svrhu točno utvrditi koji je dio od dva dijela uvjeta teorema netočan. Nakon što se utvrdi lažni dio uvjeta, drugi dio se utvrđuje kao pravi dio, a treći se isključuje.

Prema objašnjavajućem rječniku matematičkih pojmova, “dokaz je rasuđivanje tijekom kojeg se utvrđuje istinitost ili lažnost bilo koje tvrdnje (sud, izjava, teorem)”. Dokaz kontradikcijom postoji obrazloženje tijekom kojeg se utvrđuje lažnost(apsurdnost) zaključka koji proizlazi iz lažno uvjeti teoreme koji treba dokazati.

dano: iz A trebao bi E i od A nemoj to učiniti E .

Dokazati: iz A trebao bi E .

Dokaz: Logički uvjet teorema sadrži kontradikciju koja zahtijeva svoje rješenje. Proturječnost uvjeta mora pronaći svoje rješenje u dokazu i njegovom rezultatu. Rezultat se pokazuje lažnim s besprijekornim obrazloženjem bez grešaka. Razlog pogrešnog zaključka u logički ispravnom zaključivanju može biti samo kontradiktorni uvjet: iz A trebao bi E I iz A nemoj to učiniti E .

Nema ni sjene sumnje da je jedan dio uvjeta lažan, a drugi u ovom slučaju istinit. Oba dijela uvjeta imaju isto podrijetlo, prihvaćaju se kao podatak, pretpostavljaju, jednako su moguća, jednako su dopuštena itd. Tijekom logičkog razmišljanja nije otkriveno niti jedno logičko obilježje koje bi razlikovalo jedan dio uvjeta od drugoga. . Prema tome, u istoj mjeri može biti iz A trebao bi E i možda iz A nemoj to učiniti E . Izjava iz A trebao bi E Može biti lažno, zatim izjavu iz A nemoj to učiniti E bit će istina. Izjava iz A nemoj to učiniti E može biti lažna, tada izjava iz A trebao bi E bit će istina.

Posljedično, nemoguće je dokazati izravni teorem kontradikcijom.

Sada ćemo dokazati ovaj isti izravni teorem koristeći uobičajenu matematičku metodu.

dano: A .

Dokazati: iz A trebao bi E .

Dokaz.

1. Iz A trebao bi B

2. Iz B trebao bi U (prema prethodno dokazanom teoremu)).

3. Iz U trebao bi G (prema prethodno dokazanom teoremu).

4. Iz G trebao bi D (prema prethodno dokazanom teoremu).

5. Iz D trebao bi E (prema prethodno dokazanom teoremu).

Na temelju zakona tranzitivnosti, iz A trebao bi E . Izravni teorem dokazuje se uobičajenom metodom.

Neka dokazani izravni teorem ima točan inverzni teorem: iz E trebao bi A .

Dokažimo to uobičajenim matematički metoda. Dokaz obrnutog teorema može se izraziti u simboličkom obliku kao algoritam matematičkih operacija.

dano: E

Dokazati: iz E trebao bi A .

Dokaz.

1. Iz E trebao bi D

2. Iz D trebao bi G (prema prethodno dokazanom obratnom teoremu).

3. Iz G trebao bi U (prema prethodno dokazanom obratnom teoremu).

4. Iz U nemoj to učiniti B (obrnuti teorem nije istinit). Zato iz B nemoj to učiniti A .

U ovoj situaciji nema smisla nastavljati matematički dokaz obrnutog teorema. Razlog za nastalu situaciju je logičan. Netočan obrnuti teorem ne može se ničim zamijeniti. Stoga je nemoguće dokazati ovaj obrnuti teorem uobičajenom matematičkom metodom. Sva je nada dokazati ovaj inverzni teorem kontradikcijom.

Da bismo ga dokazali kontradikcijom, potrebno je njegov matematički uvjet zamijeniti logičkim kontradiktornim uvjetom, koji u svom značenju sadrži dva dijela - lažni i istiniti.

Konverzni teorem Države: iz E nemoj to učiniti A . Njezino stanje E , iz čega slijedi zaključak A , rezultat je dokazivanja izravnog teorema korištenjem uobičajene matematičke metode. Ovaj uvjet se mora sačuvati i dopuniti izjavom iz E trebao bi A . Kao rezultat zbrajanja dobivamo kontradiktorni uvjet novog inverznog teorema: iz E trebao bi A I iz E nemoj to učiniti A . Na temelju ovoga logički kontradiktorni uvjet, obrnuti teorem može se dokazati pomoću točnog logično samo rasuđivanje, i samo, logično metoda kontradikcijom. U dokazu kontradikcijom sve matematičke radnje i operacije su podređene logičkim i stoga se ne računaju.

U prvom dijelu kontradiktorne izjave iz E trebao bi A stanje E dokazano je dokazom izravnog teorema. U drugom dijelu iz E nemoj to učiniti A stanje E je pretpostavljeno i prihvaćeno bez dokaza. Jedna od njih je lažna, a druga istinita. Morate dokazati koji je lažan.

Dokazujemo to kroz ispravan logično razmišljanje i otkriva da je njegov rezultat lažan, apsurdan zaključak. Razlog pogrešnog logičkog zaključka je kontradiktorni logički uvjet teorema koji sadrži dva dijela - netočan i istinit. Lažni dio može biti samo izjava iz E nemoj to učiniti A , u kojem E je prihvaćen bez dokaza. To je ono što ga čini drugačijim od E izjave iz E trebao bi A , što je dokazano dokazom izravnog teorema.

Stoga je izjava istinita: iz E trebao bi A , što je i trebalo dokazati.

Zaključak: logičkom metodom kontradikcijom se dokazuje samo inverzni teorem koji ima izravni teorem dokazan matematičkom metodom i koji se ne može dokazati matematičkom metodom.

Dobiveni zaključak dobiva izuzetnu važnost u odnosu na metodu dokazivanja kontradikcijom velikog Fermatovog teorema. Ogromna većina pokušaja da se to dokaže ne temelji se na uobičajenoj matematičkoj metodi, već na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom. Wilesov dokaz Fermatovog posljednjeg teorema nije iznimka.

Dmitrij Abrarov je u članku “Fermatov teorem: fenomen Wilesovih dokaza” objavio komentar na Wilesov dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Prema Abrarovu, Wiles dokazuje posljednji Fermatov teorem uz pomoć izvanrednog otkrića njemačkog matematičara Gerharda Freya (r. 1944.), koji je povezao potencijalno rješenje Fermatove jednadžbe x n + y n = z n , Gdje n > 2 , s drugom, potpuno drugačijom jednadžbom. Ova nova jednadžba dana je posebnom krivuljom (nazvanom Freyeva eliptična krivulja). Freyeva krivulja dana je vrlo jednostavnom jednadžbom:
.

“Frey je bio taj koji je uspoređivao svaku odluku (a, b, c) Fermatova jednadžba, odnosno brojevi koji zadovoljavaju relaciju a n + b n = c n, gornja krivulja. U ovom slučaju slijedi Fermatov posljednji teorem.”(Citat iz: Abrarov D. “Fermatov teorem: fenomen Wilesovih dokaza”)

Drugim riječima, Gerhard Frey je predložio da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Ta ista rješenja su, prema Freyovoj pretpostavci, rješenja njegove jednadžbe
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , što je zadano njegovom eliptičnom krivuljom.

Andrew Wiles prihvatio je ovo izvanredno Freyevo otkriće i uz njegovu pomoć matematički metodom je dokazano da ovaj nalaz, odnosno Freyeva eliptična krivulja, ne postoji. Dakle, ne postoji jednadžba i njezina rješenja koja su dana nepostojećom eliptičnom krivuljom, stoga je Wiles trebao prihvatiti zaključak da ne postoji jednadžba posljednjeg Fermatovog teorema i samog Fermatovog teorema. Međutim, on prihvaća skromniji zaključak da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema nema rješenja u prirodnim cijelim brojevima.

Nepobitna činjenica može biti da je Wiles prihvatio pretpostavku koja je upravo suprotna po značenju onome što navodi Fermatov veliki teorem. To obvezuje Wilesa da dokaže posljednji Fermatov teorem kontradikcijom. Slijedimo njegov primjer i pogledajmo što proizlazi iz ovog primjera.

Fermatov posljednji teorem kaže da jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Prema logičkoj metodi dokaza kontradikcijom, ova tvrdnja se zadržava, prihvaća kao dana bez dokaza, a zatim se nadopunjuje suprotnom tvrdnjom: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Pretpostavljena izjava također se prihvaća kao dana, bez dokaza. Obje tvrdnje, promatrane sa stajališta temeljnih zakona logike, jednako su valjane, jednako valjane i jednako moguće. Ispravnim zaključivanjem potrebno je utvrditi koja je netočna da bi se zatim utvrdilo da je druga izjava istinita.

Ispravno razmišljanje završava lažnim, apsurdnim zaključkom, kojem logički razlog može biti samo kontradiktorni uvjet teorema koji se dokazuje, a koji sadrži dva dijela izravno suprotnog značenja. Oni su bili logičan razlog za apsurdni zaključak, rezultat dokaza kontradikcijom.

Međutim, tijekom logički ispravnog razmišljanja nije otkriven niti jedan znak po kojem bi se moglo utvrditi koja je pojedina tvrdnja netočna. To bi mogla biti izjava: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Na istoj osnovi to bi mogla biti sljedeća izjava: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Kao rezultat obrazloženja može se izvesti samo jedan zaključak: Fermatov posljednji teorem ne može se dokazati kontradikcijom.

Sasvim bi druga stvar bila da je zadnji Fermatov teorem inverzni teorem, koji ima izravni teorem dokazan uobičajenom matematičkom metodom. U ovom slučaju, to bi se moglo dokazati kontradikcijom. A budući da je to izravan teorem, njegov dokaz ne bi se trebao temeljiti na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, već na običnoj matematičkoj metodi.

Prema D. Abrarovu, najpoznatiji od modernih ruskih matematičara, akademik V. I. Arnold, reagirao je "aktivno skeptično" na Wilesov dokaz. Akademik je izjavio: “ovo nije prava matematika – prava matematika je geometrijska i ima jake veze s fizikom.” (Citat iz: Abrarov D. “Fermatov teorem: fenomen Wilesovih dokaza.” Akademikova izjava izražava samu bit Wilesov nematematički dokaz Fermatovog posljednjeg teorema.

Proturječno, nemoguće je dokazati niti da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema nema rješenja niti da ima rješenja. Wilesova pogreška nije matematička, već logična - upotreba dokaza kontradikcijom tamo gdje njegova upotreba nema smisla i Fermatov veliki teorem ne dokazuje.

Fermatov posljednji teorem ne može se dokazati čak ni korištenjem uobičajene matematičke metode ako daje: jednadžbu x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, a ako želite dokazati u njemu: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. U ovom obliku ne postoji teorem, već tautologija lišena smisla.

Bilješka. O mom BTF dokazu raspravljalo se na jednom od foruma. Jedan od sudionika Trotila, stručnjak za teoriju brojeva, dao je sljedeću mjerodavnu izjavu pod naslovom: “Kratko prepričavanje onoga što je učinio Mirgorodsky.” Citiram doslovce:

« A. Dokazao je da ako z 2 = x 2 + y , To z n > x n + y n . To je dobro poznata i sasvim očita činjenica.

U. Uzeo je dvije trojke - pitagorejsku i nepitagorinu i jednostavnom pretragom pokazao da je za određenu, specifičnu familiju trojki (78 i 210 komada) BTF zadovoljen (i samo za nju).

S. I tada je autor izostavio činjenicu da je iz < u kasnijoj mjeri može se pokazati da je = , ne samo > . Jednostavan protuprimjer – tranzicija n=1 V n=2 u Pitagorinoj trojki.

D. Ova točka ne doprinosi ničemu značajnom dokazu BTF-a. Zaključak: BTF nije dokazan.”

Razmotrit ću njegov zaključak točku po točku.

A. To dokazuje BTF za cijeli beskonačni skup trojki Pitagorinih brojeva. Dokazano geometrijskom metodom, koju, kako vjerujem, nisam ja otkrio, već ponovno otkrio. A otkrio ju je, vjerujem, sam P. Fermat. Fermat je možda imao ovo na umu kada je napisao:

“Otkrio sam doista prekrasan dokaz za to, ali ova polja su preuska za to.” Ova moja pretpostavka temelji se na činjenici da u Diofantskom problemu, protiv kojeg je Fermat pisao na marginama knjige, govorimo o rješenjima Diofantove jednadžbe, a to su trojke Pitagorinih brojeva.

Beskonačan skup trojki Pitagorinih brojeva rješenja su Diofatove jednadžbe, au Fermatovom teoremu, naprotiv, niti jedno rješenje ne može biti rješenje jednadžbe Fermatova teorema. A Fermatov doista prekrasan dokaz izravno je povezan s ovom činjenicom. Fermat je kasnije mogao proširiti svoj teorem na skup svih prirodnih brojeva. Na skupu svih prirodnih brojeva, BTF ne pripada "skupu iznimno lijepih teorema". To je moja pretpostavka, koja se ne može ni dokazati ni opovrgnuti. Može se prihvatiti ili odbiti.

U. U ovom trenutku dokazujem da su i porodica proizvoljno uzete Pitagorine trojke brojeva i porodica proizvoljno uzete nepitagorine trojke BTF brojeva zadovoljeni. Ovo je neophodna, ali nedovoljna i međukarika u mom dokazu BTF . Primjeri koje sam uzeo iz obitelji trojke Pitagorinih brojeva i obitelji trojke nepitagorinih brojeva imaju značenje specifičnih primjera koji pretpostavljaju i ne isključuju postojanje sličnih drugih primjera.

Trotilova izjava da sam “jednostavnim pretraživanjem pokazao da je za određenu, specifičnu obitelj tripleta (78 i 210 komada) BTF zadovoljen (i samo za njega) je neutemeljena. On ne može opovrgnuti činjenicu da mogu jednako lako uzeti druge primjere Pitagorinih i nepitagorinih trojki da dobijem specifičnu definitivnu obitelj jedne i druge trojke.

Koji god par trojki da uzmem, provjera njihove prikladnosti za rješavanje problema može se provesti, po mom mišljenju, samo metodom "jednostavnog nabrajanja". Ne znam drugu metodu i ne treba mi. Ako se Trotilu nije svidjelo, onda je trebao predložiti drugu metodu, što on ne čini. Ne nudeći ništa zauzvrat, nekorektno je osuđivati ​​“običnu pretjeranost”, koja je u ovom slučaju nezamjenjiva.

S. Izostavio sam = između< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), u kojem stupanj n > 2 — cijeli pozitivan broj. Iz jednakosti između nejednakosti slijedi obavezna razmatranje jednadžbe (1) za vrijednost stupnja koja nije cijeli broj n > 2 . Trotil, brojim obvezno razmatranje jednakosti između nejednakosti zapravo smatra potrebno u BTF dokazu, razmatranje jednadžbe (1) s nije cijela vrijednost stupnja n > 2 . Učinio sam to za sebe i pronašao tu jednadžbu (1) sa nije cijela vrijednost stupnja n > 2 ima rješenje tri broja: z, (z-1), (z-1) za eksponent koji nije cijeli broj.

Predavanje 6. Primjena derivacija u proučavanju funkcija

Ako funkcija f(x) ima derivaciju u svakoj točki segmenta [ A, b], tada se njegovo ponašanje može proučavati pomoću derivata f"(x).

Pogledajmo osnovne teoreme diferencijalnog računa koji su u osnovi primjene derivata.

Fermatov teorem

Teorema(Farma) ( o jednakosti derivacije nuli ). Ako funkcija f(x), diferencijabilan na intervalu (a, b) a najveću ili najmanju vrijednost postiže u točki c є ( a, b), tada je derivacija funkcije u ovoj točki nula, tj. f"(S) = 0.

Dokaz. Neka funkcija f(x) je diferencijabilna na intervalu ( a, b) i u točki x = S uzima najveću vrijednost M na S є ( a, b) (slika 1), tj.

f(S) ≥ f(x) ili f(x) – f(c) ≤ 0 ili f(s +Δ x) – f(S) ≤ 0.

Izvedenica f"(x) u točki x = S: .

Ako x> c, Δ x> 0 (tj. Δ x→ 0 desno od točke S), To i stoga f"(S) ≤ 0.

Ako x< с , Δ x< 0 (т.е. Δx→ 0 lijevo od točke S), To , iz čega proizlazi da f"(S) ≥ 0.

Po stanju f(x) je diferencijabilan u točki S, dakle, njegova granica na x→ S ne ovisi o izboru smjera pristupa argumenta x do točke S, tj. .

Dobivamo sustav iz kojeg slijedi f"(S) = 0.

U slučaju f(S) = T(oni. f(x) uzima u točki S najmanja vrijednost), dokaz je sličan. Teorem je dokazan.

Geometrijsko značenje Fermatovog teorema: u točki najveće ili najmanje vrijednosti postignute unutar intervala, tangenta na graf funkcije je paralelna s x-osi.

Malo je vjerojatno da je prošla i jedna godina u životu naše redakcije, a da nije dobila dobrih desetak dokaza Fermatova teorema. Sada, nakon "pobjede" nad njom, tok je splasnuo, ali nije presušio.

Naravno, ovaj članak ne objavljujemo da bismo ga do kraja osušili. I ne u vlastitu obranu - da smo, kažu, zato šutjeli, ni sami još nismo bili dovoljno zreli za razgovor o tako složenim problemima.

Ali ako se članak doista čini kompliciranim, pogledajte odmah do kraja. Morat ćete osjetiti da su se strasti privremeno stišale, znanost nije gotova i uskoro će urednicima biti poslani novi dokazi novih teorema.

Čini se da dvadeseto stoljeće nije bilo uzalud. Prvo su ljudi na trenutak stvorili drugo Sunce eksplodirajući hidrogensku bombu. Zatim su hodali po Mjesecu i konačno dokazali poznati Fermatov teorem. Od ova tri čuda, prva dva su svima na ustima jer su izazvala goleme društvene posljedice. Naprotiv, treće čudo izgleda kao još jedna znanstvena igračka – u rangu s teorijom relativnosti, kvantnom mehanikom i Gödelovim teoremom o nepotpunosti aritmetike. Međutim, relativnost i kvanti doveli su fizičare do hidrogenske bombe, a istraživanja matematičara ispunila su naš svijet računalima. Hoće li se ovaj niz čuda nastaviti u 21. stoljeću? Je li moguće pronaći vezu između najnovijih znanstvenih igračaka i revolucija u našem svakodnevnom životu? Omogućuje li nam ovaj odnos uspješna predviđanja? Pokušajmo ovo razumjeti koristeći Fermatov teorem kao primjer.

Prvo napomenimo da je rođena puno kasnije od prirodnog termina. Uostalom, prvi poseban slučaj Fermatova teorema je Pitagorina jednadžba X 2 + Y 2 = Z 2, koja povezuje duljine stranica pravokutnog trokuta. Dokazavši ovu formulu prije dvadeset i pet stoljeća, Pitagora je odmah postavio pitanje: ima li u prirodi mnogo trokuta u kojima obje stranice i hipotenuza imaju cijelu duljinu? Čini se da su Egipćani poznavali samo jedan takav trokut – sa stranicama (3, 4, 5). Ali nije teško pronaći druge opcije: na primjer (5, 12, 13), (7, 24, 25) ili (8, 15, 17). U svim tim slučajevima duljina hipotenuze ima oblik (A 2 + B 2), gdje su A i B relativno prosti brojevi različitih pariteta. U ovom slučaju, duljine krakova su jednake (A 2 - B 2) i 2AB.

Uočivši ove odnose, Pitagora je lako dokazao da je svaka trojka brojeva (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) rješenje jednadžbe X 2 + Y 2 = Z 2 i definira a pravokutnik s međusobnim prostim duljinama stranica. Također je jasno da je broj različitih trojki ove vrste beskonačan. Ali imaju li sva rješenja Pitagorine jednadžbe ovaj oblik? Pitagora nije mogao niti dokazati niti opovrgnuti takvu hipotezu i ostavio je ovaj problem svojim potomcima ne fokusirajući se na njega. Tko želi isticati svoje neuspjehe? Čini se da je nakon toga problem cjelobrojnih pravokutnih trokuta ležao u zaboravu sedam stoljeća - sve dok se u Aleksandriji nije pojavio novi matematički genij po imenu Diofant.

Malo znamo o njemu, ali je jasno: nije bio nimalo sličan Pitagori. Osjećao se kao kralj u geometriji, pa čak i izvan nje - bilo u glazbi, astronomiji ili politici. Prvo aritmetičko povezivanje duljina stranica milozvučne harfe, prvi model svemira od koncentričnih kugli koje nose planete i zvijezde, sa Zemljom u središtu, i konačno, prva republika znanstvenika u talijanskom gradu Crotoneu. - to su Pitagorina osobna postignuća. Što je takvim uspjesima mogao suprotstaviti Diofant, skromni istraživač u velikom Muzeju, koji je odavno prestao biti ponosom gradskog puka?

Samo jedno: bolje razumijevanje drevnog svijeta brojeva, čije su zakone Pitagora, Euklid i Arhimed jedva imali vremena osjetiti. Imajte na umu da Diofant još nije poznavao položajni sustav za pisanje velikih brojeva, ali je znao što su negativni brojevi i vjerojatno je proveo mnogo sati razmišljajući o tome zašto je umnožak dvaju negativnih brojeva pozitivan. Diofantu je prvi put otkriven svijet cijelih brojeva kao poseban svemir, različit od svijeta zvijezda, segmenata ili poliedra. Glavno zanimanje znanstvenika u ovom svijetu je rješavanje jednadžbi, pravi majstor pronalazi sva moguća rješenja i dokazuje da drugih rješenja nema. To je ono što je Diofant učinio s Pitagorinom kvadratnom jednadžbom, a zatim se zapitao: ima li slična kubna jednadžba X 3 + Y 3 = Z 3 barem jedno rješenje?

Diofant nije uspio naći takvo rješenje, a njegov pokušaj da dokaže da rješenja ne postoje također je bio neuspješan. Stoga je Diofant dokumentirajući rezultate svog rada u knjizi “Aritmetika” (bio je to prvi svjetski udžbenik teorije brojeva) detaljno analizirao Pitagorinu jednadžbu, ali nije rekao ni riječi o mogućim generalizacijama te jednadžbe. Ili bi moglo: na kraju krajeva, Diofant je bio taj koji je prvi predložio zapis za potencije cijelih brojeva! Ali nažalost: pojam "knjige problema" bio je stran helenskoj znanosti i pedagogiji, a objavljivanje popisa neriješenih problema smatralo se nepristojnom aktivnošću (samo je Sokrat postupio drugačije). Ako ne možete riješiti problem, šutite! Diofant je zašutio i ta je šutnja trajala četrnaest stoljeća – sve do dolaska novog vijeka, kada je ponovno oživio interes za proces ljudskog mišljenja.

Tko nije maštao ni o čemu na prijelazu iz 16. u 17. stoljeće! Neumorni kalkulator Kepler pokušao je pogoditi odnos između udaljenosti od Sunca do planeta. Pitagora nije uspio. Kepler je postigao uspjeh nakon što je naučio integrirati polinome i druge jednostavne funkcije. Naprotiv, vizionar Descartes nije volio duga računanja, ali je upravo on prvi sve točke ravnine ili prostora predstavio kao skupove brojeva. Ovaj podebljani model svodi svaki geometrijski problem o oblicima na neki algebarski problem o jednadžbama—i obrnuto. Na primjer, cjelobrojna rješenja Pitagorine jednadžbe odgovaraju cjelobrojnim točkama na površini stošca. Ploha koja odgovara kubičnoj jednadžbi X 3 + Y 3 = Z 3 izgleda kompliciranije, njena geometrijska svojstva nisu ništa sugerirala Pierreu Fermatu, te je morao krčiti nove staze kroz džunglu cijelih brojeva.

Godine 1636. u ruke mladog odvjetnika iz Toulousea dospjela je Diofantova knjiga, upravo prevedena na latinski s grčkog izvornika, koja je slučajno preživjela u nekom bizantskom arhivu i koju je u Italiju donio jedan od rimskih bjegunaca u vrijeme turska pustošenja. Čitajući elegantan argument o Pitagorinoj jednadžbi, Fermat se zapitao: je li moguće pronaći rješenje koje se sastoji od tri kvadratna broja? Ne postoje mali brojevi ove vrste: lako ih je provjeriti grubom silom. Što je s velikim odlukama? Bez računala Fermat ne bi mogao izvesti numerički eksperiment. Ali primijetio je da je za svako "veliko" rješenje jednadžbe X 4 + Y 4 = Z 4 moguće konstruirati manje rješenje. To znači da zbroj četvrtih potencija dvaju cijelih brojeva nikada nije jednak istoj potenciji trećeg broja! Što je sa zbrojem dviju kocki?

Inspiriran uspjehom za stupanj 4, Fermat je pokušao modificirati "metodu spuštanja" za stupanj 3 - i uspio je. Pokazalo se da je nemoguće napraviti dvije male kocke od tih pojedinačnih kockica u koje je raspršena velika kocka s cijelom dužinom ruba. Slavodobitnik Fermat napravio je kratku bilješku na marginama Diofantove knjige i poslao pismo u Pariz s detaljnom porukom o svom otkriću. Ali nije dobio odgovor – iako su inače prijestolnički matematičari brzo reagirali na posljednji uspjeh svog usamljenog kolege-suparnika u Toulouseu. Što je bilo?

Vrlo je jednostavno: do sredine 17. stoljeća aritmetika je izašla iz mode. Veliki uspjesi talijanskih algebraista 16. stoljeća (kada su riješene polinomske jednadžbe 3. i 4. stupnja) nisu postali početak opće znanstvene revolucije, jer nisu dopustili rješavanje novih svijetlih problema u susjednim područjima znanosti. Sada, da je Kepler uspio pogoditi orbite planeta koristeći čistu aritmetiku... Ali nažalost, to je zahtijevalo matematičku analizu. To znači da se mora razvijati – do potpune pobjede matematičkih metoda u prirodnoj znanosti! Ali analiza izrasta iz geometrije, a aritmetika ostaje polje zabave za dokone odvjetnike i ostale zaljubljenike u vječnu znanost brojeva i brojki.

Dakle, Fermatovi aritmetički uspjesi su se pokazali nepravovremenima i ostali su necijenjeni. Nije se zbog toga uznemirio: za slavu matematičara bile su dovoljne činjenice diferencijalnog računa, analitičke geometrije i teorije vjerojatnosti koje su mu prvi put otkrivene. Sva ova Fermatova otkrića odmah su ušla u zlatni fond nove europske znanosti, dok je teorija brojeva nestala u pozadini još stotinjak godina - sve dok je nije oživio Euler.

Ovaj “kralj matematičara” iz 18. stoljeća bio je prvak u svim primjenama analize, ali nije zanemario aritmetiku, jer su nove metode analize dovele do neočekivanih činjenica o brojevima. Tko bi pomislio da je beskonačni zbroj inverznih kvadrata (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) jednak π 2 /6? Koji je Helen mogao predvidjeti da će slični nizovi omogućiti dokazivanje iracionalnosti broja π?

Takvi uspjesi prisilili su Eulera da pažljivo ponovno pročita Fermatove sačuvane rukopise (srećom, sin velikog Francuza uspio ih je objaviti). Istina, dokaz "velikog teorema" za stupanj 3 nije sačuvan, ali Euler ga je lako obnovio samo jednom naznakom "metode silaska" i odmah pokušao ovu metodu prenijeti na sljedeći jednostavni stupanj - 5.

Ne tako! U Eulerovim promišljanjima pojavili su se kompleksni brojevi koje je Fermat uspio previdjeti (to je uobičajeno kod otkrivača). Ali rastavljanje kompleksnih cijelih brojeva na faktore je delikatna stvar. Čak ni Euler to nije u potpunosti razumio i ostavio je “Fermatov problem” po strani, žureći da dovrši svoje glavno djelo – udžbenik “Osnove analize”, koji je trebao pomoći svakom talentiranom mladiću da stane u rang s Leibnizom i Eulerom. Izdavanje udžbenika dovršeno je u Petrogradu 1770. godine. Ali Euler se više nije vraćao Fermatovom teoremu, budući da je bio siguran da sve što su njegove ruke i um dotaknuli neće zaboraviti nova znanstvena mladost.

Tako se i dogodilo: Eulerov nasljednik u teoriji brojeva bio je Francuz Adrien Legendre. Krajem 18. stoljeća dovršio je dokaz Fermatova teorema za potenciju 5 – i iako nije uspio za velike proste potencije, sastavio je još jedan udžbenik iz teorije brojeva. Neka njegovi mladi čitatelji nadmaše autora kao što su čitatelji “Matematičkih principa prirodne filozofije” nadmašili velikog Newtona! Legendre nije bio dorastao Newtonu ili Euleru, ali među njegovim čitateljima bila su dva genija: Carl Gauss i Evariste Galois.

Tako visoku koncentraciju genija pogodovala je Francuska revolucija, koja je proglasila državni kult Razuma. Nakon toga svaki se talentirani znanstvenik osjećao kao Kolumbo ili Aleksandar Veliki, sposobnim otkriti ili osvojiti novi svijet. Mnogima je to pošlo za rukom, zbog čega je u 19. stoljeću znanstveni i tehnološki napredak postao glavni pokretač ljudske evolucije, a toga su bili svjesni svi razumni vladari (počevši od Napoleona).

Gauss je po karakteru bio blizak Kolumbu. Ali on (poput Newtona) nije znao lijepim govorima zaokupiti maštu vladara ili učenika, pa je svoje ambicije ograničio na sferu znanstvenih pojmova. Ovdje je mogao sve što je htio. Na primjer, iz nekog razloga drevni problem trisekcije kuta ne može se riješiti pomoću šestara i ravnala. Uz pomoć kompleksnih brojeva koji predstavljaju točke ravnine, Gauss prevodi ovaj problem na jezik algebre - i dobiva opću teoriju izvedivosti određenih geometrijskih konstrukcija. Tako se u isto vrijeme pojavio rigorozan dokaz o nemogućnosti konstruiranja pravilnog 7- ili 9-kuta šestarom i ravnalom, te metoda za konstruiranje pravilnog 17-kuta, koju su imali najmudriji geometri Helade. nikad sanjao.

Naravno, takav uspjeh nije uzalud: moramo izmisliti nove koncepte koji odražavaju bit stvari. Newton je uveo tri takva koncepta: fluksiju (izvod), fluent (integral) i redove potencija. Bili su dovoljni za stvaranje matematičke analize i prvog znanstvenog modela fizičkog svijeta, uključujući mehaniku i astronomiju. Gauss je također uveo tri nova pojma: vektorski prostor, polje i prsten. Iz njih je izrasla nova algebra, koja je podredila grčku aritmetiku i teoriju numeričkih funkcija koju je stvorio Newton. Još uvijek je preostalo podrediti logiku koju je stvorio Aristotel algebri: tada bi bilo moguće, pomoću izračuna, dokazati izvodljivost ili neizvodljivost bilo koje znanstvene tvrdnje iz danog skupa aksioma! Na primjer, je li Fermatov teorem izveden iz aksioma aritmetike ili Euklidov postulat o paralelnim pravcima iz drugih aksioma planimetrije?

Gauss nije imao vremena ostvariti ovaj smioni san - iako je daleko odmakao i naslutio mogućnost postojanja egzotičnih (nekomutativnih) algebri. Tek je odvažni Rus Nikolaj Lobačevski uspio konstruirati prvu neeuklidsku geometriju, a prvu nekomutativnu algebru (teoriju grupa) izgradio je Francuz Evariste Galois. I tek dugo nakon Gaussove smrti - 1872. - mladi Nijemac Felix Klein shvatio je da se raznolikost mogućih geometrija može dovesti u korespondenciju jedan-na-jedan s raznolikošću mogućih algebara. Jednostavno rečeno, svaka geometrija definirana je svojom grupom simetrije – dok opća algebra proučava sve moguće grupe i njihova svojstva.

Ali takvo razumijevanje geometrije i algebre došlo je mnogo kasnije, a napad na Fermatov teorem nastavljen je tijekom Gaussova života. Sam je zanemario Fermatov teorem iz principa: nije kraljevska stvar rješavati pojedinačne probleme koji se ne uklapaju u jasnu znanstvenu teoriju! Ali Gaussovi studenti, naoružani njegovom novom algebrom i klasičnom analizom Newtona i Eulera, razmišljali su drugačije. Prvo je Peter Dirichlet dokazao Fermatov teorem za potenciju broja 7 koristeći prsten kompleksnih cijelih brojeva generiranih korijenima ove potencije broja jedan. Tada je Ernst Kummer proširio Dirichletovu metodu na SVE prapotencijale (!) – tako mu se činilo u žaru trenutka, i trijumfirao. Ali ubrzo je došla otrežnjujuća spoznaja: dokaz je besprijekoran samo ako se svaki element prstena može jedinstveno rastaviti na proste faktore! Za obične cijele brojeve, ova činjenica je bila poznata Euklidu, ali je samo Gauss dao rigorozan dokaz za to. Što je s kompleksnim cijelim brojevima?

Prema "načelu najvećeg nestašluka", može i TREBA postojati dvosmislena faktorizacija! Čim je Kummer naučio izračunati stupanj dvosmislenosti pomoću metoda matematičke analize, otkrio je ovaj prljavi trik u prstenu za potenciju broja 23. Gauss nije imao vremena učiti o ovoj verziji egzotične komutativne algebre, ali su Gaussovi učenici izrasla je nova prekrasna Teorija ideala umjesto još jednog prljavog trika. Istina, to nije osobito pomoglo u rješavanju Fermatova problema: samo je njegova prirodna složenost postala jasnija.

Tijekom 19. stoljeća ovaj drevni idol zahtijevao je sve više žrtava od svojih štovatelja u obliku novih složenih teorija. Nije iznenađujuće da su do početka dvadesetog stoljeća vjernici postali obeshrabreni i pobunjeni, odbacujući svog bivšeg idola. Riječ "fermatist" postala je prljavi nadimak među profesionalnim matematičarima. I premda je dodijeljena znatna nagrada za potpuni dokaz Fermatova teorema, njegovi podnositelji bili su uglavnom samouvjerene neznalice. Najmoćniji matematičari tog vremena - Poincaré i Hilbert - izrazito su izbjegavali ovu temu.

Godine 1900. Hilbert nije uključio Fermatov teorem na popis dvadeset i tri najvažnija problema s kojima se matematika suočava u dvadesetom stoljeću. Istina, on je u njihov niz uključio opći problem rješivosti Diofantovih jednadžbi. Savjet je bio jasan: slijedite primjer Gaussa i Galoisa, stvorite opće teorije novih matematičkih objekata! Onda će jednog lijepog (ali unaprijed nepredvidljivog) dana stari trn sam ispasti.

Upravo je tako postupio veliki romantičar Henri Poincaré. Zanemarujući mnoge “vječne” probleme, cijeli je život proučavao SIMETRIJE pojedinih objekata matematike ili fizike: bilo funkcija kompleksne varijable, bilo putanja nebeskih tijela, bilo algebarskih krivulja ili glatkih varijeteta (to su višedimenzionalne generalizacije zakrivljenih linija). Motiv za njegovo djelovanje bio je jednostavan: ako dva različita objekta imaju sličnu simetriju, to znači da među njima možda postoji unutarnji odnos, koji još nismo u stanju dokučiti! Na primjer, svaka od dvodimenzionalnih geometrija (Euklidska, Lobačevskog ili Riemannova) ima svoju grupu simetrija koja djeluje na ravninu. Ali točke ravnine su kompleksni brojevi: na taj se način djelovanje bilo koje geometrijske skupine prenosi u bezgranični svijet složenih funkcija. Moguće je i potrebno proučavati najsimetričnije od ovih funkcija: AUTOMORFNE (koje su podložne Euklidskoj grupi) i MODULARNE (koje su podložne Lobačevskom grupi)!

Na ravnini postoje i eliptične krivulje. Nisu ni na koji način povezani s elipsom, već su dani jednadžbama oblika Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX i stoga se sijeku s bilo kojim pravcem u tri točke. Ova nam činjenica omogućuje da uvedemo množenje među točkama eliptične krivulje - da je pretvorimo u skupinu. Algebarska struktura ove grupe odražava geometrijska svojstva krivulje; možda je jedinstveno određena svojom grupom? Ovo pitanje vrijedi proučiti, jer se za neke krivulje pokazuje da je grupa koja nas zanima modularna, odnosno povezana je s geometrijom Lobačevskog...

Tako je razmišljao Poincaré, zavodeći matematičku mladež Europe, ali početkom dvadesetog stoljeća ta iskušenja nisu dovela do svijetlih teorema ili hipoteza. Drugačije je ispalo s Hilbertovim pozivom: proučavati opća rješenja Diofantovih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima! Godine 1922. mladi Amerikanac Lewis Mordell povezao je skup rješenja takve jednadžbe (riječ je o vektorskom prostoru određene dimenzije) s geometrijskim rodom kompleksne krivulje koju ta jednadžba zadaje. Mordell je došao do zaključka da ako je stupanj jednadžbe dovoljno velik (više od dva), tada je dimenzija prostora rješenja izražena u smislu roda krivulje, te je stoga ta dimenzija KONAČNA. Naprotiv - na potenciju 2, Pitagorina jednadžba ima BESKONAČNODIMENZIONALNU obitelj rješenja!

Naravno, Mordell je vidio vezu između svoje hipoteze i Fermatova teorema. Ako se sazna da je za svaki stupanj n > 2 prostor cjelobrojnih rješenja Fermatove jednadžbe konačnodimenzionalan, to će pomoći da se dokaže da takva rješenja uopće ne postoje! Ali Mordell nije vidio načina da dokaže svoju hipotezu - i iako je živio dug život, nije dočekao da se ova hipoteza pretvori u Faltingsov teorem. To se dogodilo 1983. godine - u sasvim drugom razdoblju, nakon velikih uspjeha algebarske topologije varijeteta.

Poincaré je stvorio ovu znanost kao slučajno: želio je znati što su trodimenzionalne mnogostrukosti. Uostalom, Riemann je shvatio strukturu svih zatvorenih ploha i dobio vrlo jednostavan odgovor! Ako u trodimenzionalnom ili višedimenzionalnom slučaju nema takvog odgovora, morate smisliti sustav algebarskih invarijanti varijeteta koji određuje njegovu geometrijsku strukturu. Najbolje je ako su takve invarijante elementi nekih grupa - komutativnih ili nekomutativnih.

Začudo, ovaj smioni Poincaréov plan bio je uspješan: proveden je od 1950. do 1970. zahvaljujući naporima mnogih geometara i algebraista. Do 1950. godine postojalo je tiho gomilanje različitih metoda za klasifikaciju sorti, a nakon tog datuma, činilo se da se nakupila kritična masa ljudi i ideja te je izbila eksplozija, usporediva s izumom matematičke analize u 17. stoljeću. Ali analitička revolucija protegla se na stoljeće i pol, pokrivajući kreativne biografije četiriju generacija matematičara – od Newtona i Leibniza do Fouriera i Cauchyja. Naprotiv, topološka revolucija dvadesetog stoljeća dogodila se unutar dvadeset godina – zahvaljujući velikom broju njezinih sudionika. Istodobno se formirala velika generacija samosvjesnih mladih matematičara koji su iznenada ostali bez posla u svojoj povijesnoj domovini.

Sedamdesetih su pohrlili u susjedna područja matematike i teorijske fizike. Mnogi su stvorili vlastite znanstvene škole na desecima sveučilišta u Europi i Americi. Danas mnogi studenti različite dobi i nacionalnosti, s različitim sposobnostima i sklonostima kruže između ovih centara i svatko želi postati poznat po nekom otkriću. Upravo su u ovoj buri Mordellova pretpostavka i Fermatov teorem konačno dokazani.

No, prva lasta, nesvjesna svoje sudbine, odrasla je u Japanu u gladnim i nezaposlenim poslijeratnim godinama. Lastavica se zvala Yutaka Taniyama. Godine 1955. ovaj je junak napunio 28 godina i odlučio je (zajedno s prijateljima Goro Shimura i Takauji Tamagawa) oživjeti matematička istraživanja u Japanu. Gdje početi? Naravno, uz prevladavanje izolacije od stranih kolega! Tako su 1955. tri mlada Japanca organizirala prvu međunarodnu konferenciju o algebri i teoriji brojeva u Tokiju. To je očito bilo lakše učiniti u Japanu, preodgojenom od Amerikanaca, nego u Rusiji, koju je Staljin zamrznuo...

Među počasnim gostima bila su i dva heroja iz Francuske: Andre Weil i Jean-Pierre Serre. Tu su Japanci imali puno sreće: Weyl je bio priznati glavar francuskih algebraista i član Bourbakijeve grupe, a mladi Serre imao je sličnu ulogu među topolozima. U žustrim raspravama s njima japanskoj su mladeži pucale glave, topili se mozgovi, ali su se na kraju iskristalizirale takve ideje i planovi koji se teško mogli roditi u drugačijem okruženju.

Jednog dana Taniyama je prišao Weilu s pitanjem o eliptičnim krivuljama i modularnim funkcijama. Isprva Francuz nije ništa razumio: Taniyama nije bio majstor izražavanja na engleskom. Tada je bit stvari postala jasna, ali Taniyama nije mogao precizno formulirati svoje nade. Sve što je Weil mogao odgovoriti mladom Japancu bilo je da će iz njegovih nejasnih hipoteza proizaći nešto korisno, ako bude imao puno sreće u pogledu inspiracije. Ali zasad je malo nade za ovo!

Očito, Weil nije primijetio nebesku vatru u Taniyaminom pogledu. I došlo je do vatre: činilo se da je Japance na trenutak obuzela nesalomljiva misao kasnog Poincaréa! Taniyama je postao uvjeren da je svaka eliptična krivulja generirana modularnim funkcijama - točnije, "uniformizirana je modularnom formom". Nažalost, točna formulacija rođena je mnogo kasnije - u razgovorima između Taniyame i njegovog prijatelja Shimure. A onda je Taniyama u naletu depresije počinio samoubojstvo... Njegova hipoteza ostala je bez vlasnika: nije bilo jasno kako je dokazati ni gdje testirati, pa je stoga dugo nitko nije shvaćao ozbiljno. Prvi odgovor stigao je tek trideset godina kasnije - gotovo kao u Fermatovu eru!

Led je puknuo 1983. godine, kada je dvadesetsedmogodišnji Nijemac Gerd Faltings cijelom svijetu objavio: Mordellova hipoteza je dokazana! Matematičari su bili oprezni, ali Faltings je bio pravi Nijemac: nije bilo praznina u njegovom dugom i složenom dokazu. Jednostavno je došlo vrijeme, nakupile su se činjenice i pojmovi - i sada je jedan talentirani algebraist, oslanjajući se na rezultate deset drugih algebraista, uspio riješiti problem koji je šezdeset godina čekao svog vlasnika. Ovo nije neuobičajeno u matematici dvadesetog stoljeća. Vrijedno je podsjetiti na prastari problem kontinuuma u teoriji skupova, dvije Burnsideove pretpostavke u teoriji grupa ili Poincaréovu pretpostavku u topologiji. Napokon je u teoriji brojeva došlo vrijeme da se pobere žetva dugogodišnjih usjeva... Koji će vrh biti sljedeći u nizu osvajanja matematičara? Hoće li se Eulerov problem, Riemannova hipoteza ili Fermatov teorem doista srušiti? Dobro je!

A dvije godine nakon Faltingsova otkrića, u Njemačkoj se pojavio još jedan nadahnuti matematičar. Zvao se Gerhard Frey i tvrdio je nešto čudno: da je Fermatov teorem IZVEDEN iz Taniyamine pretpostavke! Nažalost, Frey je stilom iznošenja svojih misli više podsjećao na nesretnog Taniyamu nego na jasnog sunarodnjaka Faltingsa. U Njemačkoj nitko nije razumio Freya i on je otišao preko mora - u slavni gradić Princeton, gdje su nakon Einsteina navikli na takve posjetitelje. Nije uzalud Barry Mazur, svestrani topolog i jedan od heroja nedavnog juriša na glatke mnogoznačnike, ondje svio svoje gnijezdo. A uz Mazura je odrastao student Ken Ribet, podjednako iskusan u zamršenostima topologije i algebre, ali se još ni u čemu nije proslavio.

Kad je prvi put čuo Freyeve govore, Ribet je zaključio da su to besmislice i pseudo-znanstvena fantastika (Weil je vjerojatno jednako reagirao na Taniyamina otkrića). Ali Ribet nije mogao zaboraviti ovu "fantaziju" i s vremena na vrijeme joj se vraćao u mislima. Šest mjeseci kasnije, Ribet je vjerovao da u Freyevim fantazijama ima nečeg korisnog, a godinu dana kasnije odlučio je da gotovo i sam zna kako dokazati Freyovu čudnu hipotezu. Ali neke “rupe” su ostale, a Ribet je odlučio sve priznati svom šefu Mazuru. Pažljivo je saslušao studenta i smireno odgovorio: „Da, sve si napravio! Ovdje trebate primijeniti transformaciju F, ovdje trebate koristiti leme B i K, i sve će poprimiti besprijekoran oblik! Tako je Ribet napravio skok iz tame u besmrtnost, koristeći katapult u osobi Freya i Mazura. Iskreno govoreći, sve njih - zajedno s pokojnim Taniyamom - treba smatrati dokazom Fermatovog posljednjeg teorema.

Ali evo problema: oni su svoju tvrdnju izveli iz hipoteze Taniyame, koja sama po sebi nije dokazana! Što ako je nevjerna? Matematičari već dugo znaju da “sve proizlazi iz laži.” Ako je Taniyamina pretpostavka pogrešna, tada je Ribetovo besprijekorno razmišljanje bezvrijedno! Moramo hitno dokazati (ili opovrgnuti) Taniyaminu pretpostavku - inače će netko poput Faltingsa dokazati Fermatov teorem na drugačiji način. Postat će heroj!

Malo je vjerojatno da ćemo ikada saznati koliko je mladih ili iskusnih algebraista napalo Fermatov teorem nakon Faltingsova uspjeha ili nakon Ribetove pobjede 1986. Svi su nastojali raditi u tajnosti, kako se u slučaju neuspjeha ne bi ubrojili u zajednicu “lutaka”-farmatičara. Poznato je da je najsretniji od svih, Andrew Wiles iz Cambridgea, okus pobjede okusio tek početkom 1993. godine. To nije toliko usrećilo Wilesa koliko ga je uplašilo: što ako se otkrije pogreška ili praznina u njegovom dokazu Taniyamine pretpostavke? Tada je propao njegov znanstveni ugled! Morate pažljivo zapisati dokaz (ali to će biti mnogo desetaka stranica!) i ostaviti ga sa strane na šest mjeseci ili godinu dana, tako da ga možete ponovno pročitati mirno i pedantno... Ali što ako tijekom ovog kad netko objavi svoj dokaz? Oh, nevolje...

Međutim, Wiles je smislio dvostruki način da brzo provjeri svoj dokaz. Prvo, trebate vjerovati nekom od svojih pouzdanih kolega prijatelja i ispričati mu sve svoje razloge. Izvana su sve greške jasnije! Drugo, pametni studenti i diplomirani studenti trebaju pročitati poseban tečaj o ovoj temi: ovi pametni momci neće propustiti nijednu grešku predavača! Samo im nemojte reći konačni cilj tečaja do zadnjeg trenutka - inače će cijeli svijet znati za to! I naravno, takvu publiku treba potražiti dalje od Cambridgea - bolje ni u Engleskoj, nego u Americi... Što može biti bolje od dalekog Princetona?

Wiles se tamo zaputio u proljeće 1993. godine. Njegov strpljivi prijatelj Niklas Katz, nakon što je saslušao Wilesovo dugačko izvješće, otkrio je u njemu brojne nedostatke, no sve ih je lako ispraviti. Ali studenti diplomskog studija Princetona ubrzo su pobjegli s Wilesovog specijalnog kolegija, ne želeći slijediti hirovite misli predavača koji ih je vodio bog zna kamo. Nakon takvog (ne posebno dubokog) ispitivanja svog rada, Wiles je odlučio da je vrijeme da svijetu otkrije veliko čudo.

U lipnju 1993. u Cambridgeu je održana još jedna konferencija posvećena “Iwasawa teoriji”, popularnoj grani teorije brojeva. Wiles ga je odlučio iskoristiti kako bi iznio svoj dokaz Taniyamine pretpostavke, ne najavljujući glavni rezultat do samog kraja. Izvještaj je dugo trajao, ali je bio uspješan; novinari su postupno počeli hrliti, naslućujući nešto. Napokon je grom udario: Fermatov teorem je dokazan! Opće veselje nije bilo zasjenjeno nikakvim sumnjama: sve je izgledalo jasno... Ali dva mjeseca kasnije, Katz je, pročitavši Wilesov završni tekst, primijetio još jednu rupu u njemu. Određeni prijelaz u rezoniranju temeljio se na “Eulerovom sustavu” - ali ono što je Wiles izgradio nije bio takav sustav!

Wiles je provjerio usko grlo i shvatio da je pogriješio. Još gore: nejasno je kako nadomjestiti pogrešno zaključivanje! Nakon toga počeli su najmračniji mjeseci Wilesova života. Prethodno je slobodno sintetizirao dokaz bez presedana iz dostupnog materijala. Sada je vezan za uzak i jasan zadatak – bez uvjerenja da on ima rješenje i da će ga on u dogledno vrijeme moći pronaći. Frey nedavno nije mogao odoljeti istoj borbi - a sada je njegovo ime zaklonjeno imenom uspješnog Ribeta, iako se Freyeva pretpostavka pokazala točnom. Što će se dogoditi s MOJOM pretpostavkom i MOJIM imenom?

Taj težak rad trajao je točno godinu dana. U rujnu 1994. Wiles je bio spreman priznati poraz i prepustiti hipotezu Taniyame uspješnijim nasljednicima. Donijevši tu odluku, počeo je polako ponovno čitati svoj dokaz - od početka do kraja, osluškujući ritam razmišljanja, ponovno proživljavajući zadovoljstvo uspješnih nalaza. Došavši do "prokletog" mjesta, Wiles, međutim, mentalno nije čuo lažnu notu. Je li njegovo razmišljanje doista bilo besprijekorno, a pogreška je nastala tek tijekom VERBALNOG opisa mentalne slike? Ako ovdje nema “Eulerovog sustava”, što se onda tu krije?

Odjednom mi je na pamet pala jednostavna misao: "Eulerov sustav" ne funkcionira tamo gdje je primjenjiva Iwasawina teorija. Zašto ne primijeniti ovu teoriju izravno - srećom, i sam Wiles je blizak i upoznat s njom? I zašto nije isprobao ovaj pristup od samog početka, nego ga je zanijela tuđa vizija problema? Wiles se više nije mogao sjetiti tih detalja - i nije bilo od koristi. Proveo je potrebno razmišljanje u okviru Iwasawine teorije i sve je uspjelo za pola sata! Tako je s odgodom od godinu dana popunjena posljednja praznina u dokazu Taniyamine pretpostavke. Konačni tekst ostavila je na komadiće skupina recenzenata iz poznatog matematičkog časopisa; godinu dana kasnije izjavili su da više nema pogrešaka. Tako je 1995. Fermatova posljednja hipoteza umrla u tristo šezdesetoj godini njegova života, pretvorivši se u dokazani teorem koji će neizbježno biti uključen u udžbenike teorije brojeva.

Sumirajući trostoljetnu halabuku oko Fermatova teorema, moramo izvući čudan zaključak: ovaj herojski ep možda se nije dogodio! Doista, Pitagorin poučak izražava jednostavnu i važnu vezu između vizualnih prirodnih objekata - duljina segmenata. Ali isto se ne može reći za Fermatov teorem. Više liči na kulturnu nadgradnju na znanstvenom supstratu – kao dolazak do sjevernog pola Zemlje ili let do Mjeseca. Prisjetimo se da su oba ova podviga pisci opjevali mnogo prije njihova ostvarenja – još u antičko doba, nakon pojave Euklidovih Elemenata, ali prije pojave Diofantove Aritmetike. To znači da se tada javila društvena potreba za ovakvim intelektualnim podvizima – makar imaginarnim! Prije su se Heleni zasitili Homerovih pjesama, kao što su se Francuzi zasitili vjerskih hobija stotinjak godina prije Fermata. Ali tada su se religiozne strasti stišale – a uz njih je stala znanost.

U Rusiji su takvi procesi započeli prije stotinu i pol godina, kada je Turgenjev Jevgenija Bazarova stavio u rang s Jevgenijem Onjeginom. Istina, književnik Turgenjev slabo je razumio motive djelovanja znanstvenika Bazarova i nije se usudio opjevati ih, no to su ubrzo učinili znanstvenik Ivan Sechenov i prosvijećeni novinar Jules Verne. Spontana znanstvena i tehnološka revolucija treba kulturnu ljusku da bi prodrla u umove većine ljudi, pa se tako prva pojavljuje znanstvena fantastika, a zatim popularno-znanstvena literatura (uključujući i časopis “Znanje je moć”).

Pritom specifična znanstvena tema nije nimalo važna za širu javnost, pa čak ni za glumačke junake. Tako je, čuvši za Pearyja i Cooka da su dosegli Sjeverni pol, Amundsen odmah promijenio cilj svoje već pripremljene ekspedicije - i ubrzo stigao do Južnog pola, mjesec dana ispred Scotta. Kasnije je uspješan let Jurija Gagarina oko Zemlje natjerao predsjednika Kennedyja da promijeni prethodni cilj američkog svemirskog programa u skuplji, ali mnogo impresivniji: slijetanje ljudi na Mjesec.

Još ranije je pronicljivi Hilbert odgovorio na naivno pitanje studenata: “Rješenje kojeg bi znanstvenog problema sada bilo najkorisnije”? - odgovorio je šalom: “Uhvati muhu na suprotnoj strani Mjeseca!” Na zbunjeno pitanje: "Zašto je to potrebno?" - stigao je jasan odgovor: “OVO nikome ne treba! Ali razmislite o znanstvenim metodama i tehničkim sredstvima koje ćemo morati razviti da riješimo takav problem - i koje ćemo još mnoge lijepe probleme riješiti usput!

Upravo se to dogodilo s Fermatovim teoremom. Euler je to mogao promašiti.

U tom bi slučaju neki drugi problem postao idol matematičara – možda i iz teorije brojeva. Na primjer, Eratostenov problem: postoji li konačan ili beskonačan broj dvostrukih prostih brojeva (kao što su 11 i 13, 17 i 19 itd.)? Ili Eulerov problem: je li svaki paran broj zbroj dvaju prostih brojeva? Ili: postoji li algebarski odnos između brojeva π i e? Ova tri problema još uvijek nisu riješena, iako su se matematičari u dvadesetom stoljeću osjetno približili razumijevanju njihove biti. Ali ovo je stoljeće iznjedrilo i mnoge nove, ništa manje zanimljive probleme, osobito na sjecištima matematike s fizikom i drugim granama prirodnih znanosti.

Još 1900. Hilbert je identificirao jedan od njih: stvoriti potpuni sustav aksioma matematičke fizike! Stotinu godina kasnije, ovaj problem je daleko od rješenja, makar samo zato što arsenal matematičkih alata u fizici stalno raste, a nemaju svi strogo opravdanje. Ali nakon 1970. teorijska fizika se podijelila u dvije grane. Jedan (klasični) se još od vremena Newtona bavi modeliranjem i predviđanjem ODRŽIVIH procesa, drugi (novi) pokušava formalizirati interakciju NESTABILNIH procesa i načine njihove kontrole. Jasno je da se ove dvije grane fizike moraju aksiomatizirati odvojeno.

Prvi od njih vjerojatno će se rješavati za dvadeset-pedeset godina...

A što nedostaje drugoj grani fizike - onoj koja je zadužena za sve vrste evolucije (uključujući čudne fraktale i čudne atraktore, ekologiju biocenoza i Gumiljovljevu teoriju strastvenosti)? Teško da ćemo to uskoro shvatiti. Ali štovanje znanstvenika novom idolu već je postalo masovna pojava. Vjerojatno će se ovdje razviti ep, usporediv s trostoljetnom biografijom Fermatova teorema. Tako se na sjecištima različitih znanosti rađaju novi idoli – slični vjerskim, ali složeniji i dinamičniji...

Čini se da čovjek ne može ostati čovjek, a da s vremena na vrijeme ne sruši stare idole i ne stvori nove - u boli i s radošću! Pierre Fermat imao je sreće što je u sudbonosnom trenutku bio blizu žarišta rođenja novog idola - i uspio je ostaviti pečat svoje osobnosti na novorođenčetu. Čovjek može pozavidjeti na takvoj sudbini, a nije ga grijeh oponašati.

Sergej Smirnov
"Znanje je moć"